Model Matematika Vektor adalah ruas garis yang mempunyai besar panjang dan arah tertentu.

C3,0 maka Z = 33 + 20 = 9 Untuk koordinat Bx,y dapat dicari dengan mengeliminasi persamaan linear : x + y = 3 | x5 | 5x + 5y = 15 2x – 5y = – 10 | x1 | 2x – 5y = – 10 + 7x = 5 x = 5 7 x + y = 3 ⇒ 5 7 + y = 3 ⇒ y = 3 – 5 7 = 16 7 sehingga B 5 7 , 16 7 Z = 3 5 7 + 2 16 7 = 15 7 + 32 7 = 47 7 = 6 6 7 Dari substitusi A, B , dan C tersebut disimpulkan bahwa nilai maksimumnya adalah 9 yang diperoleh untuk x = 3 dan y = 0 atau pada titik B

2. Model Matematika

Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika. Contoh 1 : Jika harga tiga buku dan lima pensil Rp. 30.000,00 sedangkan harga dua buku dan satu pensil Rp. 13.000,00. Buatlah model matematikanya. Penyelesaian: Misalkan satu buku = x Satu pensil = y Maka model matematikanya 3x + 5y = 30.000 2x + y = 13.000 Contoh 2 : 6 30 44 15 22 Seorang pedagang akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 25 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakan bahan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,1 kg mentega, tentukan : a. Model matematikanya b. Sketsa grafiknya c. Fungsi tujuan untuk keuntungan maksimum jika roti A seharga Rp. 3.600,00 dan roti B Rp. 2.400,00. Penyelesaian: Misal roti A = x dan roti B = y Jenis roti Tepung Mentega Harga A B Persediaa n 200 gr 100 gr 3 kg = 3000 gr 25 gr 50 gr 1,1 kg = 1100 gr 3600 2400 a. Model matematika: Roti A ⇒ 200 x +100 y≤3000 ⇒ 2 x + y≤30 Roti B ⇒ 25 x +50 y≤1100 ⇒ x +2 y≤44 Banyaknya roti A adalah x≥0 Banyaknya roti B adalah y ≥0 b. Sketsa grafik 200 x +100 y≤3000 ⇒ 2 x + y≤30 25 x +50 y≤1100 ⇒ x +2 y≤44 x ≥0 y ≥0 7 12 2   y x 12 2   y x B4,4 A C O 6 6 12 12 Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir. c. Fungsi tujuan Z yang berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat yaitu : Z = 3600 x + 2400 y

3. Nilai Optimum

Nilai optimum diperoleh berdasarkan nilai fungsi tujuan yang dikehendaki, yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bias dengan : a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan. b. Menggunakan garis selidik. a.d: a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan. Contoh : Model matematikanya 2 x + y≤12 x +2 y≤12 x≥0 y ≥0 Fungsi tujuan yang maksimumminimum , Z = 5 x + y Periksa koordinat titik O, A, B dan C sebagai titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian x,y ⇒ Z = 5 x + y O0,0 ⇒ Z = 50 + 0 = 0 minimum A0,6 ⇒ Z = 50 + 6 = 6 B4,4 ⇒ Z = 54+4 = 24 C6,0 ⇒ Z = 56+0 = 30 maksimum 8 12 2   y x 12 2   y x B4,4 A C O 6 6 12 12 k y x   5 Jadi nilai maksimum sebesar 30 dicapai pada x = 6 dan y = 0, sedangkan nilai minimum sebesar 0 dicapai pada x = 0 dan y = 0 b. Menggunakan garis selidik Garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimum. Bentuk umum garis selidik : ax + by = k ; k ¿ R ax + by diperoleh dari bentuk fungsi tujuan garis selidik ini semakin jauh dari 0 harganya makin besar maksimum. Contoh : Model matematikanya 2 x + y≤12 x +2 y≤12 x≥0 , y ≥0 Fungsi tujuan yang maksimumminimum , Z = 5 x + y Maka garis selidik ; k = 5 x + y , dengan k ¿ R Tampak bahwa garis selidik terjauh dari titik O0,0 adalah garis yang melalui titik C6,0 yaitu Z = 56+0=30. LATIHAN SOAL. Kerjakan soal-soal berikut: 1. Tentukan persamaan dari gambar berikut : 9 2. Gambarlah daerah HP dari 3X + 2 Y 12 5X + 6Y 30 X 0 Y 0 3. Gambarlah grafik 2X + Y = 12 4X + 3Y = 12 4. Tentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan dari gambar berikut 5. Tempat parkir seluas 360 m 2 dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan. Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6 m 2 dan sebuah bus 24 m 2 . Jika banyak sedan dinyatakan dengan x dan banyak bus dinyatakan dengan y , maka tentukanlah model matematika dari persoalan tersebut. 10 BAB III MATRIKS

A. PENGERTIAN MATRIKS

1. Pengertian Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan itu diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku. Contoh : 1. x y ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. 4 – 2 5 3. 6 8 10 3 4 5 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. Notasi Matriks Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar. Contoh : 1. A= x y ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. B = 4 – 2 5 3.C = 6 8 10 3 4 5 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen unsur, yang ditunjukkan pertama menyebutkan nomor barisnya dan kemudian nomor kolomnya. 11 A = 3 4 5 2 −1 2 3 0 1 3 4 6 – 1 adalah elemen baris kedua kolom pertama 6 adalah elemen baris ke tiga kolom ke empat. 3. Ordo Suatu Matriks Ordo suatu matriks diberikan dengan menyertakan banyaknya baris kemudian kolom. Contoh : A = 1 0 4 3 2 5 Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya kolom matriks A adalah 3. Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A 2 ×3 Secara umum : Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya kolom n maka ordo matriks A ialah m x n ditulis A m ×n . 4. Macam – Macam Matriks a. Matriks Baris Bila suatu matriks hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris. Contoh : A = 2 4 – 7 b. Matriks Kolom Bila suatu matriks hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Contoh : B = 5 −1 4 5 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c. Matriks Bujur Sangkar Bila suatu matriks banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, maka disebut matriks bujur sangkar. Baris 1 Baris 2 Baris 3 Kolom 1 Kolom 3 Kolom 2 Kolom 4 12 Contoh : A = 3 1 6 8 → matriks bujursangkar berordo 2 B = 2 3 −1 5 2 0 6 1 1 → matriks bujursangkar berordo 3 d. Matriks Identitas Matriks Satuan. Bila suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen-elemen yang lain 0 , maka disebut matriks identitas. Contoh : I = 1 0 0 1 5. Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B disebut sama jika : a. Kedua matriks mempunyai ordo yang sama b. Unsur elemen yang bersesuaian sama. Contoh : A = 3 1 6 8 B = 6 2 1 5 +1 16 2 Matriks A = B, sebab ordonya sama dan 3 = 6 2 1 = 1 6 = 5 + 1 8 = 16 2 6. Transpose Matriks dan Notasinya Dari matriks A yang diketahui dibentuk matriks baru dengan ketentuan : a. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru. b. Baris kedua matriks A menjadi kolom ke dua matriks baru dan seterusnya. Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A’ atau A T dibaca tranpos A . Contoh : A = 2 7 1 4 9 0 → A T = 2 4 7 9 1 0 LATIHAN SOAL. 1. Sebutkan banyaknya baris dan kolom dari matriks-matriks berikut : 13 a. A = 1 3 5 7 0 9 c. P = x y z ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b. B = −1 2 −3 4 5 1 −9 d. R = 3 5 1 6 2. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut. a. A = 8 2 0 3 5 c. M = −1 −3 5 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b. B = −4 1 0 5 2 7 8 d. N = 0 5 4 2 0 1 6 0 5 3. Tentukan x dan y dari a. 5x – 2y = 10 4 b. 2 x + y − x + 2 y ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ 8 − 1 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ c. 4 x − y −3 x + 2 y ¿ righ ¿ ¿ ¿ −1 4 1 2 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 4. Tentukan transpose dari masing-masing matriks di bawah ini. a. A = 2 4 −1 1 2 0 c. C = 5 −3 4 6 1 −2 8 b. B = 1 2 −1 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ d. D = 4 2 5 9 0 5. Diketahui P = x 9 −3 y dan Q = 5 −3 9 −4 Jika P T = Q,tentukan nilai x dan y.

B. PENJUMLAHAN MATRIKS

1. Penjumlahan Matriks Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan,jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara 14 menjumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian letaknyaseletak. Misal : A = a b c d dan B = e f g h Maka A + B = a b c d + e f g h = a +e b+ f c +g d+h Contoh : 1. Jika P = 3 2 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ dan Q = −2 4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ maka P + Q = 3 2 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + −2 4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = 3 7 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Q + P = −2 4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + 3 2 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = 3 7 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ karena P + Q = Q + P, maka penjumlahan matriks bersifat komutatif. 2. Jika A = 2 1 4 2 B = 0 1 2 3 dan C = 3 7 8 9 maka a. A + B + C = 2 1 4 2 ¿ r i g h ¿ ¿ ¿ 1 2 3 ¿ r i g h 3 7 8 9 ¿ r i g h ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = 2 2 6 5 + 3 7 8 9 = 5 9 14 14 b. A + B + C = 2 1 4 2 + 1 2 3 ¿ r ig h ¿ ¿ ¿ 3 7 8 9 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = 2 1 4 2 + 3 8 10 12 = 5 9 14 14 Dari contoh 2 a dan 2b , maka berlaku hukum asosiatif penjumlahan matriks. 2. Pengurangan Matriks Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A – B = A + – B. Contoh : Jika P = 4 7 3 2 dan Q = 2 1 3 −2 maka a. P – Q = 4 7 3 2 – 2 1 3 −2 15 = 4 7 3 2 + −2 −1 −3 2 = 2 6 0 4 b.Q – P = 2 1 3 −2 – 4 7 3 2 = 2 1 3 −2 + −4 −7 −3 −2 = −2 −6 −4 Karena P – Q tidak sama dengan Q – P, maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif. LATIHAN SOAL : Sederhanakan : 1. 6 7 −4 2 −4 2 3 −6 + 7 6 6 −6 −5 3 4 8 2. 2 x 4 y ¿ r igh ¿ ¿ ¿ − 6 x 3 y ¿ r igh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 3. Manakah matriks-matriks berikut yang dapat dijumlahkan. a. 3 2 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ 4 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ e. 2a 3 b 3c 4 d + −4 a 6 b 7c 3 d b. 3 4 2 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 4 2 3 4 −2 −4 + ¿ ¿ ¿ f. 4 7 + 3 0 c. 3 + 4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ g. 7 + 0 d. 4 6 + 6 3 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ h. 4 - 2 3 + 1 4 7 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 4. Jika M = 6 3 0 −2 4 3 dan N = 1 0 2 −3 6 4 . Carilah M + N dan N + M. Hukum apakah dalam penjumlahan matriks yang dapat dilihat dari hasil tersebut ? 5. Selesaikan masing-masing persamaan di bawah ini, jika X matriks 2 x 2 a. 4 −2 3 −6 +X= 2 −3 2 16 b. X − 3 2 −5 3 = 2 1 7 −3 c. 15 6 12 10 −X= 12 −16 10 12

C. PERKALIAN MATRIKS

1. Perkalian Skalar . Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan skalar. Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari perkalian setiap unsur A dengan p. Misal : A = a b c d maka p.A = p. a b c d = pa pb pc pd Contoh : Jika A = −4 2 3 1 −5 −2 maka 4 . A =4 . −4 2 3 1 −5 −2 = −16 8 12 4 −20 −8 2. Perkalian Matriks Dengan Matriks Dua matriks dapat dikalikan, apabila banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua . x y ¿ righ ¿ ¿ ¿ = ¿ ax + by c x + dy e x + fy ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ a b c d e f ⋅ ¿ ¿ ¿ Contoh 1 : Jika P = 2 1 0 3 4 2 dan Q = 5 1 6 2 7 3 Maka P ×Q= 2 1 0 3 4 2 ¿ 5 1 6 2 7 3 = 2.5 +1.6+0.7 2.1+1.2+0.3 3 .5 +4.6+2.7 3.1+4 .2+2.3 = 10 +6+0 2 +2+0 15 +24+14 3+8+6 = 16 4 53 17 17 Matriks Identitas Matriks Satuan. Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real. Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I . A = A . I = A Misal : A = 3 5 2 4 , I = 1 0 0 1 maka I . A = 1 0 0 1 3 5 2 4 = 3 +0 5+0 +2 0+4 = 3 5 2 4 A . I = 3 5 2 4 1 0 0 1 = 3 +0 0+5 2 +0 0+4 = 3 5 2 4 Ternyata I . A = A . I = A Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu sendiri. Contoh : Jika A = −2 4 3 5 maka tentukan A 2 Jawab : A 2 = −2 4 3 5 −2 4 3 5 = 4 +12 −8+20 −6+15 12+25 = 16 12 9 37 Sifat-sifat perkalian matriks Jika antara matriks-matriks A , B dan C dapat saling dikalikan. 1. A.B.C = A. B.C Asosiatif 2. I . A = A . I = A I matriks identitas 3. A . A −1 = A −1 .A = I A −1 matriks kebalikan. 4. A . B + C = A.B + A. C Distributif 5. p . A.B = p.A.B = A.p.B p skalar LATIHAN SOAL. 1. Diketahui p = 3 , A = 2 1 3 4 , B = 7 4 5 6 Tentukan : a. p. A.B b. p.A.B 18 c. p.B.A 2. Jika A = 3 4 ¿ righ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ , B = 3 1 3 , C = 4 7 3 0 1 2 5 4 1 Tentukan : A . B.C dan A.B.C 3. Jika A = 7 6 8 9 , I = 1 0 0 1 Tentukan A.I dan I . A 4. Jika A = 3 2 4 3 ; A −1 = 3 −2 −4 3 . Tentukan A . A −1 dan A −1 . A 5. Jika A = 1 2 3 2 5 6 , B = 1 3 7 8 6 4 , C = 7 4 3 2 1 0 Tentukan: a. B+C b. B+A.A c. C . A d. B.A + C.A

D. INVERS MATRIKS

Pengertian Invers matriks Kebalikan Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehingga A.B = B.A = I , maka B adalah invers A dan A adalah invers B. Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks berordo 2 x 2 Contoh : Jika A = 5 −2 3 −1 dan B = −1 2 −3 5 , tunjukkanlah matriks A dan B adalah saling invers. Jawab : A . B = 5 −2 3 −1 . −1 2 −3 5 = −5+6 10−10 −3+3 6 −5 = 1 0 0 1 B . A = −1 2 −3 5 . 5 −2 3 −1 = −5+6 2 −2 −15+15 6−5 = 1 0 0 1 Karena A.B = B.A = I, maka A adalah invers B dan sebaliknya. Rumus Umum : Jika A = a b c d maka inversnya adalah, 19 A −1 = 1 a. d −bc d −b −c a , dengan ad−bc≠0 ad −bc dinamakan determinan matriks A dan ditulis det A = |a b c d |=ad−bc atau biasa ditulis D=ad−bc Jika D=ad−bc=0 , matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam hal ini matriks A disebut matriks singular. Contoh : Diketahui matriks A = 2 1 4 3 tentukan determinan dan inversnya. Jawab : D =ad−bc=23− 41=6−4=2 A −1 = 1 a. d −bc d −b −c a = 1 2 3 −1 −4 2 = 3 2 − 1 2 −2 1 Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Contoh : Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan dengan matriks. 2 x + y=5 4 x −5 y =3 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Jawab : 2 1 4 −5 x y ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ 5 3 ¿ ri gh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Misal : A = 2 1 4 −5 A −1 = 1 −10−4 −5 −1 −4 2 = 5 14 1 14 4 14 − 2 14 A − 1 . A . x y ¿ r igh ¿ ¿ ¿ = A − 1 . ¿ 5 3 ¿ r igh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 5 1 4 1 1 4 4 1 4 − 2 1 4 2 1 4 − 5 x y ¿ r i gh ¿ ¿ ¿ = 5 1 4 1 1 4 4 1 4 − 2 1 4 ¿ 5 3 ¿ r i gh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 x y ¿ r igh ¿ ¿ ¿ 2 1 ¿ r igh ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Jadi x = 2 dan y = 1 LATIHAN SOAL. 1. Tentukan invers tiap-tiap matriks berikut ini. 20 a. A = 3 5 −2 1 b. B = 3 −2 1 c. P = 2 1 4 2 2. Jika A = 2 3 0 1 dan B = 2 4 1 3 Tentukan : a. A . B b. A.B −1 c. A −1 d. B −1 e. A −1 . B −1 f. B −1 . A −1 3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode matriks. a. 2 x + y=5 2 x + 3 y=−1 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ b. 10 x +5 y + 3= 0 5 x +10 y + 9=0 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ 21 a A AB B z t i x j y a b b a   b b  b a   a BAB IV VEKTOR

1. Vektor adalah ruas garis yang mempunyai besar panjang dan arah tertentu.

2. Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya pada titik pusat koordinat. 3. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. 4. Dua buah vektor adalah sama, jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. 5. Vektor satuan pada sumbu x disebut i. Vektor satuan pada sumbu y disebut j. Vektor satuan pada sumbu z disebut k.

6. Jika titik A mempunyai koordinat A a