Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
1 1
1 1
Jawab: 1.
SOP: Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai
1 fx, y, z = x’ y’ z + x y’ z’ + x y z
atau dalam bentuk lain,
fx, y, z = m
1
+ m
4
+ m
7
= ∑ 1, 4, 7
2. POS:
Tinjau kombinasi variabel yang menghasilkan nilai 0
fx, y, z = x + y + z x + y’+ z x + y’+ z’ x’+ y + z’ x’+ y’+ z
atau dalam bentuk lain,
fx, y, z = M M
2
M
3
M
5
M
6
= ∏ 0, 2, 3, 5, 6
Notasi
∑
dan
∏
berguna untuk menyingkat penulisan ekspresi bentuk SOP dan POS.
2.8 Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misal:
f
adalah Fungsi Boolean dalam bentuk SOP:
f x, y, z = ∑ 1, 4, 5, 6, 7
dan
f‘
adalah komplemen dari
f f‘
x, y, z = ∑ 0, 2, 3 = m
+ m
2
+ m
3
Dengan menggunakan hukum de Morgan, dapat memperoleh Fungsi
f
dalam bentuk POS:
f’ x, y, z =
f’x, y, z’ = m + m
2
+ m
3
’ = m
’. m
2
’. m
3
’ = x’y’z’’ x’y z’’ x’y z’
= x + y + z x + y’+ z x + y’+ z’ = M
M
2
M
3
= ∏0, 2, 3
Jadi
m
j
’ = M
j
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
2.9 Bentuk Baku
2 Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dengan membaca Fungsi dari Tabel kebenaran. Bentuk ini umumnya sangat jarang muncul, karena setiap suku
di dalam bentuk kanonik harus mengandung literal atau variabel yang lengkap, baik dalam bentuk normal
x
atau dalam bentuk komplemennya
x’
. Cara lain untuk mengekspresikan Fungsi Boolean adalah bentuk baku standard. Pada bentuk ini,
suku-suku yang membentuk Fungsi dapat mengandung 1 satu, 2 dua, atau sejumlah literal. 2 Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku
POS.
Contoh:
f x, y, z = y’ + x y + x’ y z f
x, y, z = x y’ + z x’ + y + z’
2.10 Penyederhanaan Fungsi Boolean
Fungsi Boolean dapat disederhanakan dalam 3 tiga cara: 1.
Secara aljabar, dengan menggunakan rumus atau aksioma yang berlaku pada Fungsi Boolean
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine-McCluskey metode Tabulasi
2.11 Aplikasi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas antara lain di bidang jaringan pensaklaran switching dan rangkaian digital.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
2.11.1 Rangkaian Digital
Rangkaian digital elektronik biasanya dimodelkan dalam gerbang logika. Ada 3 tiga macam gerbang dasar: AND, OR dan NOT. Rangkaian yang dibentuk oleh gerbang
logika disebut rangkaian logika. Dapat dilihat pada Gambar 1.a, 1.b, dan 1.c.
x y
xy x
y x + y
Gambar 1.a Gerbang AND dua masukan Gambar 1.b Gerbang OR dua masukan
x x
Gambar 1.c Gerbang NOT inverter
Selain gerbang dasar tersebut di atas, masih terdapat gerbang logika turunan, yaitu NAND, NOR, XOR, dan XNOR. Dapat dilihat pada Gambar 1.d, 1.e, 1.f, dan 1.g.
x y
xy x
y x + y
Gambar 1.d Gerbang NAND Gambar 1.e Gerbang NOR
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
x y
x + y x
y x + y
Gambar 1.f Gerbang XOR Gambar 1.g Gerbang XNOR
Adapun Tabel kebenaran dari Rangkaian Logika dasar dapat dilihat pada Tabel 2.8.
Tabel 2.8 Gerbang Gate Rangkaian Logika Dasar
AND
x x.y
y
OR
x x+y
y
NOT x x
NAND
x
x.y
y
x y x .
y 0 0
0 1 1 0
1 1 1
x y x+y
1 1
1 1
1 1
1 x
x 1
1 x y x
. y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 x y x+y
0 0 1
0 1
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
NOR
x
x +
y
y
XOR
x
x y
y
XNOR x
x y
y
Contoh: Nyatakan Fungsi Boolean berikut ke dalam rangkaian logika.
f x,y,z = x y + x’y
Jawab: a. Langkah I:
x x
y xy
y x
x y
xy + x y
b. Langkah II:
1 0 1 1
x y x y
0 0 0 1
1 1 0
1 1 1
x y x y
0 0 1
0 1 1 0
1 1 1
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
x y
xy
x x
y xy + x y
c. Langkah III:
x y
xy
x x
y xy + x y
BAB 3
P E M B A H A S A N
3.1 Metode Quine-McCluskey Tabulasi
Untuk Fungsi Boolean yang mempunyai lebih dari 6 enam variabel, digunakan metode Quine-McCluskey. Metode ini disebut juga metode Tabulasi.
Langkah-langkah: 1.
Nyatakan tiap minterm dalam n variabel menjadi string bit yang panjangnya n 2.
Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah nilai
1
yang dimilikinya.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
3. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok lain yang jumlah
nilai
1-
nya berbeda 1 satu, sehingga diperoleh prime implicant implikan utama yang terdiri dari n
-1
variabel. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda
√
. 4.
Kombinasikan minterm dalam n
-1
variabel dengan kelompok lain yang jumlah nilai
1-
nya berbeda 1 satu, sehingga diperoleh prime implicant implikan utama yang terdiri dari n
-2
variabel. 5.
Ulangi langkah 4 empat sampai diperoleh prime implicant implikan utama yang paling sederhana.
6. Ambil semua prime implicant implikan utama yang tidak bertanda
√. Buatlah Tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula
yang dicakup oleh prime implicant implikan utama tersebut, tandai dengan
x
. Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit 1 satu buah prime implicant
implikan utama.
7. Pilih prime implicant implikan utama yang memiliki jumlah literal paling
sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi Boolean semula, yaitu dengan cara:
a. Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda
x
dengan tanda , lalu beri tanda
√
di sebelah kiri prime implicant implikan utama yang berasosiasi dengan tanda asterisk
tersebut. Prime implicant implikan utama ini telah dipilih untuk Fungsi Boolean sederhana.
b. Untuk setiap prime implicant implikan utama yang telah ditandai dengan
√
, beri tanda minterm yang dicakup oleh prime implicant implikan utama tersebut dengan tanda
√
. c.
Periksa apakah masih ada minterm yang belum dapat dicakup oleh prime implicant implikan utama terpilih. Jika ada, maka pilih dari prime
implicant implikan utama yang tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm. Beri tanda
√
prime implicant implikan utama yang dipilih itu serta minterm yang dicakupnya.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua
prime implicant implikan utama.
Pendekatan otomatis untuk menyederhanakan ekspresi Boolean biasa digunakan pada Fungsi dengan keluaran tunggal atau jamak. Metode tabulasi atau juga dikenal
dengan metode Quine-McCluskey, membentuk perkalian yang berbeda pada 1 satu variabel secara berturut-turut, dan kemudian dihasilkan himpunan suku tereduksi yang
dapat mencakup semua Fungsi keluaran. Proses ini lebih mudah diimplementasikan pada komputer daripada metode peta, dan hasil suku-suku reduksinya dapat digunakan
oleh lebih dari 1 satu Fungsi.
3.2 Menyederhanakan Fungsi Tunggal
