Najbolja L ∞ aproksimacija

5.2 Najbolja L ∞ aproksimacija

Pretpostavimo da je f ∈ C [a,b]

i da je ϕ 0 ,ϕ 1 ,...,ϕ n dani sustav funkcija. Traˇzimo vektor parametara a ∗ = (a ∗ 0 ,...,a ∗ n ) T ∈R n+1 koji ´ce minimizirati funkciju

0 F (a ,...,a n )= # #

a i ϕ i −f # # = max

a i ϕ i (x) − f(x) . (5.16)

# i=0

a≤x≤b

i=0

Funkcija f ∗

= a i ∗ ϕ i je najbolja L ∞ aproksimacija funkcije f na L(ϕ 0 ,ϕ 1 ,...,

i=0

ϕ n ). Mi ´cemo se zadrˇzati u okvirima jednog specijalnog sluˇcaja: traˇzit ´cemo na-

jbolju L ∞ aproksimaciju funkcije f na prostoru polinoma stupnja ≤ n, tj. na pros- toru razapetom funkcijama ϕ i (x) = x i , i = 0, 1, . . . , n.

Primjer 5.4 Za danu funkciju f (x) = x 2 , x ∈ [−1, 1] treba prona´ci najbolju L ∞ aproksimaciju na prostoru polinoma stupnja ≤ 1.

− (a 0 +a 1 x)| minimalno. Budu´ci da funkcija F nije derivabilna na [−1, 1], ne moˇzemo upotrijebiti svoje

Treba prona´ci parametre a ∗ 0 ,a 1 ∗ ∈ R, tako da bude F (a 0 ,a 1 )= max |x 2

−1≤x≤1

predznanje o istraˇzivanju ekstrema derivabilnih funkcija.

y= 1 2

Slika 5.4 Linearna L ∞ aproksimacija kvdratne funkcije f (x) = x 2

Pokazat ´ce se (vidi Teorem 5.1) da se najbolja aproksimacija dobije za a ∗ 0 = 1 ,a ∗ 1 = 0, tj. da je najbolja L aproksimacija kvadratne funkcije f (x) = x 2 ∞ 2 u klasi linearnih funkcija, funkcija f ∗ (x) = 1 2 . Primijetite (vidi Sliku 5.4) da su u tom sluˇcaju maksimalna odstupanja

u toˇckama −1, 0, 1 po apsolutnoj vrijednosti jednaka 1 2 , a da po predznaku alterniraju. Pokuˇsajmo rijeˇsiti op´cenitiji problem:

za funkciju

f (x) = x n , x ∈ [−1, 1] treba prona´ci najbolju L ∞ aproksimaciju na prostoru P n−1 polinoma stupnja ≤ n − 1.

5.2 Najbolja L ∞ aproksimacija 101

Odgovor ´ce dati sljede´ci teorem.

Teorem 5.1 Izmed¯u svih normiranih polinoma 2 stupnja ≤ n polinom

2 1−n T n , gdje je T n n-ti ˇ Cebiˇsevljev polinom, ima najmanju L ∞ normu na intervalu [−1, 1], koja iznosi 2 1−n .

Dokaz. Uoˇcimo najprije da je koeficijent uz najviˇsu potenciju ˇ Cebiˇsevljevog poli- noma T n jednak 2 n−1 (uspredi svojstvo d) ˇ Cebiˇsevljevog polinoma, str. 99). Zato je poli- nom 2 1−n T n normiran i vrijedi: |2 1−n T n (x)| ≤ 2 1−n (svojstvo a), str. 99). Pretpostavimo sada da postoji neki drugi normirani polinom p n , takav da je |p n (x)| < 2 1−n za sve

x ∈ [−1, 1]. Neka su nadalje, ξ 0 ,ξ 1 ,...,ξ n toˇcke u kojima ˇ Cebiˇsevljev polinom T n prima ekstremne vrijednosti −1 ili 1 (vidi t.5.1.2, str. 98). Tada vrijedi

p n (ξ 0 ) < 2 1−n T n (ξ 0 )=2 1−n p n (ξ 1 ) > 2 1−n T n (ξ 1 ) = −2 1−n p n (ξ 2 ) < 2 1−n T n (ξ 2 )=2 1−n

itd.

To bi znaˇcilo da “polinom geˇske” E(x) := p n (x) − 2 1−n T n (x), n puta mijenja predznak na intervalu [−1, 1]. To med¯utim nije mogu´ce jer je E polinom stupnja (n − 1) (polinomi p n

i2 1−n T n su normirani !) ✷ Ovo vaˇzno svojstvo ˇ Cebiˇsevljevih polinoma ve´c smo iskoristili u t.2.1.3 pri-

likom optimalnog izbora ˇcvorova interpolacije funkcije (str. 25). Sada se takod¯er

2 . Naime, prema upravo dokazanom teoremu, vrijedi

a min 2 0 ,a 1 − (a 0 +a 1 ∞

gdje je T 2 (x) = 2x 2 − 1. Zadatak 5.7 Odredite najbolju L ∞ aproksimaciju funkcije f (x) = x n , x ∈ [−1, 1]

na prostoru polinoma stupnja ≤ n − 1. Odgovor: Prema Teoremu 5.1 najbolja aproksimacija je funkcija f ∗ (x) = x n −2 1−n T n (x).

2 Kaˇ zemo da je polinom normiran ako mu je koeficijent uz najviˇsu potenciju jednak 1

5.2 Najbolja L ∞ aproksimacija

Prethodne tvrdnje mogu se generalizirati kroz sljede´ci vaˇzni teorem.

Teorem 5.2 (de la Vall´ee Poussin) Neka je f ∈ C [a,b] . Polinom p ∗ stupnja ≤ n je najbolja L ∞ aproksimacija funkcije f na [a, b] onda i samo onda ako postoje barem n + 2 toˇcke,

a≤x 0 <x 1 <···<x n+1 ≤b u kojima funkcija pogreˇske E = p ∗ n − f prima maksimalne vrijednosti s

alterniraju´cim predznakom, tj. E(x i+1 ) = −E(x i ), i = 0, 1, . . . , n,

∞ . Zadatak 5.8 Primjenom de la Vall´ee Poussin teorema odredite najbolju L ∞ apro-

|E(x i

ksimacija funkcije f (x) = sin x na [0, π 2 ] u klasi polinoma prvog stupnja. Rjeˇsenje: p ∗ 1 (x) = 0.105 + 2t π .