Õ
Ö×Ø
u
Ù Ú Û Ü
v
Û ÝÞ Û ß×Ú
à×á
u tu
ÖÛ â ã
ä
u
âå Ö
Þ
y
Û â å Û à
Û â æ Þ Ù
Û àÖ Þ Ù
u
Ùà Û
â Ûç Û
u
æ Þ ÙÞ âÞ Ù
u
ÙàÛ â æÞ
Ö× ß
u t
Ö× ßÛ å Û Þ
ä
u
âåÖ Þ è ßØ × à
ç Þ ä
é Õ
âÞ Ú
Û Þ
v
Û ÝÞ
Û ß × Ú ê
v
Û ÝÞ
Û ß
×Ú à
×á
u tu
ÖÛ â â
y
Û Ù
× Ù × â
u
ÜÞ Ö
u
Û
tu
Ü Þ Ù á
u
âÛ â à× âæÛÚ Û
y
Û âå
ß × Ý
u
á Û á × Ý
ÖÛ Ù ÛÛ
â Ú Þ â
×Û Ý
Ûç Û
u
á× Ý ç Þ æ
Û à
ÖÛ Ù ÛÛ
â Ú Þ â
×Û Ýé
ë
t
× Ýæ Ûá Û
t
á× Ùß Û ç
Û ÖÛ â ç
Û âæÛ
u
â
tu
à Ö× ç Þ
Û á
v
Û ÝÞ Û ß
×Ú æÛÚ Û Ù
Ù ÛÖÛÚ Û
Ü Þ â Þ
ì í
Þ ÖÛÚ à
Û â
u
â
tu
à Ö×
Ùß Û Ý
Û â å
v
Û ÝÞ Û ß
×Ú é
â Þ Ú Û Þ
æ Û ÝÞ
Ü Û Ý
u
Ö ç Û à
â × å
Û
t
Þ ä
î
≥ 0
ï Û ç
Û
u
ç Þ æ Û à
æÞ ß Û ç
Û Ö Þ ç
Û âæ
Û â
y
Û î
u
ð
r
ñ
str
ò óô ñ õ ò ð
s
ò ö ð ïì
î ÷ Þ â
Öç è â
Õ øø ù ï
Definisi 3 Bentuk Standar Pemrograman Linear
í Þ
ÖÛÚ à Û
â æÞ ß
× ÝÞ
àÛ â Ö
u
Û
tu
á × ÙÝ è å Ý
Û Ù Û
â Ú Þ â
×Û Ý îú û
ï æ× âå
Û â
ü à
× âæÛÚ Û æÛ â
ð
v
Û ÝÞ Û ß×Ú
î
, , …,
ï ì ý × â
tu
à Öç Û âæÛ Ý
æÛ ÝÞ ú
û ç × Ý
Ö× ß
u t
Û æÛÚ Û Ü þ
Ù Û àÖ Þ Ù
u
ÙàÛ â
z =
+ +
+
atau minimumkan, dengan kendala:
+ +
+ =
1
+ +
+ =
2
+ +
+ =
3
≥ 0, = 1, 2, . . . ,
. Kendala 1, 2, dan 3 dapat ditulis dalam
bentuk:
Ax = b, dengan
4
A =
⋮ ⋮
,
= ⋮
,
= ⋮
. Winston 2004
2.2 Solusi Pemrograman Linear
Suatu PL dapat diselesaikan dengan
berbagai metode, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan
suatu solusi yang optimum bagi PL yang menggunakan
proses iteratif
pada
penyelesaiannya. Vektor x yang memenuhi kendala
=
disebut solusi. Misalkan
matriks A dinyatakan sebagai A = B N, dengan
B adalah
matriks taksingular
berukuran m × m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan
matriks berukuran m × n m yang elemen-
elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Misalkan vektor x
dinyatakan sebagai x
= , dengan
adalah vektor variabel basis dan adalah
vektor variabel nonbasis, maka
=
dapat dinyatakan sebagai :
=
= B + N
= b. 5
Matriks B memiliki invers karena merupakan matriks taksingular, sehingga dari 5
dapat dinyatakan sebagai:
=
−
, 6
dan fungsi objektifnya berubah menjadi:
minimumkan z =
+
. Winston 2004
Definisi 4 Daerah Fisibel
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala
dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Winston 2004
Definisi 5 Solusi Basis Misalkan terdapat suatu masalah PL Ax=B
yang dibentuk dari m persamaan linear dan n variabel n m. Solusi basis dari Ax=B dapat
diperoleh dengan mengatur nilai n-m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan m
variable
sisanya. Cara
tersebut dapat
menghasilkan nilai yang unik untuk
m variable
sisanya. Kolom-kolom untuk m
variabel sisanya adalah bebas linear. Winston 2004
Definisi 6 Solusi Fisibel Basis
Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya
taknegatif. Winston 2004
Definisi 7 Solusi Optimum
Solusi optimum suatu PL untuk masalah maksimisasi merupakan suatu titik dalam
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Sedangkan solusi optimum suatu PL
untuk masalah minimisasi, adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi
objektif terkecil.
Winston 2004 Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
diberikan dalam Contoh 1.
Contoh 1
Misalkan diberikan PL berikut:
minimumkan z =
− 2 − 3
7 terhadap
− + 2
+ = 10
− 2 +
+ =
2 2
+ =
3 ,
, ,
, ≥
0.
ÿ
✁✂✄ ☎ ✆
✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠
u t
✡ ✄ ☛✞
✂ ☞ ✌
✞ ✍✎
A =
− 1 2
1 − 2
1 2
1 1
✏
b =
10 2
3
✑ ✒ ✄
✟ ✁ ✌ ✓ ✁✔
✡ ✄ ☛ ✄ ✌ ✄ ✍✎
=
✡ ✁✔
=
✏ ✕
✁ ✓
✁ ✕
✁✝ ✂✄ ✓ ✟
✠✁✟ ✄ ✟ ✔
y
✁ ✁✡ ✁✌ ✁✍ ✎
B =
− 1 2
1 − 2
1 2
✏
= 1
1 1
− 2
✏
N =
1 1
✏
= − 2 − 3
✏
= 0
✏ ✡ ✞ ✔
✖ ✁ ✔
✕ ✞ ✔
✖ ✖
u
✔✁✓ ✁ ✔ ✕
✁✝ ✂✄ ✓ ✟
✠ ✁ ✟ ✄
✟ ✝ ✞ ✂
✟✞ ✠
u
✝ ✏ ✡
✄ ☛ ✞ ✂
☞ ✌
✞ ✍✎
= 0
✏
= =
5
✏
= = − 18
✑ ✗✘ ✙
✚☞ ✌
✛✟ ✄ ✗✘ ✙
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁ ✔ ✟☞
✌
u
✟ ✄ ✠✁
✟ ✄ ✟ ✏
✓ ✁ ✂ ✞ ✔ ✁
✕ ✞
✕ ✞ ✔
u
✍✄ ✓✞ ✔
✡ ✁✌ ✁
☛ ✁✡ ✁ ☎ ✆
✗ ✜
✙ ✡
✁✔ ✓☞
✌ ☞
✕ ✢
✓ ☞ ✌ ☞
✕ ☛ ✁✡ ✁
✕ ✁
✝ ✂✄ ✓✟
✓✞ ✔
✡ ✁✌
✁
y
✁✔ ✖
✠✞ ✂ ☛ ✁✡ ✁✔ ✁✔
✡ ✞ ✔ ✖
✁ ✔ ✓ ☞
✕ ☛ ☞ ✔
✞ ✔
✝ ✁ ✓
✔ ☞ ✌
✡ ✁✂✄
✗✘ ✙ ✏
y
✁✄ ✝
u
B
✠✞ ✠✁✟ ✌ ✄
✔ ✞
✁✂ ✗
✓☞ ✌
☞ ✕
y
✁✔ ✖
✟ ✁
tu
✠
u
✓ ✁ ✔ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁✔
✓✞ ✌ ✄ ☛
✁ ✝ ✁✔
✡ ✁ ✂✄ ✓☞
✌ ☞
✕
y
✁✔ ✖
✌ ✁✄ ✔ ✙
✑ ✚ ☞ ✌
✛✟ ✄ ✗✘
✙ ✣
u
✖ ✁
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞
✌
u
✟ ✄ ✤✄
✟ ✄ ✠✞ ✌ ✠✁✟ ✄
✟ ✏ ✓
✁✂ ✞ ✔✁
✔✄ ✌ ✁✄ ✢
✔ ✄ ✌ ✁✄
v
✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔
y
✁ ✌
✞ ✠ ✄ ✍ ✡
✁✂✄ ✁✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡✞
✔ ✖
✁ ✔ ✔☞ ✌
✑
Definisi 8 Integer Linear Progamming
Integer linear progamming
✗✥ ✆ ☎
✙ ✁
✡ ✁ ✌ ✁ ✍
✟
u
✁
tu
☛✞ ✕
✂ ☞
✖ ✂✁
✕ ✁✔
✌ ✄ ✔✞ ✁✂
y
✁✔ ✖
v
✁✂✄ ✁✠ ✞
✌ ✔
y
✁ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁✓ ✁✔ ✠ ✄
✌ ✁ ✔ ✖
✁ ✔ ✠
u
✌ ✁
t y
✁✔ ✖
✝ ✁✓ ✔
✞ ✖
✁ ✝ ✄
✤✑ ✦
☛ ✁✠✄ ✌ ✁
✟✞ ✕
u
✁
v
✁✂✄ ✁✠✌ ✞ ✔
y
✁ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁ ✔ ✠ ✄
✌ ✁✔ ✖
✁✔ ✠
u
✌ ✁
t
✕ ✁✓ ✁
✥ ✆ ☎
✡ ✄
✟✞ ✠
u t
✟✞ ✠✁ ✖
✁✄
pure integer progamming
✑ ✒✁✟ ✁✌ ✁✍
✥ ✆
☎
y
✁ ✔ ✖
✍✁ ✔
y
✁ ✠✞ ✠
✞ ✂✁
☛ ✁
v
✁ ✂✄ ✁ ✠
✞ ✌ ✔
y
✁ ✟ ✁
✣ ✁ ✠✞ ✂
u
☛ ✁ ✠✄ ✌ ✁✔
✖ ✁ ✔
✠
u
✌ ✁
t
✡ ✄ ✟✞ ✠
u t
✟✞ ✠ ✁ ✖
✁ ✄
mixed integer
progamming
✑ ✚ ✞ ✌
✁ ✄ ✔
✄ ✝ ✛ ✏
✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍
✥ ✆ ☎
y
✁ ✔ ✖
✟✞ ✕
u
✁
v
✁ ✂✄ ✁ ✠
✞ ✌ ✔
y
✁ ✍ ✁✂
u
✟ ✠✞ ✂✔✄ ✌ ✁✄
✧ ✁✝ ✁
u
★ ✡
✄ ✟ ✞ ✠
u t
✟✞ ✠✁
✖ ✁✄
integer progamming
✧ ✢
★ ✑
✗✩ ✄
✔✟✝ ☞
✔ ✪
✧✧ ✫ ✙
Definisi 9 Pemrograman Linear Relaksasi
✬ ✞
✌ ✁✓✟ ✁
✟ ✄ ☛ ✞
✕ ✂
☞ ✖
✂✁ ✕
✁✔ ✌
✄ ✔✞ ✁✂ ✁✝ ✁
u
✟ ✞ ✂✄ ✔
✖ ✡
✄ ✟ ✞ ✠
u t
☎ ✆ ✢
✂ ✞ ✌ ✁
✓ ✟ ✁ ✟ ✄
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁✔ ✟
u
✁
tu
☛ ✞ ✕
✂ ☞
✖ ✂✁
✕ ✁✔
✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂
y
✁✔ ✖
✡ ✄
☛ ✞ ✂ ☞
✌ ✞ ✍
✡ ✁ ✂✄ ✟
u
✁
tu
✥ ✆ ☎
✡ ✞ ✔ ✖
✁ ✔ ✕
✞ ✔ ✖
✍✄ ✌ ✁✔ ✖
✓ ✁ ✔ ✓✞ ✔
✡ ✁✌ ✁
integer
✁ ✝ ✁
u
✓✞ ✔✡ ✁✌ ✁ ✧
✢ ★
☛ ✁ ✡
✁ ✟✞✝ ✄ ✁
☛
v
✁✂✄ ✁✠ ✞
✌ ✔
y
✁✑ ✭
✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄
✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄
✤ ☎ ✆
✢ ✂
✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁
✟ ✄
u
✔
tu
✓ ✕
✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕
✁ ✓✟ ✄
✕ ✄
✟ ✁ ✟
✄ ✌
✞ ✠✄ ✍
✠✞✟ ✁✂ ✁
✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡ ✞ ✔
✖ ✁✔
✔ ✄ ✌ ✁✄
☞☛ ✝ ✄ ✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞ ✓✝ ✄
✤ ✥
✆ ☎✑ ✚ ✞✡ ✁ ✔
✖ ✓
✁✔ ✔✄ ✌ ✁✄
☞☛ ✝ ✄ ✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄
✤ ☎✆
✢ ✂
✞ ✌
✁✓✟ ✁ ✟
✄
u
✔
tu
✓ ✕
✁ ✟ ✁✌ ✁✍
✕ ✄ ✔✄
✕ ✄
✟ ✁✟ ✄ ✌
✞ ✠✄ ✍
✓✞✮ ✄ ✌ ✁
✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡ ✞ ✔
✖ ✁✔
✔ ✄
✌ ✁✄ ☞ ☛✝ ✄
✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞ ✠
✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤
✥ ✆ ☎✑
✗ ✩
✄ ✔ ✟✝ ☞ ✔
✪ ✧ ✧
✫ ✙
2.3 Algoritme Branch and Bound