Solusi Pemrograman Linear Masalah Penjadwalan Kereta Api Jalur Ganda Menggunakan Model Job-Shop

Õ Ö×Ø u Ù Ú Û Ü v Û ÝÞ Û ß×Ú à×á u tu ÖÛ â ã ä u âå Ö Þ y Û â å Û à Û â æ Þ Ù Û àÖ Þ Ù u Ùà Û â Ûç Û u æ Þ ÙÞ âÞ Ù u ÙàÛ â æÞ Ö× ß u t Ö× ßÛ å Û Þ ä u âåÖ Þ è ßØ × à ç Þ ä é Õ âÞ Ú Û Þ v Û ÝÞ Û ß × Ú ê v Û ÝÞ Û ß ×Ú à ×á u tu ÖÛ â â y Û Ù × Ù × â u ÜÞ Ö u Û tu Ü Þ Ù á u âÛ â à× âæÛÚ Û y Û âå ß × Ý u á Û á × Ý ÖÛ Ù ÛÛ â Ú Þ â ×Û Ý Ûç Û u á× Ý ç Þ æ Û à ÖÛ Ù ÛÛ â Ú Þ â ×Û Ýé ë t × Ýæ Ûá Û t á× Ùß Û ç Û ÖÛ â ç Û âæÛ u â tu à Ö× ç Þ Û á v Û ÝÞ Û ß ×Ú æÛÚ Û Ù Ù ÛÖÛÚ Û Ü Þ â Þ ì í Þ ÖÛÚ à Û â u â tu à Ö× Ùß Û Ý Û â å v Û ÝÞ Û ß ×Ú é â Þ Ú Û Þ æ Û ÝÞ Ü Û Ý u Ö ç Û à â × å Û t Þ ä î ≥ 0 ï Û ç Û u ç Þ æ Û à æÞ ß Û ç Û Ö Þ ç Û âæ Û â y Û î u ð r ñ str ò óô ñ õ ò ð s ò ö ð ïì î ÷ Þ â Öç è â Õ øø ù ï Definisi 3 Bentuk Standar Pemrograman Linear í Þ ÖÛÚ à Û â æÞ ß × ÝÞ àÛ â Ö u Û tu á × ÙÝ è å Ý Û Ù Û â Ú Þ â ×Û Ý îú û ï æ× âå Û â ü à × âæÛÚ Û æÛ â ð v Û ÝÞ Û ß×Ú î , , …, ï ì ý × â tu à Öç Û âæÛ Ý æÛ ÝÞ ú û ç × Ý Ö× ß u t Û æÛÚ Û Ü þ Ù Û àÖ Þ Ù u ÙàÛ â z = + + + atau minimumkan, dengan kendala: + + + = 1 + + + = 2 + + + = 3 ≥ 0, = 1, 2, . . . , . Kendala 1, 2, dan 3 dapat ditulis dalam bentuk: Ax = b, dengan 4 A = ⋮ ⋮ , = ⋮ , = ⋮ . Winston 2004

2.2 Solusi Pemrograman Linear

Suatu PL dapat diselesaikan dengan berbagai metode, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi yang optimum bagi PL yang menggunakan proses iteratif pada penyelesaiannya. Vektor x yang memenuhi kendala = disebut solusi. Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A = B N, dengan B adalah matriks taksingular berukuran m × m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m × n m yang elemen- elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Misalkan vektor x dinyatakan sebagai x = , dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka = dapat dinyatakan sebagai : = = B + N = b. 5 Matriks B memiliki invers karena merupakan matriks taksingular, sehingga dari 5 dapat dinyatakan sebagai: = − , 6 dan fungsi objektifnya berubah menjadi: minimumkan z = + . Winston 2004 Definisi 4 Daerah Fisibel Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004 Definisi 5 Solusi Basis Misalkan terdapat suatu masalah PL Ax=B yang dibentuk dari m persamaan linear dan n variabel n m. Solusi basis dari Ax=B dapat diperoleh dengan mengatur nilai n-m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan m variable sisanya. Cara tersebut dapat menghasilkan nilai yang unik untuk m variable sisanya. Kolom-kolom untuk m variabel sisanya adalah bebas linear. Winston 2004 Definisi 6 Solusi Fisibel Basis Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya taknegatif. Winston 2004 Definisi 7 Solusi Optimum Solusi optimum suatu PL untuk masalah maksimisasi merupakan suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Sedangkan solusi optimum suatu PL untuk masalah minimisasi, adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. Winston 2004 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis diberikan dalam Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan PL berikut: minimumkan z = − 2 − 3 7 terhadap − + 2 + = 10 − 2 + + = 2 2 + = 3 , , , , ≥ 0. ÿ ✁✂✄ ☎ ✆ ✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠ u t ✡ ✄ ☛✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍✎ A = − 1 2 1 − 2 1 2 1 1 ✏ b = 10 2 3 ✑ ✒ ✄ ✟ ✁ ✌ ✓ ✁✔ ✡ ✄ ☛ ✄ ✌ ✄ ✍✎ = ✡ ✁✔ = ✏ ✕ ✁ ✓ ✁ ✕ ✁✝ ✂✄ ✓ ✟ ✠✁✟ ✄ ✟ ✔ y ✁ ✁✡ ✁✌ ✁✍ ✎ B = − 1 2 1 − 2 1 2 ✏ = 1 1 1 − 2 ✏ N = 1 1 ✏ = − 2 − 3 ✏ = 0 ✏ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✕ ✞ ✔ ✖ ✖ u ✔✁✓ ✁ ✔ ✕ ✁✝ ✂✄ ✓ ✟ ✠ ✁ ✟ ✄ ✟ ✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠ u ✝ ✏ ✡ ✄ ☛ ✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍✎ = 0 ✏ = = 5 ✏ = = − 18 ✑ ✗✘ ✙ ✚☞ ✌ ✛✟ ✄ ✗✘ ✙ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁ ✔ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ✠✁ ✟ ✄ ✟ ✏ ✓ ✁ ✂ ✞ ✔ ✁ ✕ ✞ ✕ ✞ ✔ u ✍✄ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ ☛ ✁✡ ✁ ☎ ✆ ✗ ✜ ✙ ✡ ✁✔ ✓☞ ✌ ☞ ✕ ✢ ✓ ☞ ✌ ☞ ✕ ☛ ✁✡ ✁ ✕ ✁ ✝ ✂✄ ✓✟ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ y ✁✔ ✖ ✠✞ ✂ ☛ ✁✡ ✁✔ ✁✔ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✓ ☞ ✕ ☛ ☞ ✔ ✞ ✔ ✝ ✁ ✓ ✔ ☞ ✌ ✡ ✁✂✄ ✗✘ ✙ ✏ y ✁✄ ✝ u B ✠✞ ✠✁✟ ✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂ ✗ ✓☞ ✌ ☞ ✕ y ✁✔ ✖ ✟ ✁ tu ✠ u ✓ ✁ ✔ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁✔ ✓✞ ✌ ✄ ☛ ✁ ✝ ✁✔ ✡ ✁ ✂✄ ✓☞ ✌ ☞ ✕ y ✁✔ ✖ ✌ ✁✄ ✔ ✙ ✑ ✚ ☞ ✌ ✛✟ ✄ ✗✘ ✙ ✣ u ✖ ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ✤✄ ✟ ✄ ✠✞ ✌ ✠✁✟ ✄ ✟ ✏ ✓ ✁✂ ✞ ✔✁ ✔✄ ✌ ✁✄ ✢ ✔ ✄ ✌ ✁✄ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✌ ✞ ✠ ✄ ✍ ✡ ✁✂✄ ✁✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✔☞ ✌ ✑ Definisi 8 Integer Linear Progamming Integer linear progamming ✗✥ ✆ ☎ ✙ ✁ ✡ ✁ ✌ ✁ ✍ ✟ u ✁ tu ☛✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔✞ ✁✂ y ✁✔ ✖ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁✓ ✁✔ ✠ ✄ ✌ ✁ ✔ ✖ ✁ ✔ ✠ u ✌ ✁ t y ✁✔ ✖ ✝ ✁✓ ✔ ✞ ✖ ✁ ✝ ✄ ✤✑ ✦ ☛ ✁✠✄ ✌ ✁ ✟✞ ✕ u ✁ v ✁✂✄ ✁✠✌ ✞ ✔ y ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁ ✔ ✠ ✄ ✌ ✁✔ ✖ ✁✔ ✠ u ✌ ✁ t ✕ ✁✓ ✁ ✥ ✆ ☎ ✡ ✄ ✟✞ ✠ u t ✟✞ ✠✁ ✖ ✁✄ pure integer progamming ✑ ✒✁✟ ✁✌ ✁✍ ✥ ✆ ☎ y ✁ ✔ ✖ ✍✁ ✔ y ✁ ✠✞ ✠ ✞ ✂✁ ☛ ✁ v ✁ ✂✄ ✁ ✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✟ ✁ ✣ ✁ ✠✞ ✂ u ☛ ✁ ✠✄ ✌ ✁✔ ✖ ✁ ✔ ✠ u ✌ ✁ t ✡ ✄ ✟✞ ✠ u t ✟✞ ✠ ✁ ✖ ✁ ✄ mixed integer progamming ✑ ✚ ✞ ✌ ✁ ✄ ✔ ✄ ✝ ✛ ✏ ✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍ ✥ ✆ ☎ y ✁ ✔ ✖ ✟✞ ✕ u ✁ v ✁ ✂✄ ✁ ✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✍ ✁✂ u ✟ ✠✞ ✂✔✄ ✌ ✁✄ ✧ ✁✝ ✁ u ★ ✡ ✄ ✟ ✞ ✠ u t ✟✞ ✠✁ ✖ ✁✄ integer progamming ✧ ✢ ★ ✑ ✗✩ ✄ ✔✟✝ ☞ ✔ ✪ ✧✧ ✫ ✙ Definisi 9 Pemrograman Linear Relaksasi ✬ ✞ ✌ ✁✓✟ ✁ ✟ ✄ ☛ ✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔✞ ✁✂ ✁✝ ✁ u ✟ ✞ ✂✄ ✔ ✖ ✡ ✄ ✟ ✞ ✠ u t ☎ ✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁ ✟ ✄ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁✔ ✟ u ✁ tu ☛ ✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂ y ✁✔ ✖ ✡ ✄ ☛ ✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍ ✡ ✁ ✂✄ ✟ u ✁ tu ✥ ✆ ☎ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✕ ✞ ✔ ✖ ✍✄ ✌ ✁✔ ✖ ✓ ✁ ✔ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ integer ✁ ✝ ✁ u ✓✞ ✔✡ ✁✌ ✁ ✧ ✢ ★ ☛ ✁ ✡ ✁ ✟✞✝ ✄ ✁ ☛ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁✑ ✭ ✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ☎ ✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁ ✟ ✄ u ✔ tu ✓ ✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✁ ✓✟ ✄ ✕ ✄ ✟ ✁ ✟ ✄ ✌ ✞ ✠✄ ✍ ✠✞✟ ✁✂ ✁ ✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁✔ ✔ ✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞ ✓✝ ✄ ✤ ✥ ✆ ☎✑ ✚ ✞✡ ✁ ✔ ✖ ✓ ✁✔ ✔✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ☎✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁✓✟ ✁ ✟ ✄ u ✔ tu ✓ ✕ ✁ ✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✄ ✔✄ ✕ ✄ ✟ ✁✟ ✄ ✌ ✞ ✠✄ ✍ ✓✞✮ ✄ ✌ ✁ ✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁✔ ✔ ✄ ✌ ✁✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ✥ ✆ ☎✑ ✗ ✩ ✄ ✔ ✟✝ ☞ ✔ ✪ ✧ ✧ ✫ ✙

2.3 Algoritme Branch and Bound