Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang maengandung nilai parameter yang diestimasikan.
2. Estimator yang efisien
Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter.
3. Estimator yang konsisten
Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapapun besarnya, pada rentangnya tetap mengandungnilai parameter yang sedang diestimasi.
Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik point estimation dan estimasi selang interval estimation.
a. Estimasi titik point estimation
Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk menestimasi nilai parameter.
b. Estimati interval interval estimation
Estimasi interval dengan menyebut daerah pembatasan dimana peneliti menentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator. Metode ini memuat
niali-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu confidence interval.
2.3 Metode Maksimum Likelihood
Salah satu metode yang dapat digunakan dalam mengestimasi parameter pada distribusi eksponensial adalah Maximum Estimation Likelihood MLE.
Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan likelihood yang paling besar untuk
mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator. Fungsi densitas bersama
Universitas Sumatera Utara
fx
1
,…,x
n
; dari variabel-variabel acak X
1
, X
2
, …, X
n
dinamakan fungsi likelihood.
Untuk x
1
,…,x
n
yang tetap fungsi likelihood merupakan fungsi dari dan
akan dinotasikan dengan L , yakni L = fx
1
,…,x
n
; . Jika X
1
, X
2
, …, X
n
adalah sampel acak dari fx, maka:
n i
i
x f
L
1
,
2.5
Misalkan L = fx
1
,…,x
n
; , , merupakan fungsi densitas bersama
dari variabel-variabel acak X
1
, X
2
, …, X
n
. Estimator maksimum likelihood Maximum Likelihood Estimator MLE untuk
, dinotasikan dengan
ˆ
adalah nilai
yang memaksimumkan fungsi likelihood L .
Jika merupakan interval terbuka dan jika L terdiferensialkan dan
mencapai nilai maksimum pada , maka MLE
ˆ
merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:
L
d d
atau secara ekuivalen
ˆ
merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:
ln
L d
d 2.6
Persamaan 2.6 lebih sering digunakan karena lebih mudah untuk mencari estimator maksimum likelihood
ˆ
. Misalkan X
1
, X
2
, …, X
n
, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X~POI
dengan fungsi densitas sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
,... 2
, 1
, ,
;
x x
e x
f
x
2.7
fungsi likelihoodnya dapat dituliskan sebagai berikut:
n i
i n
x n
i i
x e
x f
L
n i
i
1 1
,
1
2.8
Dari persamaan 2.8, akan menghasilkan fungsi log likelihood sebagai berikut :
n i
i n
i i
x n
x L
1 1
ln ln
ln
Dalam penghitungan dengan menggunakan maksimum likelihood, terdapat kasus dimana estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh
dengan menyelesaikan persamaan likelihood. Sebagai contoh, misalkan X
1
, X
2
, …, X
n
, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan dua parameter, X~EXP1,
dengan fungsi densitas sebagai berikut:
x e
x x
f
x
, ,
; 2.9
Dari persamaan 2.9, diperoleh fungsi likelihood sebagai berikut:
n
i i
x L
1
exp
, untuk x
1:n
2.10
dan L = 0 untuk kasus selainnya. Di sini jelas bahwa MLE untuk adalah
n
X
: 1
ˆ
.
Universitas Sumatera Utara
Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata tidak diketahui dan varian
2
diketahui. Fungsi likelihood sebuah sampel yang besarnya
n
adalah:
n i
x
i
e L
1 2
2 2
2 1
2 1
2
2 1
2 2
2 1
i n
i
x n
e Dengan demikian diperoleh
n i
i
x n
n nL
1 2
1 2
2
2 2
2
dan
n i
i
x d
nL d
1 1
2
Persamaan terakhir ini sama dengan nol dan penyelesaiannya untuk
menghasilkan:
n X
n i
i
1
ˆ
X
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Distribusi Eksponensial Bivariat
