Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
x y
z fx,y,z
gx,y,z
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Karena Fungsi Boolean tidaklah unik, dapatlah ditemukan 2 dua buah ekspresi Boolean yang menunjukkan Fungsi yang sama, yaitu dengan cara manipulasi aljabar.
Perhatikan contoh berikut ini:
fx,y,z = x’y’z + x’y z + x y’ = x’z y’+ y + x y’
= x’z 1 + x y’ = x’z + x y’
2.6 Fungsi Komplemen
Fungsi komplemen dari suatu Fungsi
F
, dapat dicari dengan menukarkan nilai menjadi
1
, dan sebaliknya nilai
1
menjadi .
Ada 2 dua cara yang dapat digunakan untuk membentuk Fungsi komplemen: 1.
Menggunakan Hukum De Morgan. Untuk 2 dua variabel,
x
1
dan
x
2
x
1
+ x
2
’ = x
1
’ x
2
’
dan dualnya;
x
1
. x
2
’ = x
1
’ + x
2
’
Untuk 2 dua variabel,
x
1
,x
2
, dan
x
3
x
1
+ x
2
+ x
3
’ = x
1
+ y’
Misal:
x
2
+ x
3
= y = x
1
’ . y’
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
= x
1
’ x
2
+ x
3
’ = x
1
’ x
2
’ x
3
’
Untuk
n
variabel,
x
1
, x
2
, . . ., x
n
x
1
+ x
2
+. . . .+ x
n
’ = x
1
’, x
2
’, . . . . x
n
’
dan dualnya:
x
1
. x
2
. . . . . x
n
’ = x
1
’ + x
2
’ + . . . . + x
n
’
Contoh :
Fungsi komplemen
f‘x,y,z
dari Fungsi
fx,y,z
=
xy’z’+ y z
adalah:
f‘x,y,z =
xy’z’+ yz’ =
x’+ y’z’+ yz’ =
x’+ y’z’’ . yz’ =
x’+ y + z . y’ +z’
2. Menggunakan prinsip dualitas.
Cari dua l dari “
f “
lalu komplemenkan setiap literalnya. Misalnya untuk Fungsi yang sama:
fx,y,z = xy’z’+ y z
Dual dari:
f: x +y’+ z’.y + z
Komplemen tiap literalnya adalah:
x’+ y + z . y’+z’ = f‘
Jadi;
f‘x,y,z= x’+y + z.y’+ z’
2.7 Bentuk Kanonik
Beberapa Fungsi Boolean mungkin mempunyai ekspresi aljabar yang berbeda, tetapi sebenarnya nilai Fungsinya sama. Sebagai contoh:
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
f x, y = x’ y’ dan g x, y = x + y’ adalah dua buah Fungsi yang sama.
Contoh lain:
fx,y,z= x’y’z + x y’z’+ x y z
dan
gx,y,z=x+y+zx+y’+zx+y’+z’x’+y+z’x’+y’+z
adalah 2 dua buah Fungsi yang sama.
Fungsi pertama
f
, tampil dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan Fungsi yang ke dua
g
, muncul sebagai bentuk perkalian dari hasil penjumlahan. Setiap suku term mengandung literal yang lengkap
x,y,z
. Fungsi Boolean yang dinyatakan sebagai jumlah dari hasil kali SOP dan hasil kali dari jumlah POS, dengan setiap
sukunya mengandung literal lengkap, disebut dalam bentuk kanonik.
Ada 2 dua macam bentuk kanonik: 1. Minterm atau sum-of- product SOP
2. Maxterm atau product-of-sum POS
Minterm dan Maxterm dari 2 dua variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.5.
Tabel 2.5 Minterm dan Maxterm dari 2 dua Variabel
x y
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku
Lambang
x’y’ m
x + y M
1 x’y
m
1
x + y’ M
1
1 x y’
m
2
x’+ y M
2
1 1
x y m
3
x’+ y’ M
3
Minterm dan Maxterm dari 3 tiga variabel biner ditunjukkan pada Tabel 2.6.
Tabel 2.6 Minterm dan Maxterm dalam 3 tiga Variabel
x y
z
Minterm Maxterm
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Suku Lambang
Suku Lambang
x’y’z’ m
x + y + z M
1 x’y’z
m
1
x + y + z’ M
1
1 x’yz’
m
2
x + y’+ z M
2
1 1
x’y z m
3
x + y’+z’ M
3
1 x y’z’
m
4
x’+ y + z M
4
1 1
x y’z m
5
x’+ y +z’ M
5
1 1
x y z’ m
6
x’+ y’+ z M
6
1 1
1 x y z
m
7
x’+ y’+z’ M
7
Suatu Fungsi Boolean dapat dibentuk secara aljabar dari Tabel kebenaran yang diketahui dengan membentuk minterm dari setiap kombinasinya.
Untuk membentuk minterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan nilai
1
. Kombinasi
001, 100
dan
111
ditulis sebagai:
x’y’z
,
x y’z’
, dan
x y z
. Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi variabel-variabel yang menghasilkan
nilai . Kombinasi
000, 010, 101
dan
110
ditulis sebagai:
x + y + z, x + y’+ z, x’+ y + z’ dan x’+ y’+ z’.
Contoh :
Tinjau Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam Tabel 2.7. Nyatakan Fungsi tersebut dalam bentuk Kanonik SOP dan POS.
Tabel 2.7: Fungsi
fx,y,z
dalam Bentuk Kanonik SOP dan POS
x y
Z f x,y,z
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
1 1
1 1
Jawab: 1.
SOP: Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai
1 fx, y, z = x’ y’ z + x y’ z’ + x y z
atau dalam bentuk lain,
fx, y, z = m
1
+ m
4
+ m
7
= ∑ 1, 4, 7
2. POS:
Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 0
fx, y, z = x + y + z x + y’+ z x + y’+ z’ x’+ y + z’ x’+ y’+ z
atau dalam bentuk lain,
fx, y, z = M M
2
M
3
M
5
M
6
= ∏ 0, 2, 3, 5, 6
Notasi
∑
dan
∏
berguna untuk menyingkat penulisan ekspresi bentuk SOP dan POS.
2.8 Konversi Antar Bentuk Kanonik
