3.2. Estimasi Parameter dengan Maksimum Likelihood pada Distribusi Eksponensial Bivariat
Dalam bagian ini akan dibahas tentang estimator maksimum likelihood dari parameter yang tidak diketahui pada distribusi eksponensial bivariat
berdasarkan sampel acak.
Misalkan {x
11
, x
12
, …. x
1n
, x
2n
} adalah sampel acak dari distribusi eksponensial bivariat
1
,
2
,
3,
λ. Selanjutnya akan dibahas untuk dua kasus yaitu untuk
diketahui dan tidak diketahui
3.2.1. Estimasi Parameter untuk Diketahui
Notasi yang digunakan adalah: I
1
= {i ; X
1i
X
2i
}, I
2
= {X
1i
X
2i
}, I = {X
1i
= X
2i
= Y
i
, I = I
1
I
2
I
3
, |I
1
| = n
1
, |I
2
| = n
2
, |I | = n
, dan n + n
1
+ n
2
= n.
Fungsi log-likelihoodnya dapat ditulis sebagai berikut: l
1
,
2
,
3
, = n ln + n
1
ln
1
+
3
+ n
1
ln
2
+
1
+
3
- 1
Universitas Sumatera Utara
Dalam kasus ini untuk nilai tertentu,
1
dan
2
dari estimator maks likehood ditulis dengan
1
dan
2
dan persamaannya adalah: 3.8
3.9
Persamaan 3.8 dan 3.9 memiliki masing-masing satu akar positif yaitu: 3.10
3.11
Keterangan:
Setelah
1
dan
2
diketahui, dari maksimum likelihood dapat diperoleh dengan memaksimalkan nilai log-likelihood dari
. Hal ini dapat diperoleh dengan persamaan titik tetap yaitu:
g =
Keterangan:
Universitas Sumatera Utara
3.2.2. Estimasi Parameter untuk Tidak Diketahui
Dalam kasus ini disarankan menggunakan EM Estimasi Maksimum Algoritma untuk menghitung maksimum likelihood dari parameter yang tidak diketahui.
Diasumsikan untuk sebuah vektor bivariat X
1
, X
2
, terdapat sebuah vector random
Δ
1
, Δ
2
, Δ
1
= 1 atau 3, dengan U
1
U
3
atau U
1
U
3
dan juga Δ
2
= 2 atau 3, bila U
2
U
3
atau U
2
U
3
. Oleh karena itu, jika X
1
= X
2
, maka Δ
1
= Δ
2
= 3. Tetapi jika X
1
X
2
atau X
1
X
2
, maka Δ
1
, Δ
2
hilang. Jika ,
I
1
, maka nilai-nilai kemungkinan dari
Δ
1
, Δ
2
adalah 1,2 dan 3,2, dan juga ,
I
2
, dan
Δ
1
, Δ
2
adalah 1,3 dan 1,2 dengan kemungkinan tidak sama dengan nol.
Dalam EM algoritma terdapat dua Step yaitu “E” dan “M” Step. Dalam “E” step pengamatan untuk I
sebagai pengamatan yang lengkap. Untuk ,
I
1
, bentuk pengamatan pseudo semu dengan ,
dalam dua pengamatan adalah
, dan
, . Untuk
dan digunakan untuk pengamatan pseudo
, adalah kemungkinan
yang kondisional dengan vektor random Δ
1
, Δ
2
yang mempunyai nilai 1,2 dan 3,2, untuk X
1
, X
2
.
Demikian pula, untuk ,
I
2
, bentuk pengamatan pseudo dari bentuk
, dan
, . Untuk
digunakan pada pengamatan pseudo
, adalah kemungkinan yang kondisional dengan
vektor random Δ
1
, Δ
2
yang mempunyai nilai 1,2 dan 1,3, untuk X
1
X
2
.
Universitas Sumatera Utara
dan dan
Sekarang ditulis sebagai
. Fungsi Log-likelihood dari pseudo data dapat ditulis sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Dalam “M” step melibatkan maksimum dari dengan
hubungan dan pada setiap bagian. Untuk nilai tetap. Maksimum
dari adalah:
yang mana maksimum dapat diperoleh dari persamaan titik
tetap.
Keterangan:
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Kategori