Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, yang menjadi permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah bagaimana cara menyederhanakan suatu rangkaian digital dengan
menggunakan metode Quine-McCluskey.
1.3 Tujuan
Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajarimemahami cara menyederhanakan suatu rangkaian digital yang rumit dengan menggunakan metode
Quine-McCluskey.
1.4 Pembatasan Masalah
Agar pembahasan tidak menyimpang dari pokok permasalahan, penulis membatasi permasalahan hanya pada teori dan studi kasus dari metode Quine-McCluskey dalam
penyederhanaan rangkaian digital.
1.5 Metodologi Penelitian
Adapun metode yang digunakan adalah sebagai berikut: 1.
Menggunakan metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan Fungsi Boolean.
2. Mengimplementasikan Fungsi Boolean yang sederhana ke gerbang logika.
1.6 Kontribusi Penelitian
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Memahami proses penyederhanaan Fungsi Boolean suatu rangkaian digital dengan menggunakan metode Quine-McCluskey.
BAB 2
L A N D A S A N T E O R I
2.1 Aljabar Boolean
Seorang ahli matematika dari Inggris, George Boole 1815-1864 pada tahun 1854 memaparkan aturan-aturan dasar logika dalam bukunya yang berjudul An
Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theorities of Logic and Probabilities, yang kemudian dikenal sebagai logika Boolean.
Boole menyusun beberapa aturan hubungan antara nilai-nilai matematis yang dibatasi hanya dengan 2 dua nilai, yaitu true atau false, yang disimbolkan sebagai angka 1
atau 0. Sistem matematikanya ini kemudian dikenal sebagai aljabar Boolean. Dewasa ini aljabar Boolean telah menjadi dasar teknologi Komput er digital. Saat ini aljabar
Boolean digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian.
2.1.1 Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean adalah aljabar yang terdiri atas suatu himpunan
B
dengan 2 dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu:
+
penjumlahan dan
•
perkalian. Sehingga untuk setiap
x, y, z
∈
B
berlaku aksioma atau postulat sebagai berikut:
1. Closure
: i.
x + y
∈
B
ii.
x • y
∈
B
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
2. Identitas
: i. Ada elemen tunggal
∈
B
, sedemikian hingga berlaku:
x + 0 = 0 + x = x
ii. Ada elemen tunggal
∈
B
, sedemikian hingga berlaku:
x • 1 = 1 • x = 1
3. Komutatif
: i.
x + y = y + x
ii.
x • y = y • x
4. Distributif
: i.
x • y + z = x • y + x • z
ii.
x + y • z = x + y • x + z
iii.
x • y + z = x + z • y + z
5. Komplemen
: Untuk setiap
x
∈
B
, terdapat elemen tunggal
x’
∈
B
sedemikian hingga berlaku:
x + x’= 1
dan
x • x’= 0
6. Terdapat sedikitnya 2 dua buah elemen,
x
dan
y
∈
B
, sedemikian hingga berlaku :
x
≠
y
.
7. Idempoten
: i.
x • x = x
ii.
x + x = x
8. Asosiatif
: i.
x + y + z = x + y + z
ii.
x • y • z = x • y • z
Kecuali aksioma 7 dan 8, ke enam aksioma pertama disebut Postulat Huntington, karena diformulasikan secara formal oleh E.V Huntington.
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus memperlihatkan: 1.
Elemen himpunan
B
2. Kaidahaturan operasi untuk 2 dua operator biner
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
3. Himpunan
B
, bersama-sama dengan 2 dua operator tersebut, memenuhi postulat Huntington.
2.2 Aljabar Boolean Dua Nilai
Aljabar Boolean 2 dua nilai didefinisikan pada sebuah himpunan dengan 2 dua buah elemen, yaitu:
B = {0,1}
, dengan kaidah untuk operator biner
+
penjumlahan dan
•
perkalian, ditunjukkan pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Operator Biner untuk Perkalian dan Penjumlahan Logika
x y
x • y
x Y
x + y
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Harus ditunjukkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan
B = {0,1}
dan 2 dua operator biner yang didefinisikan di atas.
1. Closure, jelas dari Tabel karena hasil tiap operasi adalah
dan
1
∈
B
2. Dari Tabel terlihat bahwa: i.
0 + 1 = 1 + 0 = 1
ii.
1 • 0 = 0 • 1 = 0
yang memenuhi elemen identitas dan
1
3. Hukum komutatif jelas terpenuhi.
4. i. Hukum distributif:
x • y + z = x • y + x • z
dipenuhi, dapat ditunjukkan pada Tabel 2.2.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Tabel 2.2 Kebenaran Hukum Distributif
x y
z y + z x
• y + z x • y x • z x • y + x • z
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
ii. Hukum distributif:
x + y • z = x + y • x + z
dapat ditunjukkan dengan membuat Tabel kebenaran seperti i. 5.
Tabel komplemen memperlihatkan bahwa: i.
x + x’ = 1
, karena
0 + 0’ = 0 + 1 = 1
ii.
x • x’ = 0
, karena
• 0’ = 0 • 1 = 0
6. Postulat 6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua nilai memiliki 2 dua buah
elemen yang berbeda yaitu
1
dan .
2.3 Prinsip Dualitas Dualitas adalah padanan dual ekspresi Boolean yang diperoleh dengan cara:
• mempertukarkan
+ •,
dan
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
• mempertukarkan
1 0
Contoh:
Ekspresi Dualitas
x + x = x x
• x = x
Idempoten
x + 1 = x x
• 0 = 0
Identitas
x •y + z=x • y+x • z x+y • z=x + y•x + z
2.4 Sifat-Sifat Aljabar Boolean
