I =
∫
f xdx
substitusi : x = Qu ; dx = Q`u du I =
∫
fQu Q`u du
jika ruas kanan telah diintegralkan, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Qu
ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan. 2. Substitusi Trigonometri
a. Bentuk
√
a
2
−x
2
∫
√
a
2
−x
2
dx =
1 2
a
2
arcsin x
a +
1 2
x
√
a
2
+ x
2
+c
b. Bentuk
∫√
a
2
+b
2
x
2
Gunakan substitusi : x = ab tg θ dx = ab sec
2
θ d θ
c. Bentuk
∫√
b
2
x
2
−a
2
Gunakan substitusi : x = ab sec θ dx = ab tg θ sec
2
θ
3. Parsial
Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.
I = fx gx dx
Misalkan
: u = fx ; dv = gx dx du = ..... dx ; v = gx dx = .....
maka
:
u du = u v - v du
Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk
v du
jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI.
Contoh Soal:
1.
∫
4 x
2
dx =
4 3
x
3
+c
2.
∫
sin 2 x+7=−
1 2
cos 2 x+7 +c
3.
∫
1 3
5 x
4
−3 x
2
dx=
∫
1 3
5 x
4
dx−
∫
1 3
3 x
2
dx
2
=
x
5
|
1 3
−x
3
|
1 3
=3
5
−1
3
−3
3
−1
3
=216
Penggunaan Integral
1. Untuk menghitung luas daerah.
a. Luas daerah yang dibatasi oleh Kurve Fx , sumbu x dari x = a s.d x = b adalah:
Luas L =
∫
x =a
x =b
F x dx
b. Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Fx dan Gx dari x = a s.d x= b adalah :
Luas L =
∫
x =a
x =b
F x − G x dx
2. Untuk menghitung volume benda putar a. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva Fx, sumbu x dari x = a s.d
x= b adalah :
Volume V =
π
∫
x =a
x =b
F
2
x dx
b. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva Fx, dan Gx dari x = a s.d x= b adalah :
Volume V =
π
∫
x =a
x =b
F
2
x−G
2
xdx
c. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva Fy, sumbu y dari y = a s.d y= b adalah :
Volume V =
π
∫
y =a
y =b
F
2
y dx
d. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva Fy, dan Gy dari y = a s.d y= b adalah :
Volume V =
π
∫
x =a
x =b
F
2
x−G
2
xdx
LATIHAN SOAL. Selesaikan soal-soal berikut ini.
1.
∫
π 2
cos xdx =...
.
3
2.
∫
x
2
+3
5
.2 xdx =...
. 3.
∫
sin x+cos x
2
dx =...
. 4. Jika F
’
x = 8x-2, dan F5 = 36, maka Fx = .... 5. Hasil dari
∫
3x cos 2x dx = ....
6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y =x−2x−3
dan sumbu x pada interval
1 ≤x≤4
7.Hitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi kurva
y =x
2
+2
dan sumbu x pada interval
1 ≤x≤2
jika diputar 360 mengelilingi sumbu x.
4
3 B
A 2
C 3
-5
BAB II PROGRAM LINEAR
1. Pengertian Program Linear
Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan
memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimumminimum penyelesaian optimum.
Contoh : Diketahui pertidaksamaan linear sebagai berikut :
x + y≤3
2 x −5 y≤−10
x ≥0
y ≥0
Tentukan : a. Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut. b. Nilai maksimumnya jika Z= 3x + 2y
a. Grafik dari pertidaksamaan linear berbentuk suatu daerah yaitu daerah yang diarsir.
b. Nilai maksimum dari pertidaksamaan linear dapat diperoleh dari mensubstitusi koordinat-koordinat titik A , B dan C ke persamaan :
Z = 3x + 2y sebagai berikut A0,2 maka Z = 30 + 22 = 4
5
C3,0 maka Z = 33 + 20 = 9 Untuk koordinat Bx,y dapat dicari dengan mengeliminasi persamaan
linear : x + y = 3 | x5 | 5x + 5y = 15
2x – 5y = – 10 | x1 | 2x – 5y = – 10 +
7x = 5
x =
5 7
x + y = 3
⇒
5 7
+ y = 3
⇒
y = 3 –
5 7
=
16 7
sehingga B
5 7
,
16 7
Z = 3
5 7
+ 2
16 7
=
15 7
+
32 7
=
47 7
=
6 6
7
Dari substitusi A, B , dan C tersebut disimpulkan bahwa nilai maksimumnya adalah 9 yang diperoleh untuk x = 3 dan y = 0 atau pada
titik B
2. Model Matematika
