1.2 Rumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan model maximum
likelihood untuk data yang berdistribusi eksponensial bivariat.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menguraikan dan menentukan cara estimasi parameter dari distribusi eksponensial bivariat dengan maximum likelihood.
1.3 Kontribusi Penelitian
Adapun kontribusi yang penulis harapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui cara mengestimasi dengan maximum likelihood.
2. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan metode
maximum likelihood dalam mengestimasi parameter dari distribusi eksponensial bivariat.
3. Menambah wawasan dan memperkaya literature dalam bidang statistika yang
berhubungan dengan maksimum likelihood dan distribusi eksponensial bivariat.
Universitas Sumatera Utara
1.4 Metode Penelitian
Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini secara rinci adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji metode maximum likelihood
2. Mengkaji data kemungkinan distribusi eksponensial bivariat
3. Mengestimasi data yang diperoleh dengan maximum likelihood
4. Menarik kesimpulan dan saran.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Distribusi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi expx atau e
x
, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.
Gambar 2.1 Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial merah terlihat hampir mendatar horizontal naik secara sangat perlahan untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk
nilai x yang positif.
Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik e
x
selalu positif berada di atas sumbu x dan nilainya bertambah dilihat dari kiri ke kanan. Grafiknya tidak
menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers
Universitas Sumatera Utara
dari fungsi ini, logaritma natural, atau lnx, didefinisikan untuk nilai x yang positif.
2.1.1 Distribusi Eksponensial
Bivariat
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada
tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang
digunakan pada pertengahan abad 19 Gompertz-Verhulst untuk
membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, yang didefinisikan sebagai berikut:
1
t
e t
G
2.1
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi
ekponensial satu variabel Univariate Exponential Distribution dengan fungsi kepadatan kumulatif dan x 0, adalah sebagai berikut:
1 ,
;
x GE
e x
F
2.2
dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya fkp adalah sebagai berikut:
1
1 ,
;
x x
GE
e e
x F
2.3 Keterangan:
x
= peubah acak
= parameter bentuk
= parameter skala
e
= 2,7183...
Universitas Sumatera Utara
Untuk α 0 dan λ 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan
parameter skala. Ini jelas untuk α = 1, merupakan distribusi eksponensial. Pada
kajian parameter α, dan λ = 1, sehingga distribusi eksponensial tergeneralisir
dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE α.
Jika terdapat dua peubah acak X
1,
X
2
yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial
tergeneralisir dua variabel fungsi kepadatan peluang gabungan dari X
1,
X
2
, untuk x
1
0, x
2
0 adalah:
,
2 1
x x
F
2 1
2 2
1 1
1 1
2 1
1 1
x x
x x
e e
e
2.4
2.2 Estimasi
Menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi parameter dengan memakai nilai sampel statistik diistilahkan dengan Estimasi.
Dengan statistika, peneliti berusaha menyimpulkan populasi. Dalam kenyataannya, memgingat berbagai faktor untuk keperluan tersebut diambil
sebuah sampel yang representatif dan berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Cara pengambilan kesimpulan
tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan
statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Sifat atau ciri estimator yang baik atau tidak bias, efisien dan konsisten:
1. Estimator yang tidak bias
Universitas Sumatera Utara
Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang maengandung nilai parameter yang diestimasikan.
2. Estimator yang efisien
Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter.
3. Estimator yang konsisten
Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapapun besarnya, pada rentangnya tetap mengandungnilai parameter yang sedang diestimasi.
Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik point estimation dan estimasi selang interval estimation.
a. Estimasi titik point estimation
Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk menestimasi nilai parameter.
b. Estimati interval interval estimation
Estimasi interval dengan menyebut daerah pembatasan dimana peneliti menentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator. Metode ini memuat
niali-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu confidence interval.
2.3 Metode Maksimum Likelihood
Kategori