Nanang Pradipta : Metode Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda Yang Mengandung Multikolinieritas, 2009.
USU Repository © 2009
Matriks Nol
Matriks Nol adalah suatu matrik dengan semua elemennya mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol 0, dibaca matriks nol.
Matriks Elementer
Suatu matriks nxn dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas n x n yakni
n
I dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.
Matriks Segitiga
Matriks
[ ]
ij
a L
=
suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga bawah lower triangular jika
=
ij
a
untuk j
i dan matriks
[ ]
ij
a U
=
suatu matriks bujur sangkar dikatakan segitiga atas upper triangular jika
=
ij
a
untuk j
i .
Contoh :
Segitiga bawah
− =
1 4
5 3
3 5
2 2
1 5
L , Segitiga atas
−
= 3
6 2
3 2
1 5
3 2
1 U
2.2.3 Operasi Matriks Perkalian Matriks dengan skalar
Jika
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks mxn dan r adalah suatu skalar, maka hasil kali A dengan r adalah
[ ]
ij
b B
=
matriks mxn dengan
n j
m i
ra b
ij ij
≤ ≤
≤ ≤
= 1
, 1
Nanang Pradipta : Metode Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda Yang Mengandung Multikolinieritas, 2009.
USU Repository © 2009
Contoh :
=
3 2
5 4
A dengan diberikan
5 =
r
maka
=
=
15 10
25 20
3 2
5 4
5 5A
Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks mxp dan
[ ]
ij
b B
=
adalah matriks pxn maka hasil kali
dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan AB adalah C matriks mxn. Secara matematik dapat ditulis sebagai berikut :
pj ip
j i
j i
ij
b a
b a
b a
c +
+ +
=
2 2
1 1
n j
m i
b a
p k
kj ik
≤ ≤
≤ ≤
=
∑
=
1 ,
1
1
2.6
Penjumlahan Matriks
Jika
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks mxn dan
[ ]
ij
b B
=
adalah matriks mxn maka penjumlahan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan
[ ]
ij
c C
=
dengan
, ,
2 ,
1 ;
, ,
2 ,
1 n
j m
i b
a c
ij ij
ij
= =
+ =
.
Pengurangan Matriks
Jika
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks mxn dan
[ ]
ij
b B
=
adalah matriks mxn maka pengurangan matriks dari matriks A dan matriks B yang ditulis dengan
[ ]
ij
c C
=
dengan
, ,
2 ,
1 ;
, ,
2 ,
1 n
j m
i b
a c
ij ij
ij
= =
− =
.
Transpose suatu matriks
Nanang Pradipta : Metode Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda Yang Mengandung Multikolinieritas, 2009.
USU Repository © 2009
Jika
[ ]
ij
a A
=
matriks mxn
maka matriks nxm dengan
[ ]
t ij
T
a A
= dan
n j
m i
a a
ji t
ij
≤ ≤
≤ ≤
= 1
, 1
disebut dengan transpose dari matriks A. Contoh:
=
=
2 5
3 6
1 2
2 6
5 1
3 2
3 2
2 3
T x
x
A A
Matriks mxn yang umum dapat ditulis :
[ ]
n j
m i
a a
a a
a A
ij mn
m n
mxn
, ,
2 ,
1 ,
, 2
, 1
1 1
11
= =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
Maka
[ ]
n j
m i
a a
a a
a A
A
ji nm
n m
nxm T
mxn
, ,
2 ,
1 ,
, 2
, 1
1 1
11
= =
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
Invers Matriks
Misalkan A matriks nxn disebut nonsingular invertible jika terdapat matriks B maka
n
I BA
AB =
= 2.7
matriks B disebut invers dari A. Jika tidak terdapat matriks B maka matriks A disebut singular noninvertible.
Secara umum invers matriks A adalah :
A Adj
A A
det 1
1
=
−
Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya terdiri dari semua elemen-elemen kofaktor matriks A, dengan K
i j
adalah kofaktor elemen-elemen
n j
i a
ij
, ,
2 ,
1 ,
,
=
. Sehingga dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Nanang Pradipta : Metode Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda Yang Mengandung Multikolinieritas, 2009.
USU Repository © 2009
=
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K A
adj
2 1
2 22
21 1
21 11
Sifat – sifat invers : a.
Jika A adalah matriks non singular, maka
1 −
A adalah nonsingular dan A
A =
− −
1 1
b. Jika A dan B adalah matriks non singular, maka AB adalah nonsingular dan
1 1
1 −
− −
= A
B AB
c. Jika A adalah matriks non singular maka
1 1
− −
= A A
T
Determinan Matriks
Misalkan
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks nxn. Fungsi determinan dari A ditulis dengan det A atau
A . Secara matematikanya ditulis dengan :
n
nj j
j
a a
a A
A
2 1
2 1
det
∑
± =
= dengan
n
j j
j ,
, ,
2 1
merupakan himpunan
{ }
n S
, ,
2 ,
1
=
.
Teorema Jika
[ ]
ij
a A
=
adalah matriks nxn yang mengandung sebaris bilangan nol, maka =
A .
Contoh :
4 1
2 3
2 1
= →
= A
A
Teorema
Nanang Pradipta : Metode Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda Yang Mengandung Multikolinieritas, 2009.
USU Repository © 2009
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka A adalah hasil kali elemen-elemen pada
diagonal utama, yaitu
nn
a a
a A
22 11
= .
Contoh :
− −
= 3
5 5
2 6
4 8
5 8
2
4 4 x
A maka
120 3
5 4
2 −
= −
= A
Teorema Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka
T
A A
=
.
Terorema Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ordonya sama, maka
B A
AB =
. Contoh :
= 1
2 1
3
2 2 x
A
− =
8 5
3 1
2 2 x
B
=
14 3
17 2
2 2 x
AB
23 23
23 1
− =
− =
− =
AB B
A
Sehingga det AB = det A det B
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
