Menaksir Parameter Pada Distribusi Eksponensial Bivariat Dengan Metode Maksimum Likelihood.

MENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI

EKSPONENSIAL BIVARIAT DENGAN METODE

MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

RINI OCTAVIANI PANE

090823032

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

MENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BIVARIAT DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RINI OCTAVIANI PANE 090823032

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

Judul : MENAKSIR PARAMETER PADA

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BIVARIAT DENGAN METODE MAKSIMUM

LIKELIHOOD

Kategori : SKRIPSI

Nama : RINI OCTAVIANI PANE

Nomor Induk Mahasiswa : 090823032

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

Diluluskan di Medan, 11 Agustus 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Drs. Marwan Harahap,M.Eng NIP. 19500321 198003 1 001 NIP. 19461225 197403 1 001

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

PERNYATAAN

MENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BIVARIAT DENGAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

RINI OCTAVIANI PANE 090823032

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan kasih karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas dan padat dan professional telah diberikan kepada penulis agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga ditunjukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen yaitu Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si. Dekan pada FMIPA USU, Pegawai di FMIPA USU. Tidak lupa kepada orang tua penulis, ibunda (Rita Mariaty Purba) dan ayahanda (Alm. Mohar Pane), kedua abang saya (Ilham dan Harry), Kakak Diana, Ardi, Nuphon dan semua keluarga yang selama ini memberikan dorongan dan dukungan. Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalasnya.

ABSTRAK

Distribusi eksponensial adalah distribusi baru yang diperkenalkan Guptu dan Kundu

pada tahun 1999. Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial dua variabel atau distribusi eksponensial bivariat (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

 



   





_

_

 

Estimasi Maksimum Likelihood merupakan salah satu pendekatan terpenting pada penaksiran dalam sebuah inferennsi statistika. Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator.

Dalam penelitian ini diperoleh parameter untuk distribusi eksponensial bivariat dengan maksimum likelihood adalah:

ABSTRACT

Exponential distribution is the distribution of newly introduced Guptu and Kundu in 1999. If there are two random variables (X1, X2) are distributed exponentially with the assumption of mutually independent, then the exponential distribution of two variables or bivariate exponential distribution (density function of the combined odds of (X1, X2)), for x1> 0, x2> 0 is:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

 



   





_

_

 

Maximum Likelihood estimation is one of the most important approach to the assessment in a inferennsi statistics. The basic idea of the maximum likelihood method is to find parameter values that give the possibility (likelihood) are most likely to get the data observed as the estimator. In this study the parameters obtained for the bivariate exponential distribution by maximum likelihood is:

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Kontribusi Penelitian 3

1.6 Metode Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori 5

2.1 Diatribusi Eksponensial 5

2.1.1 Distribusi Eksponensial Bivariat 6

2.2 Estimasi 7

2.3 Metode Maksimum Likelihood 8

Bab 3 Pembahasan 12

3.1 Distribusi Eksponensial Bivariat 12

3.2 Estimasi Parameter dengan Maksimum Likelihood pada Distribusi Eksponensial Bivariat 16

3.2.1 Estimasi Parameter Jika Diketahui 16

3.2.2 Estimasi Parameter Jika Tidak Diketahui 18

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 21

4.1 Kesimpulan 21

4.2 Saran 22

Daftar Pustaka 23 Lampiran

DAFTAR GAMBAR

ABSTRAK

Distribusi eksponensial adalah distribusi baru yang diperkenalkan Guptu dan Kundu

pada tahun 1999. Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial dua variabel atau distribusi eksponensial bivariat (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

 



   





_

_

 

Estimasi Maksimum Likelihood merupakan salah satu pendekatan terpenting pada penaksiran dalam sebuah inferennsi statistika. Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator.

Dalam penelitian ini diperoleh parameter untuk distribusi eksponensial bivariat dengan maksimum likelihood adalah:

ABSTRACT

Exponential distribution is the distribution of newly introduced Guptu and Kundu in 1999. If there are two random variables (X1, X2) are distributed exponentially with the assumption of mutually independent, then the exponential distribution of two variables or bivariate exponential distribution (density function of the combined odds of (X1, X2)), for x1> 0, x2> 0 is:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x

x

e

e

e

 



   





_

_

 

Maximum Likelihood estimation is one of the most important approach to the assessment in a inferennsi statistics. The basic idea of the maximum likelihood method is to find parameter values that give the possibility (likelihood) are most likely to get the data observed as the estimator. In this study the parameters obtained for the bivariate exponential distribution by maximum likelihood is:

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, dimana salah satu dari tiga parameternya distandarisasi menjadi satu.

Beberapa tahun terakhir ini masih sedikit kajian yang dilakukan terhadap Distribusi Eksponensial, dan tidak ada upaya untuk memperpanjang distribusi ini kepada kasus multivariat. Gupta dan Kundu kemudian memperkenalkan Distribusi Eksponensial Bivariat pada tahun 2008, di mana distribusi ini merupakan salah satu dari fungsi kepadatan peluang. Kemudian memperoleh observasi, di mana satu set data telah dianalisis ulang dan diamati bahwa distribusi eksponensial tergeneralisir bivariat memberikan hasil yang lebih baik daripada distribusi eksponensial bivariat biasa.

Dalam ilmu statistik parameter merupakan ukuran populasi, parameter yang sebenarnya ingin diketahui jarang diperoleh. Parameter umumnnya tidak diketahui karena populasinya tidak terhingga besarnya, atau kalau terhingga jumlahnya terlalu besar untuk diteliti seluruhnya dibanding biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia. Untuk mengestimasi parameter suatu populasi diambil sebuah sampel yang representatif, sebelum estimasi dilakukan perlu diketaui lebih dulu keadaan

populasi variabel acak tersebut secara apriori, seperti bentuk distribusinya, dan karakteristik parameter-parameter lain. Walaupun kerapkali informasi tentang populasinya sangat minimal, informasi yang diperoleh secara apriori itu kemudian dapat ditambahkan pula dengan informasi yang diperoleh dari sampel itu sendiri.

Dalam statistika, ada hal yang perlu diperhatikan yaitu jika parameter populasi tidak diketahui, maka dilakukan estimasi tapi jika parameter diketahui maka dilakukan pengujian hipotesis untuk menguji kebenaran dari asumsi tentang parameter. Dalam mengestimasi parameter, perlu memilih metode yang tepat sesuai dengan keadaan dari populasi yang diteliti. Bila distribusi populasi diketahui , maka teknik yang digunakan untuk menaksir parameternya adalah metode maksimum likelihood.

Metode maximum likelihood mendasarkan inferensi pada sampel, dan juga metode ini salah satu cara untuk menaksir distribusi eksponensial. Ide dasar metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkikan yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator dan kegunaannya untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampelnya. Tetapi jika distribusi populasi tidak diketahui, maka metode maksimum likelihood tidak dapat digunakan. Dalam mengestimasi parameter pemilihan metode estimasi sangat penting, metode harus sesuai dengan kondisi populasi.

Berdasarkan uraian tersebut maka penulis tertarik untuk meneliti dan menuangkan permasalahan tersebut dalam sebuah skripsi yang berjudul:” Menaksir Parameter pada Distribusi Eksponensial Bivariat dengan Metode Maksimum Likelihood”.

1.2 Rumusan Masalah

Masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menentukan model maximum likelihood untuk data yang berdistribusi eksponensial bivariat.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk menguraikan dan menentukan cara estimasi parameter dari distribusi eksponensial bivariat dengan maximum likelihood.

1.3 Kontribusi Penelitian

Adapun kontribusi yang penulis harapkan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui cara mengestimasi dengan maximum likelihood.

2. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan metode maximum likelihood dalam mengestimasi parameter dari distribusi eksponensial bivariat.

3. Menambah wawasan dan memperkaya literature dalam bidang statistika yang berhubungan dengan maksimum likelihood dan distribusi eksponensial bivariat.

1.4 Metode Penelitian

Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini secara rinci adalah sebagai berikut:

1. Mengkaji metode maximum likelihood

2. Mengkaji data kemungkinan distribusi eksponensial bivariat 3. Mengestimasi data yang diperoleh dengan maximum likelihood 4. Menarik kesimpulan dan saran.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Distribusi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183.

Gambar 2.1 Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar horizontal (naik secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers

dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif.

2.1.1 Distribusi Eksponensial Bivariat

Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, yang didefinisikan sebagai berikut:

 



)

1

(

)

(

t

e

t

G





 _(2.1)

Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi kepadatan kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:

 





,

)

(

1

)

;

(

x

GE

x

e

F







(2.2)

dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:

1 ) 1 ( ) , ;

(









x  x 

GE x e e

F

(2.3)

Keterangan:

x

= peubah acak

Untuk α > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Ini jelas untuk α = 1, merupakan distribusi eksponensial. Pada kajian parameter α, dan λ = 1, sehingga distribusi eksponensial tergeneralisir dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE(α).

Jika terdapat dua peubah acak (X1,X2) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X1,X2)), untuk x1 > 0, x2 > 0 adalah:

)

,

(

x

₁

x

₂

F

1 1 1 2 2 1 1 2

2

1

(

1

)

(

1

)

x x x x

e

e

e

 



   





_

_

 

(2.4)

2.2 Estimasi

Menaksir ciri-ciri tertentu dari populasi atau memperkirakan nilai populasi (parameter) dengan memakai nilai sampel (statistik) diistilahkan dengan Estimasi. Dengan statistika, peneliti berusaha menyimpulkan populasi. Dalam kenyataannya, memgingat berbagai faktor untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif dan berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel kesimpulan mengenai populasi dibuat. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebenarnya yang tidak diketahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Sifat atau ciri estimator yang baik atau tidak bias, efisien dan konsisten:

Estimator dikatakan tidak bias apabila ia dapat menghasilkan estimasi yang maengandung nilai parameter yang diestimasikan.

2. Estimator yang efisien

Estimator dikatakan efisien apabila hanya dengan rentang nilai estimasi yang kecil saja sudah cukup mengandung nilai parameter.

3. Estimator yang konsisten

Estimator dikatakan konsisten apabila sampel yang diambil berapapun besarnya, pada rentangnya tetap mengandungnilai parameter yang sedang diestimasi.

Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (pointestimation) dan estimasi selang (interval estimation).

a. Estimasi titik (point estimation)

Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai atau untuk menestimasi nilai parameter.

b. Estimati interval (interval estimation)

Estimasi interval dengan menyebut daerah pembatasan dimana peneliti menentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator. Metode ini memuat niali-nilai estimator yang masih dianggap benar dalam tingkat kepercayaan tertentu (confidence interval).

2.3 Metode Maksimum Likelihood

Salah satu metode yang dapat digunakan dalam mengestimasi parameter pada distribusi eksponensial adalah Maximum Estimation Likelihood (MLE).

f(x1,…,xn;  ) dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn dinamakan fungsi likelihood.

Untuk x1,…,xn yang tetap fungsi likelihood merupakan fungsi dari  dan akan dinotasikan dengan L( ), yakni L( )= f(x1,…,xn;  ). Jika X1, X2, …, Xn adalah sampel acak dari f(x,) maka:



_  n i i x f L 1 ) , ( )

(  (2.5)

Misalkan L( )= f(x1,…,xn; ), , merupakan fungsi densitas bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn. Estimator maksimum likelihood (Maximum Likelihood Estimator / MLE) untuk , dinotasikan dengan ˆ adalah nilai  yang memaksimumkan fungsi likelihood L( ).

Jika  merupakan interval terbuka dan jika L() terdiferensialkan dan mencapai nilai maksimum pada , maka MLE ˆ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:

0 ) (   L d d

atau secara ekuivalen ˆ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut:

0 ) ( ln  

 L

d d

(2.6)

Persamaan (2.6) lebih sering digunakan karena lebih mudah untuk mencari estimator maksimum likelihood ˆ. Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X~POI() dengan fungsi densitas sebagai berikut:

,... 2 , 1 , 0 , ! ) ; (    x x e x f x  

 (2.7) fungsi likelihoodnya dapat dituliskan sebagai berikut:





    

 n

i i n x n i i x e x f L n i i 1 1 _! ) , ( ) ( 1   

 (2.8)

Dari persamaan (2.8), akan menghasilkan fungsi log likelihood sebagai berikut :

      





  n i i n i

i n x

x L 1 1 ! ln ln ) (

ln   

Dalam penghitungan dengan menggunakan maksimum likelihood, terdapat kasus dimana estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan likelihood. Sebagai contoh, misalkan X1, X2, …,

Xn, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan dua parameter,

X~EXP(1,) dengan fungsi densitas sebagai berikut:

      _{ } x e x x f _x     _, , 0 ) ;

( _{( )} (2.9)

Dari persamaan (2.9), diperoleh fungsi likelihood sebagai berikut:

  

_{ } 



n xi

Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata  tidak diketahui dan varian

2

 diketahui. Fungsi likelihood sebuah sampel yang besarnya n adalah:

 

_

      n i xi e L 1 2 / 2 2 2

1 _{ }

  

 

1/2 2 1 2

2 / 2

2

1 _{ }



 

 

 ni xi

n e

Dengan demikian diperoleh

 

   

_





            n i i x n n nL 1 2 1 2 2 2 2

2   

   dan

 

_{ }

_

_

_

    n i i x d nL d 1 1 2    

Persamaan terakhir ini sama dengan nol dan penyelesaiannya untuk  menghasilkan: n X n i i



_  1 ˆ   X

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1. Distribusi Eksponensial Bivariat

Generalisasi distribusi eksponensial univariate memiliki fungsi CDF dan PDF untuk x > 0 yaitu:

FGE (x ; ; ) = (1 – e-x), FGE (x; ; ) = e-z(1 – e-z)-1 (3.1) untuk  > 0 dan  = 0 masing-masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Bila  = 1, maka distribusi diatas merupakan distribusi eksponensial.

Misalkan bahwa 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0,  > 0, untuk U1 ~ GE (1, ), U2 ~

GE (2, ) dan U3 ~ GE (3, ) adalah saling bebas. Didefinisikan X1 = max {U1,

U3} dan X2 = max {U2, U3}. Jika terdapat dua peubah acak (x1, x2) yang

berdistribusi eksponensial bivariat tergeneralisasi dengan parameter bentuk 1, 2,

Teorema 3.1: Jika (x1, x2) ~ BVGE (1, 2, 3), maka fungsi kepadatan kumulatif

dari (x1, x2) untuk x1 > 0, x2 > 0, adalah :

Fx1,x2 = (3.2)

Untuk z = min

Fungsi kepadatan kumulatif dari BVGE (1, 2, 3) dapat ditulis sebagai berikut:

Teorema 3.2: Jika (x1, x2) ~ BVGE (1, 2, 3) maka fungsi kepadatan

peluangnya dari (x1, x2) untuk ( > 0, > 0, adalah :

Keterangan:

( ;

= (

= (

= .

Bukti: Untuk f1, f2, dapat diperoleh dengan untuk masing-masing

x1 < x2 dan x2 < 1. Tetapi f0 tidak dapat diperoleh dengan cara yang sama,

melainkan sebagai berikut:

(3.3)

(3.4) dan

(3.5)

Dari teorema 3.1. dan 3.2, Jika 0 < I < 1, i = 1,2,3 dan 1 + 3 = 2 + 3 = 1,

maka x1 dan x2 adalah distribusi eksponensial.

Untuk 3 =  dan 1 = 1 -  dan 2 = 1 - , bentuk fungsi kepadatan

Teorema 3.3: Jika (x1, x2) ~ BVGE (1, 2, 3), maka

dengan:

z = min (x1, x2)

Fs dan Fa masing-masing adalah bagian yang singular dan kontinu

Bukti: Untuk menemukan dari Fx1, x2,( ) = pFa ( ) + (1-p) Fs

( ) , 0 ≤ p ≤ 1, maka dihitung

Keterangan:

p=

=

3.2. Estimasi Parameter dengan Maksimum Likelihood pada Distribusi Eksponensial Bivariat

Dalam bagian ini akan dibahas tentang estimator maksimum likelihood dari parameter yang tidak diketahui pada distribusi eksponensial bivariat berdasarkan sampel acak.

Misalkan {(x11, x12), …. (x1n, x2n)} adalah sampel acak dari distribusi

eksponensial bivariat (1, 2, 3,λ). Selanjutnya akan dibahas untuk dua kasus

yaitu untuk diketahui dan tidak diketahui

3.2.1. Estimasi Parameter untuk Diketahui

Notasi yang digunakan adalah:

I1 = {i ; X1i < X2i}, I2 = {X1i > X2i}, I0 = {X1i = X2i = Yi), I = I1 I2 I3,

|I1| = n1, |I2| = n2, |I0| = n0, dan n0 + n1 + n2 = n.

Fungsi log-likelihoodnya dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam kasus ini untuk  nilai tertentu, 1 dan 2 dari estimator maks likehood

ditulis dengan 1() dan 2() dan persamaannya adalah:

(3.8)

(3.9)

Persamaan (3.8) dan (3.9) memiliki masing-masing satu akar positif yaitu:

(3.10)

(3.11)

Keterangan:

Setelah 1() dan 2() diketahui,  dari maksimum likelihood dapat diperoleh

dengan memaksimalkan nilai log-likelihood dari . Hal ini dapat diperoleh dengan persamaan titik tetap yaitu:

g () =  Keterangan:

3.2.2. Estimasi Parameter untuk Tidak Diketahui

Dalam kasus ini disarankan menggunakan EM (Estimasi Maksimum) Algoritma untuk menghitung maksimum likelihood dari parameter yang tidak diketahui. Diasumsikan untuk sebuah vektor bivariat (X1, X2), terdapat sebuah vector

random (Δ1, Δ2), Δ1 = 1 atau 3, dengan U1 > U3 atau U1 < U3 dan juga Δ2 = 2 atau

3, bila U2 > U3 atau U2 < U3. Oleh karena itu, jika X1 = X2, maka Δ1 = Δ2 = 3.

Tetapi jika X1 < X2 atau X1 > X2, maka (Δ1, Δ2) hilang. Jika ( , )  I1, maka

nilai-nilai kemungkinan dari (Δ1, Δ2) adalah (1,2) dan (3,2), dan juga ( , )  I2,

dan (Δ1, Δ2) adalah (1,3) dan (1,2) dengan kemungkinan tidak sama dengan nol.

Dalam EM algoritma terdapat dua Step yaitu “E” dan “M” Step. Dalam “E” step pengamatan untuk I0 sebagai pengamatan yang lengkap. Untuk ( , )

 I1, bentuk pengamatan pseudo (semu) dengan ( , ) dalam dua pengamatan

adalah ( , dan ( , . Untuk dan

digunakan untuk pengamatan pseudo ( , ) adalah kemungkinan yang kondisional dengan vektor random (Δ1, Δ2) yang mempunyai nilai (1,2) dan

dan

dan

Sekarang ditulis sebagai . Fungsi

Dalam “M” step melibatkan maksimum dari dengan hubungan dan pada setiap bagian. Untuk nilai tetap. Maksimum

dari adalah:

yang mana maksimum dapat diperoleh dari persamaan titik tetap.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk menentukan estimasi suatu nilai pada sebuah data yang berdistribusi secara eksponensial bivariat, metode maksimum likelihood dapat digunakan untuk menghasilkan nilai estimasi yang paling optimum. Maksimum likelihood merupakan metode estimasi yang tepat dalam menentukan parameter λ pada distribusi eksponensial.

2. Dengan menggunakan metode maksimum likelihood, estimator yang digunakan pada distribusi eksponensial bivariat adalah dan .

4.2 Saran

Adapun saran yang ingin penulis sampaikan berdasarkan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Sebaiknya gunakanlah metode maksimum likelihood dalam mengestimasi parameter pada distribusi eksponensial bivariat, karena metode ini lebih ssederhana. Selain itu, metode maksimum likelihood memiliki sifat estimator yg efisien.

2. Sebaiknya dilakukan penelitian lebih lanjut dengan membandingkannya dengan metode estimasi lainnya untuk mengetahui apakah estimator pada metode maksimum likelihood efisien dan konsisten digunakan.

3. Agar kajian yang lebih mendalam lagi mengenai distribusi eksponensial bivariat, dapat dilakukan dengan mencari estimator kemiringannya.

DAFTAR PUSTAKA

Antasari, T. S dan Dodge Yadolah. 1981. Mathematical Programming In Statistic. New York: Wiley

Dudewiez, Mishra. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung: ITB Bandung. Kapur, K.C dan Lamberson, L.R. 1976. Reliability in Engineering Design. New

York

Nasution, Andi Hakim. Teori Statistik. Bogor, 1969

Papoulis. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik. Edisi 2. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press

R.D. Gupta, D., Kundu. 1999. Generalized exponential distribution. Austr. NZ J. Statist. 41 (2), 173–188

R.D. Gupta, D., Kundu. 2007. Generalized exponential distributions: existing results and some recent developments. Journal of Statistical Planning and Inference, vol. 137, 3525 – 3536

Sudjana. 1992. Metode Statistika Edisi ke-6. Bandung: Tarsito Suparman, I.A. Statistik Matematik. Jakarta, 1989

Walpole, Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB Bandung

Walpole, Ronald. Dkk. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains. Jakarta: PT Prehallindo

3.2.2. Estimasi Parameter untuk Tidak Diketahui

Dalam kasus ini disarankan menggunakan EM (Estimasi Maksimum) Algoritma untuk menghitung maksimum likelihood dari parameter yang tidak diketahui. Diasumsikan untuk sebuah vektor bivariat (X1, X2), terdapat sebuah vector

random (Δ1, Δ2), Δ1 = 1 atau 3, dengan U1 > U3 atau U1 < U3 dan juga Δ2 = 2 atau

3, bila U2 > U3 atau U2 < U3. Oleh karena itu, jika X1 = X2, maka Δ1 = Δ2 = 3.

Tetapi jika X1 < X2 atau X1 > X2, maka (Δ1, Δ2) hilang. Jika ( , )  I1, maka

nilai-nilai kemungkinan dari (Δ1, Δ2) adalah (1,2) dan (3,2), dan juga ( , )  I2,

dan (Δ1, Δ2) adalah (1,3) dan (1,2) dengan kemungkinan tidak sama dengan nol.

Dalam EM algoritma terdapat dua Step yaitu “E” dan “M” Step. Dalam “E” step pengamatan untuk I0 sebagai pengamatan yang lengkap. Untuk ( , )

 I1, bentuk pengamatan pseudo (semu) dengan ( , ) dalam dua pengamatan

adalah ( , dan ( , . Untuk dan

digunakan untuk pengamatan pseudo ( , ) adalah kemungkinan yang kondisional dengan vektor random (Δ1, Δ2) yang mempunyai nilai (1,2) dan

(3,2), untuk X1, X2.

Demikian pula, untuk ( , )  I2, bentuk pengamatan pseudo dari

bentuk ( , dan ( , . Untuk digunakan pada

pengamatan pseudo ( , ) adalah kemungkinan yang kondisional dengan vektor random (Δ1, Δ2) yang mempunyai nilai (1,2) dan (1,3), untuk X1 > X2.

dan dan

Sekarang ditulis sebagai . Fungsi

Dalam “M” step melibatkan maksimum dari dengan hubungan dan pada setiap bagian. Untuk nilai tetap. Maksimum

dari adalah:

yang mana maksimum dapat diperoleh dari persamaan titik tetap.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk menentukan estimasi suatu nilai pada sebuah data yang berdistribusi secara eksponensial bivariat, metode maksimum likelihood dapat digunakan untuk menghasilkan nilai estimasi yang paling optimum. Maksimum likelihood merupakan metode estimasi yang tepat dalam menentukan parameter λ pada distribusi eksponensial.

2. Dengan menggunakan metode maksimum likelihood, estimator yang digunakan pada distribusi eksponensial bivariat adalah dan .

4.2 Saran

Adapun saran yang ingin penulis sampaikan berdasarkan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Sebaiknya gunakanlah metode maksimum likelihood dalam mengestimasi parameter pada distribusi eksponensial bivariat, karena metode ini lebih ssederhana. Selain itu, metode maksimum likelihood memiliki sifat estimator yg efisien.

2. Sebaiknya dilakukan penelitian lebih lanjut dengan membandingkannya dengan metode estimasi lainnya untuk mengetahui apakah estimator pada metode maksimum likelihood efisien dan konsisten digunakan.

3. Agar kajian yang lebih mendalam lagi mengenai distribusi eksponensial bivariat, dapat dilakukan dengan mencari estimator kemiringannya.

DAFTAR PUSTAKA

Antasari, T. S dan Dodge Yadolah. 1981. Mathematical Programming In Statistic. New York: Wiley

Dudewiez, Mishra. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung: ITB Bandung. Kapur, K.C dan Lamberson, L.R. 1976. Reliability in Engineering Design. New

York

Nasution, Andi Hakim. Teori Statistik. Bogor, 1969

Papoulis. 1992. Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik. Edisi 2. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press

R.D. Gupta, D., Kundu. 1999. Generalized exponential distribution. Austr. NZ J. Statist. 41 (2), 173–188

R.D. Gupta, D., Kundu. 2007. Generalized exponential distributions: existing

results and some recent developments. Journal of Statistical Planning and

Inference, vol. 137, 3525 – 3536

Sudjana. 1992. Metode Statistika Edisi ke-6. Bandung: Tarsito Suparman, I.A. Statistik Matematik. Jakarta, 1989

Walpole, Myers. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB Bandung

Walpole, Ronald. Dkk. 2003. Probabilitas dan Statistika untuk Teknik dan Sains.