Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua
prime implicant implikan utama.
Pendekatan otomatis untuk menyederhanakan ekspresi Boolean biasa digunakan pada Fungsi dengan keluaran tunggal atau jamak. Metode tabulasi atau juga dikenal
dengan metode Quine-McCluskey, membentuk perkalian yang berbeda pada 1 satu variabel secara berturut-turut, dan kemudian dihasilkan himpunan suku tereduksi yang
dapat mencakup semua Fungsi keluaran. Proses ini lebih mudah diimplementasikan pada komputer daripada metode peta, dan hasil suku-suku reduksinya dapat digunakan
oleh lebih dari 1 satu Fungsi.
3.2 Menyederhanakan Fungsi Tunggal
Tabel kebenaran pada Tabel 3.1. menggambarkan
f
yang merupakan Fungsi 4 empat variabel
x,y,z,
dan
w
, yang menyertakan 3 tiga don’t care
= d
. Proses reduksi secara Tabel dimulai dengan mengelompokkan minterm berdasarkan jumlah nilai
1
- nya. Minterm
0000
, tidak mempunyai nilai
1
, sehingga dijadikan grup tersendiri. Minterm
0001
,
0010
,
0100
, dan
1000
mempunyai nilai
1
tunggal, tetapi hanya minterm
0001
yang menghasilkan nilai
1
, sehingga minterm ini dijadikan grup lain.
Tabel 3.1 Kebenaran suatu Fungsi dengan don’t care
x y
z w
f d
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
d 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
d
Grup berikutnya adalah minterm dengan 2 dua nilai
1
, dan ada 6 enam kemungkinan minterm yang mempunyai 2 dua nilai
1
, yang dapat masuk dalam grup ini. Hanya minterm
0011
,
0101
,
0110
, dan
1010
yang menghasilkan keluaran
1
, sehingga minterm inilah yang masuk dalam grup.
Ada 3 tiga minterm yang menghasilkan keluaran
1
dan mempunyai 3 tiga nilai
1
, yaitu
0111
,
1011
, dan
1110
. Akhirnya grup yang beranggotakan 4 empat nilai
1
ada satu minterm, dan merupakan grup terakhir.
Untuk Tabel kebenaran yang lebih besar, proses dapat berlanjut terus. Grup dikelompokkan lagi sehingga grup yang berbeda tepat 1 satu jumlah nilai
1
-nya dapat digabung, seperti Tabel 3.2.a. Langkah berikutnya dalam proses reduksi adalah
membentuk sebuah konsensus antara setiap pasang grup bertetangga untuk semua suku dengan beda nilai tepat 1 satu variabel saja.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Tabel 3.2: Proses Reduksi Tabulasi
Keadaan awal Setelah Reduksi I
Setelah Reduksi II
x y
z w
x y
Z w
x y
z w
√ -
- -
1 1
√ -
1 √
- -
1 1
1 1
√ -
1 √
- 1
- 1
1 1
√ -
1 1
√
c
1 1
√ -
1 1
√ 1
1 √
1 -
1 √
1 1
1 √
- 1
1 √
1 1
1 √
1 1
- 1
1 1
√ 1
1 -
1 1
1 1
√ -
1 1
1 √
a
1 -
1 1
√ 1
1 -
1 √
b
Secara aljabar, teorema tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
x y + x z + y z = x y + x z + y z x + x = x y + x z + x y z + x y z
= x y + x y z + x z + x y z = x y 1 + z + x z 1 + y
= x y + x z
Dengan menggunakan Teorema konsensus diperolehlah bentuk dualitasnya:
x + y x + z y + z = x + y x + z
Ide dari penerapan konsensus pada reduksi tabulasi adalah untuk mengambil keuntungan dari sifat invers dari aljabar Boolean. Misalnya,
0000
dan
0001
berbeda nilainya pada variabel
w
, sehingga
000_
dimasukkan dalam daftar pada bagian atas Tabel reduksi seperti terlihat pada Tabel 3.2.b. Tanda garis bawah menunjukkan posisi
variabel yang dieliminasi, dalam contoh ini
w
.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Minterm
0000
dan
0001
pada Tabel 3.2.a ditandai dengan cek
√
untuk menunjukkan bahwa entri ini sudah tercakup pada Tabel reduksi. Setelah semua suku
pada grup pertama disilangkan dengan semua suku pada grup ke dua, kemudian beralih untuk membentuk konsensus antara grup ke dua dan ke tiga. Ada
kemungkinan bahwa beberapa suku tidak dapat dikombinasi menjadi suku yang lebih kecil karena berbeda pada lebih dari 1 satu variabel.
Contohnya, suku
0001
dan
0011
dapat dikombinasi menjadi suku lebih kecil
00_1
namun
0001
dan
0110
tidak dapat dikombinasi karena berbeda pada 3 tiga variabel. Sekali suku sudah ditandai dengan
√
, suku tersebut masih dapat dipergunakan untuk proses reduksi karena sifat idempotens. Tujuan dari langkah
dalam proses ini adalah untuk menemukan semua kemungkinan suku tereduksi, sehingga dapat menemukan himpunan terkecil suku yang masuk dalam Fungsi pada
langkah berikutnya.
Proses berlanjut untuk grup-grup sisanya. Setiap suku yang tidak tercakup dalam pengelompokan konsensus ditandai dengan asterisk
untuk menunjukkan bahwa ini adalah suku prime implicant implikan utama. Pada Tabel 3.2.a. terlihat bahwa
setelah reduksi pertama semua minterm sudah terpakai sehingga tidak ada prime implicant implikan utama.
Setelah reduksi pertama, dapat melanjutkan untuk literasi berikutnya, jika keduanya hanya berbeda 1 satu variabel saja, maka 2 dua suku dapat
dikombinasikaan. Garis bawah harus pada posisi yang sama. Entri pertama pada Tabel 3.2.b. mempunyai garis bawah pada kolom paling kanan, sehingga tidak ada entri
pada grup ke dua yang cocok.
Dalam penyusunan Tabel reduksi pada Tabel 3.2.c. prime implicant implikan utama dari Tabel sebelumnya Tabel 3.2.b tidak diikutkan. Proses berlanjut sampai
hanya tersisa prime implicant implikan utama. Pada contoh ini, proses berhenti setelah reduksi ke dua dan menghasilkan 3 tiga suku tersisa sebagai prime implicant
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
implikan utama seperti pada Tabel 3.2.c. Setiap prime implicant implikan utama dikumpulkan untuk menyusun Fungsi, walaupun belum minimal.
Oleh karena itu entri ini ditandai dengan asterisk , yang menunjukkan bahwa
suku ini adalah prime implicant implikan utama dan tidak dapat direduksi lagi. Beralih ke grup ke dua dan ke tiga pada Tabel 3.2.b. Suku
00_1
dan
01_1
dikombinasi menjadi suku
0_ _1
seperti tertera pada Tabel 3.2.c. Proses terus berlanjut hingga reduksi ke dua lengkap.
Untuk meminimalkan suku-suku yang digunakan, disusun Tabel pilihan seperti pada Tabel 3.3. Setiap prime implicant implikan utama dibuat 1 satu baris dalam
Tabel pilihan dan kolom berisi minterm dari Fungsi asli yang harus dicakup. Kondisi don’t care tidak perlu dicakup sehingga tidak dimasukkan dalam daftar. Setiap kotak
yang sesuai dengan prime implicant implikan utama dan mintermnya ditandai dengan asterisk
.
Misalnya, prime implicant implikan utama
000_
tandai pada kolom minterm
0001
. Beberapa prime implicant implikan utama mencakup beberapa minterm, seperti
0_ _1
akan mencakup 4 empat minterm. Setelah semua kotak dicek, carilah kolom yang hanya berisi 1 satu tanda cek.
Tanda cek tunggal pada kolom berarti hanya ada 1 satu prime implicant implikan utama yang mencakup minterm tersebut, dan prime implicant implikan utama yang
mencakup minterm tersebut ditandai dengan yang menunjukkan bahwa prime implicant implikan utama ini adalah esensial dan harus digunakan atau masuk dalam
persamaan akhir.
Tabel 3.3: Reduksi Esensial
Prime implicant implikan utama
Minterm
0001 0001 0101 0110 0111 1010 1101 000_
√ 011_
√ √
101_ √
0_ _1 √
√ √
√
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
_ _11 √
√ _1_1
√ √
√
Contoh prime implicant implikan utama esensial adalah
011_
,
101_
, dan
_1_1
. Prime implicant implikan utama esensial dapat mencakup lebih dari satu minterm.
Untuk itu dibuatlah Tabel pilihan tereduksi yang tidak menyertakan prime implicant implikan utama esensial dan mintermnya, seperti pada Tabel 3.4. Tabel pilihan
tereduksi dapat berisi prime implicant implikan utama esensial yang kemudian dikenai proses reduksi lagi, sampai Tabel pilihan tereduksi hanya berisi prime
implicant implikan utama non esensial.
Tabel 3.4. Tereduksi Non Esensial
Himpunan minterm
Himpunan 1 Himpunan 2
Pilihan 0001 0011
000_ 0_ _1
x 000_
√ _ _11
y 0_ _1
√ √
z _ _11
√
Sisa prime implicant implikan utama dalam Tabel pilihan tereduksi membentuk himpunan pilihan, yang digunakan untuk mendapatkan himpunan minimal. Seperti
pada Tabel 3.4. ada 2 dua himpunan prime implicant implikan utama yang menampung 2 dua minterm sisa. Karena himpunan 2 dua adalah suku paling
sederhana, maka suku inilah yang dipilih untuk membentuk persamaan minimal untuk
F
, yang terdiri atas prime implicant implikan utama esensial dan prime implicant implikan utama pilihan pada himpunan 2 dua. Persamaan berikut:
F = x y z + x y z + y w + x w
Selain menggunakan cara visual untuk mendapatkan himpunan dari himpunan pilihan, dapat juga dilakukan proses secara algoritmis. Proses dimulai dengan menyatakan
persamaan yang mencakup semua prime implicant implikan utama dalam himpunan pilihan pada Tabel 3.4. Ekspresi logis ditulis untuk setiap kolom pada Tabel pilihan
tereduksi seperti Tabel 3.5.
Safrina Amanah Sitepu : Studi Metode Quine-McCluskey Untuk Menyederhanakan Rangkaian Digital, 2009. USU Repository © 2009
Tabel 3.5 Ekspresi Logis Dalam Pilihan Tereduksi
Kolom Penjumlahan
0001 x + y 0011 y + z
Untuk mencari himpunan yang mencakup semua kolom, prime implicant implikan utama dikelompokkan sehingga paling tidak setiap kolom ditandai sekali. Ini berarti
bahwa relasi berikut harus terpenuhi, dengan F adalah suku dalam Tabel pilihan tereduksi:
F = x + y y + z
Dengan menerapkan sifat-sifat aljabar Boolean didapat:
F = x + y y + z = x y + x z + y + y z = x z + y
Setiap suku dalam persamaan ini menyatakan himpunan prime implicant implikan utama yang mencakup suku-suku dalam Tabel pilihan tereduksi. Suku terkecil
y
merupakan himpunan prime implicant implikan utama,
0 1
terkecil yang mencakup suku-suku tersisa. Hasil akhir yang di dapat sama seperti cara sebelumnya:
F = x y z + x y z + y w + x w
3.3 Menyederhanakan Fungsi Jamak
