Gaussova metoda eliminacije

3.4 Gaussova metoda eliminacije

Zadana je kvadratna regularna matrica A i vektor slobodnih koeficijenata b 

a  11 a 12 ···a 1n b 1 

A= 

 b 2    .. .

 a 21 a 22 ···a 2n 

a n1 a n2 ···a nn

3 Trodijagonalna matrica je specijalni sluˇcaj tzv. vrpˇcastih matrica, koje spadaju u tzv. rijetko popunjene matrice (sparse matrices).

3.4 Gaussova metoda eliminacije

Prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav Ax = b je rjeˇsiv i ima jedinstveno rjeˇsenje 4 .

Pretpostavimo da je tzv. pivot-element a 11 Gaussovih transformacija matricu A svesti na oblik

 a 11 a 12 ···a 1n 

 0 a 22 ···a 2n  

···a nn

gdje je, uz oznaku m i1 = a i a 1 11 ,

a (2) ik =a ik −m i1 a 1k , b i =b i −m i1 b 1 , (i, k = 2, . . . , n) (3.14) Uz pretpostavku da je sljede´ci pivot-element a (2)

a  11 a 12 a 13 ···a 1n b 1 

 0 a 22 a 23 ···a 2n 

33 ···a 3n  ,

···a nn

a i gdje je, uz oznaku m (2)

i2 = 2 a (2) ,

a (2) ik =a ik −m i2 a 2k , b i =b i −m i2 b 2 , (i, k = 3, . . . , n) (3.15) Uz pretpostavku da su svi pivot-elementi bili razliˇciti od nule, nakon (n − 1)

ovakvih koraka (iteracija) matrica A prije´ci ´ce u oblik gornje trokutaste matrice, gdje su svi dijagonalni elementi razliˇciti od nule. Takav sustav jednadˇzbi lako se rjeˇsava (Algoritam BS, str. 44).

Primjedba 3.3 Primjenom Gaussovih transformacija matricu sustava mogli bis- mo svesti i na dijagonalnu matricu. U tom sluˇcaju govorimo o Gauss-Jordanovoj metodi, koja igra vaˇznu ulogu kod simplex-metode za rjeˇsavanje problema linearnog programiranja.

Vidjeli smo da je prilikom provod¯enja Gaussovog postupka vaˇzno da su svi pivot-elementi: a (2)

11 ,a 22 , . . . razliˇciti od nule. To ne´ce biti uvijek osigurano, iako je matrica sustava regularna. Ipak, postoje dva vaˇzna sluˇcaja, gdje ´ce spomenuti uvjet biti ispunjen. To su sluˇcajevi kada je matrica sustava

• dijagonalno dominantna, tj |a ii |≥ |a ij |

j =i

4 Iako se Gaussovom metodom moˇze rjeˇsavati op´ci sustav linearnih jednadˇzbi (gdje broj jed- nadˇ zbi nije jednak broju nepoznanica ili gdje matrica sustava nije regularna), mi ´cemo se zadrˇzati

na ovom specijalnom sluˇcaju, koji je i najˇceˇs´ ci u primjenama.

3.4 Gaussova metoda eliminacije

• simetriˇcna i pozitivno definitna, tj A T =A& x T Prema poznatom Sylvesterovom kriteriju, simetriˇcna matrica A je pozitivno definitna onda i samo onda ako su svi njezini glavni minori 5 pozitivni.

Dijagonalna dominantnost, odnosno pozitivna definitnost vrlo su jaki uvjeti na ma- tricu A. Da bi se ipak proˇsirila klasa matrica za koje bi Gaussov postupak bio provediv, ranije opisanu Gaussovu metodu eliminacije malo ´cemo modificirati.

Jedan pokuˇsaj u tom smislu je tzv. strategija parcijalnog pivotiranja:

u k-toj iteraciji treba zamijeniti k-ti s r-tim retkom, gdje je r najmanji indeks retka takav da je

|a (k)

(k)

rk | = max |a k≤i≤n ik |

(vidi shemu na Slici 3.1)

Slika 3.1 Strategija parcijalnog (lijevo) i strategija potpunog (desno) pivotiranja

Drugi pokuˇsaj je tzv. strategija potpunog pivotiranja: u k-toj iteraciji najprije pronad¯emo cijele brojeve r i s, za koje je

|a (k)

(k)

rs | = max |a k≤i,j≤n ij |,

a onda sukcesivno napravimo zamjenu k-tog i s-tog stupaca, te k-tog i r-tog retka (vidi shemu na Slici 3.1)

Zadatak 3.5 Pokaˇzite da je Gaussov postupak bez pivotiranja provediv onda i samo onda ako su svi glavni minori matrica sustava razliˇciti od nule.

Primjer 3.3 Ako bismo u Primjeru 3.1, str. 38 za sluˇcaj 2-znamenkaste floating- point aritmetike primijenili strategiju parcijalnog pivotiranja, dobili bismo isti (loˇsi) rezultat. Primjenom strategije potpunog pivotiranja dobili bismo “toˇcan” rezultat:

x ∗ 1 =x ∗ 2 = 0.50.

5 Glavni minori matrice A su determinante det A k ,k = 1, . . . n, gdje je A k matrica dobivena od elemenata matrice A na presjeku prvih k stupaca i prvih k redaka

3.5 LU-dekompozicija

U 3-znamenkastoj floating-point aritmetici ve´c uz primjenu strategije parci- jalnog pivotiranja dobili bismo “toˇcan” rezultat x ∗∗ 1 = 0.503, x ∗∗ 2 = 0.498.

Ovaj primjer pokazuje da se strategijom parcijalnog, a naroˇcito strategijom potpunog pivotiranja takod¯er moˇze posti´ci i numeriˇcka stabilnost Gaussovog po- stupka.

Zadatak 3.6 Izradite program koji ´ce u k-znamenkastoj floating-point aritmetici (k = 2, 3, . . . , 8) rjeˇsavati sustav linearnih jednadˇzbi Ax = b: — Gaussovom metodom bez pivotiranja; — Gaussovom metodom uz strategiju parcijalnog pivotiranja; — Gaussovom metodom uz strategiju potpunog pivotiranja;

Program ispitajte na sljede´cim primjerima: (a)

0.5 x 1 0.5

2 0.1 , Egzaktno rjeˇsenje zaokruˇzeno na 4 znamenke je x = (0.9999, 0.9998) T .

gdje je ǫ, a, b, c ∈ R. Egzaktno rjeˇsenje je x 1 = b ǫ b ,x 2 = c ǫ c ,x 3 = a− ǫ − ǫ . (c) Sustav kome je matrica sustava tzv. Hilbertova matrica H ij =

1 i+j−1 ,i= 1, . . . , n, s proizvoljnim vektorom slobodnih koeficijenata.