Masalah Penjadwalan Kereta Api Jalur Ganda Menggunakan Model Job-Shop

MASALAH PENJADWALAN KERETA API JALUR GANDA

MENGGUNAKAN MODEL

JOB-SHOP

NUR APRIANTI DWIYATCITA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

✁✂✄ ☎ ✆

✝✞✟✠✡ ✟☛✠✝☞ ☛✌✍ ☛✎✠ ☞✏☛☞ ✠✑

Masalah Penjadwalan Kereta Api Jalur Ganda Menggunakan

Model

Job-Shop

. Dibimbing oleh

✒ ✠✟☛✌✠✓ ✠✝✞✔

dan

☞✕✝☛✖ ✠✗✓ ☞ ☛✠✟

.

Pemodelan masalah penjadwalan kereta api merupakan kasus khusus dari masalah

penjadwalan

job-shop

. Berdasarkan konsep penjadwalan

job-shop

, perjalanan kereta api dapat

dianggap sebagai pekerjaan (

job

) yang akan dioperasikan pada suatu sumber daya (

resource

) yang

berupa petak blok atau segmen jalur. Formulasi model penjadwalan kereta api pada karya ilmiah

ini disusun sesuai dengan aturan-aturan umum yang berlaku pada sistem perkeretaapian, di

antaranya aturan persilangan (

crossing

), penyusulan (

overtaking

), dan aturan

headway

. Khusus

jalur ganda, aturan persilangan tidak berlaku, karena terdapat dua jalur yang dapat digunakan

untuk dua kereta api yang berlawanan arah. Formulasi model penjadwalan yang dibentuk

merupakan jenis

integer linear progamming

. Model diselesaikan dengan perangkat lunak LINGO

11.0 menggunakan algoritme

branch and bound

untuk meminimumkan total waktu tempuh

maksimum (

makespan

) kereta api. Aplikasi model dilakukan pada kasus jalur ganda, dengan

menggunakan data hipotetik dari MRT (

Mass Rapid Transit

) rute Lebak Bulus-Sisingamangaraja.

Banyaknya MRT Ekonomi yang disimulasikan adalah 11 unit dan MRT Ekspres 7 unit. Jadwal

simulasi MRT yang diperlihatkan dengan diagram ruang waktu tidak mengandung konflik dan

memiliki total

makespan

selama 1502 menit. Jadwal pada simulasi menunjukkan adanya

penundaan (

delay

) pada MRT Ekspres selama 11 menit. Penundaan tersebut, pada karya ilmiah ini

nilainya dapat dibatasi dengan memberikan kendala tambahan pada model. Namun, nilai

makespan

yang didapat tidak lebih baik dari sebelumnya.

✘✙ ✚✛✜✘✢ ✛

✣✤✥✦✧ ✥★✦✣✩ ★✪✫ ★✬ ✦✩ ✭ ★✩ ✦✮

Double Track Train Scheduling Problem Based on Job-Shop

Model. Supervised by

✯ ✦✥★✪ ✦✰✦✣✤✱

and

✩ ✲ ✣★✳ ✦✴✰✩ ★✦✥

.

Train scheduling problem can be modeled as a special case of

job-shop

scheduling

problems. Based on the

job-shop

scheduling concept, the train trip can be considered as a

job

,

which will be scheduled on tracks as

resources

. In this paper, train scheduling model is formulated

under common rules in railroad system, e.g.

crossing

,

overtaking

and

headway

rules. The

crossing

rule is not implemented for double track, because there are two tracks that can be used by two

trains with different directions. The train scheduling model is expressed in the form of

integer

linear programming

and solved by

branch and bound

algorithm to minimize the total

makespan

.

The model is then implemented for double track case of Mass Rapid Transit (MRT) Lebak

Bulus-Sisingamangaraja route, which involves 11 MRT Economy and 7 MRT Express trains using

hypothetical data. The train time-space diagrams show that there is no conflicts occurred and the

total

makespan

is 1502 minutes. The result, in particular, indicates that there is an 11 minutes

delay for MRT Express. The length of the delay can be reduced by employing an additional delay

constraint. But, of course, this will deteriorate the

makespan

.

✵ ✶✷ ✶✸ ✶✹✺ ✻ ✼✽ ✶✾✿ ✶✸✶✼❀ ✻ ❁✻ ❂ ✶✶✺ ❃ ✽ ✶✸❄ ❁❅ ✶✼✾ ✶

✵ ✻ ✼❅ ❅❄ ✼✶❀ ✶✼✵❆✾✻ ✸❇ ❈❉❊ ❋● ❈❍

■❏❑▲▼ ❑◆ ▲■❖ ◆P◗◆ ❘▲❖ ❙◆ ❖▲

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

P❚▼▲ ❑❖❚❯ ❚■❯▲❖❚ ❯▲❖◆❱▲

❲▲❱❏❳❖ ▲❨❯▲❖❚ ❯▲❖◆❱▲P▲■◆❳❯❏▼❚■❩ ❚❖ ▲❬❏▲■▲❳▲❯

◆■❨❖ ◆ ❖❏❖▼❚❑❖ ▲■◆ ▲■❭ ❪❩❪❑

❭ ❪❩❪❑ ❫❴ ❵❫

Judul

: Masalah Penjadwalan Kereta Api Jalur Ganda Menggunakan

Model

Job-Shop

Nama

: Nur Aprianti Dwiyatcita

NIM

: G54070031

Menyetujui

Mengetahui

Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus:

Pembimbing I

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 19651019 199103 2 002

Pembimbing II

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.

NIP. 19720627 199702 1 002

❛❜❝ ❜❞❡ ❢❣ ❜❢❝ ❜❤

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas nikmat, rahmat, dan kasih

sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini disusun dengan

mendapat banyak dukungan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu,

dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1

Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah SWT atas maha karya-Nya yaitu bumi yang

sempurna ini; Nabi Muhammad SAW semoga selawat senantiasa tercurah kepadanya,

keluarganya, sahabat, dan para pengikutnya;

2

Drs. Rochmani dan Dra. Indrati Soeprapto Putri sebagai orang tua yang selalu mendo akan,

menyayangi, dan memberikan motivasi kepada penulis; Sutidjah, nenek tercinta yang selalu

sabar dan mendo akan penulis; Muhammad Inderawan Sukma, S.Sos.I, kakak tersayang

sebagai pemberi semangat, motivasi, dan doa;

3

Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan

pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, dan doa;

4

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik

dan saran, motivasi serta doanya;

5

Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran, dan

doanya;

6

semua dosen Departemen Matematika, atas semua ilmu yang telah diberikan;

7

staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Bapak Hery, Bapak Deni, Ibu Ade, Bapak Epul,

Bapak Bono, dan Ibu Susi atas semangat dan doanya;

8

sahabat yang selalu memberi semangat dan doa: Kak Bairanti, Uswah, Izzah, Ajeng, Nadia,

Kak Yani, Kak Icha, Kak Heggy, Kak Acid, Arina, Deva, Maya, Prama, Ayum, Rofi, Rizky,

Ruhiyat, Indin, Lili, Ima, Imam, Denda, Kak Tasrifin, Kak Dwi Setianto dan Kak Wira;

9

keluarga besar Eyang RM. H. M. Soeprapto dan Kong Narmin yang selalu memberi motivasi

dan doa;

10

semua teman Matematika 43 yang selalu menjadi contoh yang baik;

11

semua teman Matematika 44 yang saya banggakan dan saya sayangi;

12

semua teman Matematika 45 yang selalu memberi semangat dan doa;

13

teman seperjuangan Aisyah: Kak Achi, Kak Leni, Kak Leli, Kak Awal, Kak Risma, Kak

Aulia, Kak Mutty, Kak Imel, Kak Susi, Kak Ipit, dan Nanda;

14

Forkom SMAN 1 Bogor, BEM KM Kabinet Totalitas Perjuangan dan Kabinet Generasi

Inspirasi IPB, BEM G FMIPA IPB Kabinet Kesatria Pembaharu, Gumatika, dan Primagama;

15

Yayasan Karya Salemba Empat (KSE), Mien R. Uno Foundation (MRUF), dan

E-Camp

Indonesia yang telah memberikan beasiswa;

16

semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang

matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Mei 2012

✐❥❦❧♠❧♥♦ ❥ ♣qr

Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 19 April 1989 sebagai anak kedua dari dua

bersaudara, anak dari pasangan Drs. Rochmani dan Dra. Indrati Soeprapto Putri. Pada tahun 2001

penulis lulus dari SD Negeri Kartika Sejahtera Bogor sebagai lulusan terbaik kedua, kemudian

pada tahun 2004 lulus dari SMP Negeri 1 Bojonggede dengan prestasi sebagai siswa teladan.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus

seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB), dengan Mayor

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), kemudian mendapat

Minor Statistika mulai tahun kedua perkuliahan.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten dosen mata kuliah

Pemrograman Linear pada 2010/2011. Tahun 2010 penulis meraih juara IV Olimpiade Matematika

dan mewakili IPB dalam OSN (Olimpiade Sains Nasional) bidang Matematika. Penulis juga

pernah meraih juara III pada kompetisi Sesi Poster yang diadakan oleh Departemen Matematika

IPB. Selain berprestasi, penulis sangat aktif di beberapa kegiatan kemahasiswaan di antaranya:



Anggota Departemen PPSDM BEM KM (Pendidikan dan Pengembangan Sumber Daya

Manusia Badan Eksekutif Mahasiswa Keluarga Mahasiswa) IPB 2007/2008,



Sekretaris Departemen Sains dan Teknologi BEM FMIPA IPB 2008/2009,



Direktur Administrasi dan Keuangan Biro Bisnis dan Kemitraan BEM KM IPB 2009/2010,



Ketua Biro Kesekretariatan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) FMIPA IPB

2009/2010,



Ketua Bidang Humas Data Center Forum Komunikasi Alumni Muslim SMA Negeri 1 Bogor

(Forkom Alims) 2009/2010.

Penulis juga sangat aktif di banyak kegiatan kepanitiaan dari organisasi yang sedang diikuti baik

tingkat kampus maupun tingkat nasional di antaranya:



Humas acara pemecahan Rekor MURI dalam MPKMB (Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa

Baru) IPB 2008,



Sekretaris Pesta Sains Nasional 2009,



Sekretaris Lomba Karya Cipta Mahasiwa Nasional 2009,



Manajer Administrasi Program EDU (

Entrepreneur Development Unit

) BEM KM IPB 2010.

Kegiatan keagamaan yakni membina siswi SMA Negeri 1 Bogor melalui adanya mentoring, juga

turut menjadi bagian kegiatan penulis. Selain itu, penulis pun sudah bekerja menjadi staf akademik

bimbingan belajar Primagama sejak tingkat akhir perkuliahan.

Selama kuliah penulis mendapat beasiswa di antaranya Beasiswa Yayasan Karya Salemba

Empat (KSE), Mien R. Uno Foundation (MRUF), dan

E-Camp

Indonesia. Selain mendapat

beasiswa berupa dana tunai, penulis aktif mengkuti berbagai kegiatan seminar dan

workshop

pengembangan

softskill

yang diadakan oleh beasiswa. Penulis juga pernah mengikuti Program

Mahasiswa Wirausaha (PMW) IPB dan mendapat modal untuk mendirikan usaha. Hasil penilaian

usaha oleh CDA (

Career Development Affair

) IPB memberikan rapor hijau atas keberhasilan

membangun usaha dan perkembangan usaha penulis yang semakin maju. Oleh karena itu, pada

tahun 2010 penulis berkesempatan mengikuti kegiatan Seminar dan

Workshop

Wirausaha Muda

st✉✈ t✇① ②①

③④ ⑤④ ⑥④ ⑦

DAFTAR TABEL ...

ix

DAFTAR GAMBAR ...

ix

DAFTAR LAMPIRAN ...

x

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ...

1

1.2 Tujuan ...

1

II LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Linear ...

1

2.2 Solusi Pemrograman Linear ...

2

2.3 Algoritme

Branch and Bound

...

3

2.4 Masalah Penjadwalan

Job-Shop

...

5

2.5 Aturan Umum Perjalanan Kereta Api Jalur Tunggal dan Ganda ...

7

III PEMODELAN MASALAH PENJADWALAN KERETA API DAN APLIKASINYA

3.1 Model Matematika ...

8

3.2 Aplikasi Model ...

11

IV SIMPULAN DAN SARAN ...

20

DAFTAR PUSTAKA ...

20

LAMPIRAN...

21

⑧⑨⑩❶ ⑨❷❶ ⑨❸ ❹ ❺

❻❼❽ ❼ ❾❼ ❿

1 Waktu pemrosesan setiap operasi (menit) dari Contoh 3 ...

6

2 Simulasi jadwal kedatangan dan keberangkatan MRT dari Lebak Bulus ke

Sisingamangaraja (menit ke-) ... 18

3 Simulasi jadwal kedatangan dan keberangkatan MRT dari Sisingamangaraja ke

Lebak Bulus (menit ke-) ... 19

4 Data simulasi dari perjalanan MRT Lebak Bulus-Sisingamangaraja ... 24

5 Waktu kedatangan setiap MRT di stasiun pertama ... 25

6 Simulasi jadwal kedatangan dan keberangkatan MRT dari Lebak Bulus ke

Sisingamangaraja dengan waktu

delay

MRT Ekspres 6 menit (menit ke-) ... 36

7 Simulasi jadwal kedatangan dan keberangkatan MRT dari Sisingamangaraja ke

Lebak Bulus dengan waktu

delay

MRT Ekspres 6 menit (menit ke-) ... 37

⑧⑨⑩❶ ⑨❷➀ ⑨➁ ❸ ⑨❷ ❻❼❽ ❼ ❾❼ ❿

1

Bagan dari penyelesaian ILP (8) dengan algoritme

Branch and Bound

...

5

2

Diagram

Gantt

dari Contoh 3 kombinasi 1 ...

6

3

Diagram

Gantt

dari Contoh 3 kombinasi 2 ...

7

4

Diagram

Gantt

dari Contoh 3 kombinasi 3 ...

7

5

Ilustrasi dari istilah perkeretaapian ...

8

6

Ilustrasi suatu rute perjalanan kereta api jalur ganda ...

9

7

Ilustrasi perjalanan MRT rute Lebak Bulus-Sisingamangaraja ... 11

8

Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Lebak Bulus ke

Sisingamangaraja yang mengandung konflik ... 14

9 Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Sisingamangaraja ke

Lebak Bulus yang mengandung konflik ... 15

10 Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Lebak Bulus ke

Sisingamangaraja yang sudah tidak mengandung konflik ... 16

11 Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Sisingamangaraja ke

Lebak Bulus yang sudah tidak mengandung konflik ... 17

12 Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Lebak Bulus ke

Sisingamangaraja dengan waktu

delay

MRT Ekspres menjadi 6 menit ... 34

13 Diagram ruang waktu dari simulasi penjadwalan MRT dari Sisingamangaraja ke

Lebak Bulus dengan waktu

delay

MRT Ekspres menjadi 6 menit ... 35

➂➃➄➅ ➃➆➇ ➃➈ ➉ ➊➆ ➃➋

➌➍➎ ➍ ➏➍ ➐

1

Syntax

Program LINGO 11.0 untuk Menyelesaikan Masalah Pemrograman Linear dengan

Metode

Branch and Bound

beserta Hasil yang Diperoleh ... 22

2 Data Simulasi Penjadwalan MRT Lebak Bulus-Sisingamangaraja ... 24

3

Syntax

Program LINGO 11.0 untuk Simulasi Penjadwalan MRT Lebak

Bulus-Sisingamangaraja beserta Hasil yang Diperoleh ... 26

4 Hasil Simulasi Penjadwalan MRT dengan Nilai

Delay

MRT Ekspres Dibatasi ... 34

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

➑ ➒➓➒➔ ➒ → ➓➒➔ ➣↔ ↕ ➓→➒➣➙

y

➒➔ ➛ ➒➜➒➔➝ ➔

y

➒ ➜➒➔ ➝ ➞ ➒➔➟➠↔➒

t

➣ ➒➔ ➛ ➒

t

➞➙ ➡

tu

u

➢➤ ➒➔ ↕➥ ➠ ➢➜➒➣

y

➒➓➒➤ ➒→➝ ➤➢➣

u

➣➔

u

y

➒

y

➒➔➛ ➜➠➜➙➥ ➙ ➤➙ ➜↕➡➙ ➥ ➙ → ➒➣

t

➙➔➛➛➙ ➞ ➒➥ ➒➜ ➤➠➣➠➢➒➓➙ ➒➔ ➔

y

➒➦ ➧➠➔↕➜➠➔➒ ➙ ➡

u

➤ ↕

t

➒ ➣➠➡➒➛➒➙ ↔➣ ➒

u

t

➞➒➓➙ ➤➠ ➛➙ ➒ →➒➔ ↔ ➠ ➓➠➤↕➔ ↕ ➜➙ ➒➔ ➜➠➔ ➟➠ ➓➜➙ ➔ ➤ ➒➔ ➡➒➢➒

w

➣

u

➞ ➒➢ ➣➠➥ ➒

y

➒➤ ➔

y

➒ ➣➙ ➣ →➠ ➜ → ➓➒➔ ➣↔ ↕ ➓→ ➒➣➙

y

➒➔ ➛ ➒➞ ➒ ➜➙ ➔➙ ➜➒➥ ➜➠➜➠➔

u

➢➙ ➤➠ →➙ ➛➒➣ → ➒➔➞➒➓ →➠ ➓➣ ➠➡

u

→ ➦➑➒➥ ➒➢➣ ➒

tu

➒➥ ➒

t

→ ➓➒➔➣↔↕➓→ ➒➣➙➞ ➒➓➒

t y

➒➔ ➛➞ ➒↔➒

t

➜➠➔➛➒➔ ➛➤

u

t

➜➒➣ ➣ ➒➞ ➒➥ ➒➜➨

u

➜➥ ➒ ➢➡➒➔➒➤

y

➝➟➠↔➒

t

➝➞➒➔ ➜

u

➓➒➢ ➒➞ ➒➥ ➒➢➤➠ ➓➠ → ➒➒↔➙ ➦

➑➙ ➣ →➠ ➜ ↔ ➠➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔ ➤➠ ➓➠ → ➒ ➒↔➙ ➒➔ ➛

y

↕↔ →➙ ➜➒➥ ➢➒➓➣

u

➞➙ ↔ ➠ ➓➢➒

t

➙➤➒➔ ➞ ➒➥ ➒➜ ➜➠➔➟ ➙↔→ ➒➩ ➤➒➔ ➥ ➒➥

u

➥➙ ➔→➒➣ ➤➠ ➓➠→➒ ➒↔➙

y

➒➔➛➣➠➣

u

➒➙ ➞➠➔ ➛ ➒➔ ➒➓➒➔

tu

➩➒

tu

➓➒➔ ↔ ➠ ➓➤➠ ➓➠ → ➒➒↔➙ ➒➔ ➦ ➑ ➙ ➣ →➠➜ ↔➠ ➔➩ ➨➒➞➒➥ ➒➔

w

➤➠ ➓➠→➒ ➒↔ ➙

y

➒➔➛ ➠➫➠➤→➙➫ ➞➒➔ ➠➫➙ ➣➙➠ ➔ ➨

u

➛➒ ➒➤ ➒➔ ➜➠➜ ➙ ➔➙ ➜➒➥➙ ➣ ➒➣➙ →➠➓➨➒➞➙ ➔

y

➒ ↔ ➠➔

u

➜↔

u

➤ ➒➔ ↔➠➔

u

➜↔ ➒➔ ➛ ➞➙ ➣ → ➒➣➙➔

u

➒➤ ➙➡➒

t

➒➞ ➒➔

y

➒ ↔➠➔➔ ➞➒ ➒➔

u

➤ ➠➡➠ ➓➒➔ ➛➤➒→ ➒➔ ➤➠ ➓➠→➒ ➒↔ ➙ ➦ ➭ ➒➣ ➒➥ ➒➢ ↔➠ ➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔ ➤➠➓➠ → ➒ ➒↔➙ ➜➠ ➓↔

u

➒➤ ➒➔ ➢ ➒➥

y

➒➔ ➛ →➙ ➞ ➒➤ ➜➞ ➒➢

u

➞➙ ➣➠➥ ➠➣ ➒➙ ➤ ➒➔ →➠ ➓➥ ➠➡ ➙ ➢ ↔➒➞➒ ➨➒➥ ➯➓ ➤➠➓➠ →➒ ➒↔➙ ➒➔ ➛

y

➟➤

u

u

↔ ➤ ↕ ➜↔ ➥➠ ➤➣ ➦ ➲➠ ➓➞ ➒↔ ➒

t

➡ ➒➔

y

➒➤ ➒

tu

➓➒➔ ➒ →➒

u

➡ ➒ →➒➣ ➒➔

y

➒➔ ➛ ➢ ➒➓

u

➣ ➞➙ ↔➠ ➔

u

➢➙ ➞➒➥ ➒ ➜ ➜➠➜➠➟ ➒ ➢➤ ➒➔ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢ ➙ ➔➙ ➦ ➑➒➥ ➒➢ ➣ ➒

tu

➔

y

➒ ➒➞➒➥ ➒ ➢ ➡ ➒ ➛➒➙ ➜➒➔ ➒ ↔ ➠ ➓➨➒➥ ➒➔ ➒➔➣

u

➒

tu

➤ ➠ ➓➠ → ➒➒↔➙➞ ➒↔ ➒

t

➡➠ ➓➥ ➒➔➛➣➔ ➛

u

→ ➒➔↔➒ →➠➓➨➒➞➙

tu

➜↔➒➔➛ →➙ ➔ ➞➙ ➢ ➞➠➔➛➒➔ ↔ ➠ ➓➨➒➥ ➒➔ ➒➔➤➠➓➠ →➒➒↔ ➙

y

➒➔ ➛➥ ➒➙ ➔➔

y

➒➦

➳➥➙ ➵➠ ➙ ➓➒ ➞➒➔ ➑➜➙ →➢ ➸➺ ➻ ➻➻➼ ➜➠➔

y

➠➡

u

→➤ ➒➔ ➡➒➢

w

➒➜ ➒➣ ➒➥ ➒➢↔➠ ➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔➤➠➓➠ → ➒ ➒↔ ➙ ➞➒↔➒

t

➞➙↔➒➔ ➞ ➒➔ ➛ ➣➠➡➒➛➒➙ ➙ ➜↔ ➥ ➠ ➜➠➔→➒➣➙ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢

↔➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➽ ➾➚ ➩

s

➪ ➾➶ ➣➠➟ ➒➓➒ ➤ ➢➣

u

➣

u

➹ ↔➠ ➓➨➒➥ ➒➔➒➔➩↔ ➠ ➓➨➒➥ ➒➔ ➒➔ ➤➠ ➓➠ → ➒ ➒↔➙ ➞➙ ➒➔ ➛➛➒↔ ➣➠➡ ➒➛ ➒➙ ➣➠➤

u

➜↔➥ ➒➔

u

↔➠➤ ➠ ➓➨➒➒➔ ➸ ➽ ➾➚

s

➼

y

➒➔➛ ➞➙➨➒➞

w

➒➥ ➤ ➒➔ ↔ ➒ ➞➒ ➣➠➤

u

➜↔➥ ➒➔

u

➣

u

➜➡ ➠ ➓ ➞➒

y

➒ ➸

r

➘

s

➾

u

r

➴➘

s

➼

y

➒➔ ➛ ➡ ➠ ➓↔➒

u

➣➠➛➜➠➔ ➩➣➠➛➜➠➔➨➒➥ ➯➓ ➤➠ ➓➠ → ➒➒↔➙ ➦➳➥ ➠ ➢➤ ➒➓➠ ➔ ➒➙ →➝

u

↔➒➞ ➒➤➒➓

y

➒➙➥ ➜➙ ➒ ➢ ➙➔➙ ➒➤ ➒➔ ➞➙➡➒➢➒➣ ↔ ➠➔➠

y

➥ ➠➣ ➒➙ ➒➔ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢ ↔➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➤ ➠ ➓➠ → ➒ ➒↔➙ ➜➠ ➔ ➛➛➔ ➒➤➒➔

u

➜↕ ➞➠ ➥ ↔➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➽ ➾➚➷

s

➪➾ ➶ ➞➠➔ ➛➒➔ ➜➠ ➜➙ ➔ ➙ ➜

u

➜➩ ➤ ➒➔ →↕ → ➒➥ ➒➤

w

tu

→➠ ➜↔

u

➢ ↔➠ ➓➨➒➥ ➒➔➒➔ ➦ ➬➠ ➜↕ ➞➠➥ ➒➔ →➠ ➓➣➠ ➡

u

t

➒➤ ➒➔ ➞➙ ➥ ➒➤➤ ➒➔

u

↔➒➞➒ ➤ ➒➣➣

u

➤➠ ➓➠ → ➒ ➒↔ ➙ ➞➠➔ ➛ ➒➔ ➨➒➥ ➯ ➓ ➛➒➔ ➞ ➒➦ ➮➠ ➜

u

➞➙ ➒➔ ➞➙ ➥ ➒➤➤➒➔

u

➣

tu

➞➙ ➤➒➣➣

u

➞➠➔ ➛ ➒➔ ➜➠ ➔ ➛ ➛➔ ➒➤ ➒➔

u

➞ ➒→ ➒ ➢➙ ↔ ↕ →➠ →➙ ➤ ➦ ➭ ↕➞➠➥

y

➒➔➛ ➞➙ ➢➒➣➙ ➥ ➤ ➒➔ ➒➤ ➒➔ ➞➙➣➠ ➥➠➣ ➒➙ ➤ ➒➔ ➜➠ ➔ ➛ ➛➔

u

➒➤ ➒➔ ↔➠ ➓➒➔➛➤ ➒

t

➥ ➯➔ ➒➤➱✃❐❒➳ ❮ ❮➦ ➻➦

1.2 Tujuan

➲

u

➨

u

➒➔

u

➜

u

➜➞➒➓➙➤ ➒➓➒

y

➙ ➥ ➜➙ ➒➢➙ ➔➙ ➒➞➒➥ ➒ ➢ ➜➠ ➔➠➥ ➠ ➣ ➒➙ ➤ ➒➔

y

➜➒➣ ➒➥ ➒➢ ↔➠➔➨➒ ➞➒➥ ➒➔

w

➤➠ ➓➠ → ➒ ➒↔➙

y

➒➔ ➛ ➜➠➓

u

↔ ➒➤➒➔ ➙ ➜↔➥ ➠➜➠➔→➒➣➙ ➜➒➣ ➒➥ ➒➢ ↔➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➽ ➾➚➩

s

➪ ➾➶ ➣➠➟➒➓➒ ➤➢➣

u

➣ ➦

u

➑➠ ➞ ➒➔ ➛➤ ➒➔

tu

➨

u

➒➔➤ ➢➣

u

u

➣➞➒➓➙➤ ➒➓➒

y

➙ ➥ ➜➙ ➒➢➙ ➔➙ ➒➞➒➥ ➒➢➣➠➡➒➛➒➙➡ ➠ ➓➙ ➤

u

→❰

❮ ➜➠ ➜↕ ➞➠➥ ➤➒➔ ➜➒➣ ➒➥ ➒➢ ↔ ➠➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔ ➽ ➾➚➷

s

➪➾ ➶

u

➔➤

tu

➤ ➠ ➓➠ → ➒➒↔ ➙➨➒➥ ➯➓➛➒➔ ➞ ➒➝

➺ ➜➠➥ ➒➤➤ ➒➔

u

➣➙ ➜➥ ➒➣➙

u

↔➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➤ ➠ ➓➠

t

➒ ➒↔ ➙➨➒➥ ➯ ➓➛➒➔ ➞ ➒ ➞➠➔➛➒➔ ➜➠➔ ➛ ➛➔

u

➒➤ ➒➔ ➞➒ →➒ ➢➙ ↔ ↕ →➠ →➙➤ ➝

Ï ➜➠➔➟➒➓➙ ➣ ↕➥ ➯➣➙ ➞➒➓➙ ➜↕➞➠➥ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢ ↔ ➠➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔ ➤➠ ➓➠ → ➒ ➒↔ ➙ ➜➠➔➛➛

u

➔ ➒➤➒➔ ↔ ➠ ➓➒➔ ➛➤➒

t

➥ ➯➔ ➒➤➱✃❐❒ ➳ ❮❮➦➻➝

II LANDASAN TEORI

Ð➠➫➙ ➔➙ ➣➙ ➞➒➔➤ ↕➔➣➠ ↔

y

➒➔ ➛ ➢➒➓➣

u

➞➙ ↔ ➒➢ ➒➜➙ ➞ ➒➥ ➒➜ ➜➠➜↕➞➠➥ ➤ ➒➔ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢ ↔ ➠➔➨➒ ➞

w

➒➥ ➒➔ ➤ ➠ ➓➠ → ➒ ➒↔➙ ➒➤ ➒➔ ➞➙➨➠➥ ➒➣➤➒➔ ↔➒➞➒ ➡ ➒➡ ➙➔ ➙ ➦ ➬ ➠➔➨➠ ➥ ➒➣ ➒➔

y

➒➔ ➛ ➒➤➒➔ ➞➙ ➣ ➒➜↔ ➒➙ ➤ ➒➔ ➒➞ ➒➥ ➒ ➢ →➠ ↕ ➓➙➞ ➒➣ ➒➓↔ ➠ ➜➓↕➛ ➓➒➜➒➔➥ ➙ ➔➠➒➓ ➞➒➔ ➒➥ ➛ ↕➓➙ → ➜➠ ↔ ➠➔➠➥ ➠ ➣ ➒➙ ➒➔➔

y

y

➒

y

➒➤➔➙ ➚Ñ Ò ➴➪

r

Ñ ÒÓ ➚ ➾

u

ÒÓ ➦ ➑ ➠➥ ➒➙ ➔ ➙ →

u

➝ →➠ ↕ ➓➙ ➜➒➣ ➒➥ ➒ ➢ ↔ ➠➔➨➒➞

w

➒➥ ➒➔ ➽ ➾➚➷

s

➪ ➾➶ ➨

u

➛➒➒➤ ➒➔➞➙➨➠➥ ➒➣➤ ➒➔↔➒➞ ➒➡➒➡➙ ➔➙ ➦

2.1 Pemrograman Linear

➬➠➜➓↕ ➛➓➒ ➜➒➔ ➥ ➙ ➔➠➒➓ ➞➒↔ ➒

t

➞➙➨➠➥ ➒➣➤ ➒➔ ➞➠➔ ➛➒➔ →➠ ➓➥ ➠➡➙ ➢ ➞ ➒➢➥

u

u

➜➠ ➜➒➢ ➒➜➙ ➞

u

➒ ➞➠➫➙➔ ➙ ➣➙➡➠ ➓➙ ➤

t

u

➙ ➔➙ ➦

Definisi 1 (Fungsi Linear)

➑➒

u

tu

➫➔➛➣➙

u

Ô ➞ ➒➥ ➒ ➜

v

➒➓➙ ➒➡➠ ➥ ➩

v

➒➓➙ ➒➡➠ ➥

,

, …,

➒➞➒➥ ➒➢ ➣

u

➒

tu

➫➔ ➛➣➙

u

➥ ➙➔ ➠ ➒➓ ➨➙ ➤ ➒ ➞ ➒➔ ➢➒➔

y

➒ ➨➙ ➤ ➒

u

➔➤

tu

➣

u

➒

tu

➢➙ ➜↔➔ ➒➔

u

➤ ↕➔ ➣ →➒➔ → ➒

,

, …,

➝ ➫➔➛➣➙

u

Ô ➞➒↔➒

t

➞➙➥➙ ➣

tu

➣➠➡ ➒ ➛➒➙ Ô➸

,

, …,

)

=

+

+

+

.

(Winston 2004)

Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan

Linear)

Sembarang fungsi linear

Ô

dan sembarang

nilai

➴

, yang berbentuk

Ô

(

,

, …,

) ≤

dan

Ô

(

,

, …,

) ≥

disebut sebagai

pertidaksamaan linear.

Sedangkan, untuk

sembarang fungsi linear

Ô

dan sembarang nilai

➴

, yang berbentuk

Ô

(

,

, …,

) =

disebut

sebagai persamaan linear.

(Winston 2004)

Pemrograman linear adalah suatu masalah

optimisasi yang memenuhi hal-hal berikut:

1

bertujuan

memaksimumkan atau

Õ

Ö×Ø

u

ÙÚ Û Ü

v

Û ÝÞÛ ß×Ú à×áÖÛ â

u

tu

ã ä

u

âåÖÞÛ â å

y

Û àÛ âæ Þ ÙÛ àÖ Þ Ù

u

ÙàÛâÛç Û

u

æ Þ ÙÞ âÞ Ù

u

ÙàÛ â æÞÖ× ß

u

t

Ö× ßÛ åÛ Þä

u

âåÖ Þè ßØ × àç Þä é

Õ âÞÚÛÞ ÛÝÞ

v

Û ß× Ú êÛÝÞÛß×Ú

v

à×á

u tu

ÖÛ â âÛ

y

Ù× Ù× â

u

ÜÞ ÖÛ

u

tu

Ü Þ Ùá

u

âÛ â à× âæÛÚ Û Ûâå

y

ß× Ýá Û

u

á × ÝÖÛ ÙÛÛâ Ú Þ â×ÛÝ Ûç Û

u

á× Ýç Þ æÛàÖÛ ÙÛÛâÚ Þ â×ÛÝé

ë

t

× ÝæÛá Û

t

á× ÙßÛ çÛ ÖÛ â çÛâæÛ

u

â

tu

à Ö× ç ÞÛ á

v

Û ÝÞÛ ß×Ú æÛÚ Û Ù ÙÛÖÛÚ ÛÜ Þ â Þì íÞÖÛÚ àÛâ

u

â

tu

àÖ×ÙßÛ ÝÛ â å

v

Û ÝÞÛ ß×Ú é â ÞÚ Û Þ æÛ ÝÞ ÜÛ Ý

u

Ö ç Û à â× åÛ

t

Þä î

≥ 0

ï Û çÛ

u

ç Þ æÛ à æÞ ßÛ çÛ Ö ÞçÛâæÛâÛ

y

î

u

ð

r

ñò óô ñ õ

str

ò ð

s

ò ö ð ïì

î÷ Þ âÖç èâ

Õ øø ùï

Definisi 3 (Bentuk Standar Pemrograman

Linear)

íÞÖÛÚ àÛâ æÞ ß×ÝÞàÛ â ÖÛ

u

tu

á × ÙÝè å ÝÛ ÙÛâ Ú Þ â×Û Ý îú ûï æ× âåÛâ ü à× âæÛÚ Û æÛ â ðÛ ÝÞÛ ß×Ú

v

î

,

, …,

ï ì ý × â

tu

à Öç Û âæÛ Ý æÛ ÝÞ úû ç × ÝÖ× ß

u

t

Û æÛÚ Û Üþ

ÙÛ àÖ Þ Ù

u

ÙàÛ â

z

=

+

+

+

(atau minimumkan),

dengan kendala:

+

+

+

=

(1)

+

+

+

=

(2)

+

+

+

=

(3)

≥ 0, ( = 1, 2, . . . , )

.

Kendala (1), (2), dan (3) dapat ditulis dalam

bentuk:

A

x

=

b

, dengan

(4)

A =

⋮

⋮

,

=

_⋮

,

=

⋮

.

(Winston 2004)

2.2 Solusi Pemrograman Linear

Suatu

PL dapat diselesaikan dengan

berbagai metode, salah satunya adalah metode

simpleks. Metode ini dapat menghasilkan

suatu solusi yang optimum bagi PL yang

menggunakan

proses

iteratif

pada

penyelesaiannya. Vektor

x

yang memenuhi

kendala

=

disebut

solusi

. Misalkan

matriks

A

dinyatakan sebagai

A

=

(B N)

,

dengan

B

adalah

matriks

taksingular

berukuran

m

×

m

yang elemennya berupa

koefisien variabel basis dan

N

merupakan

matriks berukuran

m

× (

n

m)

yang

elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis

pada matriks kendala. Misalkan vektor

x

dinyatakan sebagai

x

=

, dengan

adalah vektor variabel basis dan

adalah

vektor variabel nonbasis, maka

=

dapat

dinyatakan sebagai :

= (

)

=

B

+ N

=

b

.

(5)

Matriks

B

memiliki invers karena merupakan

matriks taksingular, sehingga dari (5)

dapat dinyatakan sebagai:

=

−

,

(6)

dan fungsi objektifnya berubah menjadi:

minimumkan

z

=

+

.

(Winston 2004)

Definisi 4 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan

semua titik yang memenuhi semua kendala

dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston 2004)

Definisi 5 (Solusi Basis)

Misalkan terdapat suatu masalah PL

A

x

=B

yang dibentuk dari

m

persamaan linear dan

n

variabel (

n m

). Solusi basis dari

A

x

=B

dapat

diperoleh dengan mengatur nilai

n-m

variabel

sama dengan nol dan menyelesaikan

m

variable

sisanya.

Cara

tersebut

dapat

menghasilkan

nilai yang unik untuk

m

variable

sisanya. Kolom-kolom untuk

m

variabel sisanya adalah bebas linear.

(Winston 2004)

Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)

Solusi fisibel basis adalah solusi basis

pada PL yang semua variabel-variabelnya

taknegatif.

(Winston 2004)

Definisi 7 (Solusi Optimum)

Solusi optimum suatu PL untuk masalah

maksimisasi merupakan suatu titik dalam

daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif

terbesar. Sedangkan solusi optimum suatu PL

untuk masalah minimisasi, adalah suatu titik

dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi

objektif terkecil.

(Winston 2004)

Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis

diberikan dalam Contoh 1.

Contoh 1

Misalkan diberikan PL berikut:

minimumkan

z

=

− 2

− 3

(7)

terhadap

−

+ 2

+

= 10

− 2

+

+

=

2

2

+

=

3

ÿ

✁✂✄☎ ✆✝ ✞ ✂✟✞ ✠

u

t

✡ ✄☛✞✂☞ ✌✞ ✍✎

A =

− 1

2

1

− 2

1

0

2

0

0

0

1

0

0

0

1

✏

b

=

10

2

3

✑ ✒ ✄✟ ✁ ✌✓ ✁✔✡ ✄☛ ✄ ✌ ✄ ✍✎

= (

)

✡✁✔

= (

)

✏

✕✁✓✁✕✁✝ ✂✄✓ ✟✠✁✟ ✄✟ ✔

y

✁✁✡ ✁✌ ✁✍ ✎

B =

− 1

2

1

− 2

1

0

2

0

0

✏

=

0

0

0

1

1

1

− 2

✏

N =

0

0

1

0

0

1

✏

= ( − 2

− 3

0)

✏

= ( 0

0)

✏ ✡ ✞ ✔✖✁ ✔ ✕✞ ✔✖ ✖

u

✔✁✓ ✁ ✔ ✕✁✝ ✂✄✓ ✟ ✠ ✁✟ ✄✟ ✝ ✞ ✂✟✞ ✠✝ ✏

u

✡✄☛ ✞ ✂☞✌✞✍✎

= ( 0

0)

✏

=

=

5

✏

=

= − 18

✑

✗✘ ✙ ✚☞✌✛✟ ✄✗✘ ✙ ✕✞ ✂☛

u

✁✓ ✁ ✔✟☞✌

u

✟ ✄✠✁✟ ✄✟ ✏ ✓ ✁ ✂✞ ✔ ✁ ✕✞✕✞ ✔

u

✍✄ ✓✞ ✔✡✁✌ ✁ ☛ ✁✡ ✁ ☎ ✆ ✗✜✙ ✡✁✔ ✓☞✌☞✕ ✢ ✓ ☞ ✌☞✕☛ ✁✡ ✁✕✁✝ ✂✄✓✟✓✞✔✡✁✌✁

y

✁✔✖ ✠✞ ✂☛ ✁✡ ✁✔ ✁✔ ✡ ✞ ✔✖✁ ✔ ✓ ☞✕☛ ☞ ✔✞✔ ✝ ✁✓✔☞ ✌ ✡✁✂✄ ✗✘ ✙✏

y

✁✄✝

u

B

✠✞ ✠✁✟ ✌ ✄✔✞✁✂ ✗✓☞✌☞✕

y

✁✔✖ ✟ ✁

tu

✠

u

✓ ✁ ✔ ✕✞ ✂☛

u

✁✓✁✔ ✓✞ ✌ ✄☛✁✝ ✁✔ ✡ ✁ ✂✄ ✓☞✌☞✕

y

✁✔✖ ✌ ✁✄ ✔✙✑ ✚ ☞ ✌✛✟ ✄✗✘✙✣

u

✖✁✕✞ ✂☛ ✁✓ ✁✔

u

✟☞✌✟ ✄

u

✤✄✟ ✄ ✠✞ ✌✠✁✟ ✄✟ ✏ ✓✁✂✞ ✔✁ ✔✄ ✌ ✁✄✢✔ ✄✌ ✁✄

v

✁✂✄ ✁✠✞ ✌ ✔

y

✁ ✌✞ ✠ ✄ ✍✡✁✂✄ ✁✝ ✁

u

✟ ✁✕✁✡✞✔✖✁ ✔✔☞ ✌✑

Definisi 8 (

Integer Linear Progamming

)

Integer linear progamming

✗✥✆ ☎✙ ✁✡ ✁ ✌✁ ✍ ✟

u

✁

tu

☛✞✕✂☞✖✂✁✕✁✔ ✌✄ ✔✞ ✁✂

y

✁✔✖

v

✁✂✄ ✁✠✞✌✔

y

✁ ✕✞ ✂

u

☛ ✁✓ ✁✔ ✠ ✄✌ ✁ ✔✖✁ ✔ ✠

u

✌ ✁

t y

✁✔✖ ✝ ✁✓ ✔✞✖✁✝ ✄✤✑ ✦☛✁✠✄ ✌ ✁ ✟✞✕

u

✁

v

✁✂✄ ✁✠✌✞ ✔

y

✁ ✕✞ ✂☛✁✓ ✁ ✔

u

✠ ✄✌ ✁✔✖✁✔✠

u

✌ ✁

t

✕✁✓ ✁ ✥✆ ☎✡✄✟✞✠

u

t

✟✞ ✠✁✖✁✄

pure

integer progamming

✑✒✁✟ ✁✌ ✁✍✥✆☎

y

✁ ✔✖✍✁ ✔

y

✁ ✠✞ ✠✞✂✁☛ ✁

v

✁ ✂✄✁ ✠✞ ✌ ✔✁

y

✟ ✁✣ ✁ ✠✞ ✂☛ ✁

u

✠✄ ✌ ✁✔ ✖✁ ✔ ✠

u

✌✁

t

✡ ✄✟✞ ✠

u

t

✟✞ ✠ ✁✖✁ ✄

mixed

integer

progamming

✑ ✚ ✞ ✌✁ ✄✔ ✄✝ ✛ ✏ ✕✁✟ ✁✌ ✁✍ ✥✆ ☎ ✁ ✔✖

y

✟✞✕

u

✁

v

✁ ✂✄✁ ✠✞ ✌ ✔

y

✁ ✍ ✁✂✟

u

✠✞ ✂✔✄ ✌ ✁✄ ✧ ✁✝ ✁

u

★ ✡✄✟ ✞ ✠

u

t

✟✞✠✁✖✁✄

integer progamming

✧✢★✑

✗✩✄✔✟✝☞✔✪✧✧✫ ✙

Definisi 9 (Pemrograman Linear Relaksasi)

✬✞✌✁✓✟ ✁✟ ✄☛ ✞✕✂☞✖✂✁✕✁✔ ✌✄ ✔✞ ✁✂ ✁✝ ✁

u

✟ ✞ ✂✄ ✔✖ ✡✄✟ ✞ ✠

u

t

☎ ✆ ✢✂✞ ✌ ✁✓ ✟ ✁✟ ✄ ✕✞ ✂

u

☛✁✓ ✁✔ ✟

u

✁

tu

☛ ✞✕✂☞✖✂✁✕✁✔✌ ✄ ✔✞ ✁✂

y

✁✔✖✡✄☛ ✞ ✂☞✌✞ ✍✡ ✁ ✂✄✟

u

✁

tu

✥✆ ☎ ✡ ✞ ✔✖✁ ✔ ✕✞ ✔✖✍✄ ✌ ✁✔✖✓ ✁ ✔ ✓✞ ✔✡✁✌ ✁

integer

✁✝ ✁

u

✓✞ ✔✡ ✁✌ ✁ ✧ ✢★ ☛ ✁✡✁ ✟✞✝ ✄ ✁☛

v

✁✂✄ ✁✠✞✌✔

y

✁✑ ✭✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄✕

u

✕ ✤

u

✔✖✟ ✄ ☞✠✣ ✞✓ ✝ ✄✤ ☎ ✆ ✢✂✞ ✌ ✁✓ ✟ ✁✟ ✄

u

✔

tu

✓ ✕✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕✁✓✟ ✄✕✄✟ ✁✟✄ ✌✞✠✄ ✍ ✠✞✟ ✁✂ ✁✝ ✁

u

✟ ✁✕✁ ✡ ✞ ✔✖✁✔ ✔ ✄✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄✕

u

✕ ✤

u

✔✖✟ ✄ ☞✠✣ ✞ ✓✝ ✄✤ ✥✆ ☎✑✚ ✞✡ ✁ ✔✖✓✁✔✔✄ ✌ ✁✄☞☛ ✝ ✄✕

u

✕✤

u

✔✖✟ ✄☞✠✣ ✞✓ ✝ ✄✤

☎✆✢✂✞✌✁✓✟ ✁✟✄

u

✔✓

tu

✕✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕✄ ✔✄✕✄✟ ✁✟ ✄ ✌✞✠✄ ✍ ✓✞✮ ✄ ✌ ✁✝ ✁

u

✟ ✁✕✁✡ ✞ ✔✖✁✔ ✔ ✄✌ ✁✄☞ ☛✝ ✄✕

u

✕✤

u

✔✖✟ ✄ ☞ ✠✣ ✞✓ ✝ ✄✤✥✆ ☎✑

✗✩✄ ✔✟✝ ☞ ✔✪✧ ✧✫ ✙

2.3 Algoritme

Branch and Bound

✚ ☞ ✌✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄✕

u

✕ ✡ ✁✂✄ ✕✁✟ ✁✌ ✁ ✍ ✥✆ ☎ ☛✁✡ ✁ ✓ ✁✂

y

✁ ✄ ✌✕✄✁ ✍ ✄ ✔✄ ✡ ✄✮ ✁✂✄ ✕✞✔✖ ✖

u

✔✁✓ ✁ ✔ ☛✞ ✂✁✔✖✓ ✁

t

✌

u

✔ ✁✓ ✆✥ ✭✯✰ ★ ★ ✑ ✧ ✏

y

✁✄✝

u

✟✞✠

u

✁ ✍ ☛ ✂☞✖✂✁✕

y

✁✔✖ ✡ ✄ ✂✁✔✮ ✁ ✔✖

u

✔

tu

✓ ✕✞ ✔✞✔

tu

✓ ✁ ✔ ✟☞ ✌✛✟ ✄ ✕☞ ✡✞✌✌ ✄✔✞ ✁✂✏✔☞✔✌ ✄ ✔✞ ✁✂✏✡✁✔☞☛ ✝ ✄✕✄✟ ✁✟ ✄

integer

✑ ☎✞ ✂✁✔✖✓ ✁

t

✌

u

✔✁✓ ✆✥ ✭✯✰ ★ ★✑✧ ✄✔✄ ✕✞✔✖ ✖

u

✔✁✓ ✁✔ ✁✌✖☞ ✂✄✝✕✞

branch and bound

u

✔

tu

✓✕✞✔✞✌✞✟ ✁ ✄✓ ✁✔

y

✕✁✟ ✁ ✌✁ ✍ ✥✆☎✑

✒✞✔

u

✂

u

t

✱ ✁✍✁✗★✲ ✜✳✙✏

t

✞ ✂✡✁☛ ✁

t

✡

u

✁✓☞✔✟✞☛ ✡ ✁✟ ✁✂ ✡ ✁ ✌✁✕ ✁✌✖☞ ✂✄✝✕✞

branch and bound

✏

y

✁ ✄✝

u

✎



_Branching

Branching

✗☛ ✞ ✔✮ ✁✠ ✁✔✖✁✔✙ ✁✡ ✁ ✌✁ ✍ ☛ ✂☞ ✟✞✟ ✕✞✕✠✁✖✄ ☛ ✞ ✂✕✁✟ ✁ ✌✁ ✍✁✔ ✕✞✔✣ ✁✡✄✟

u

✠☛✂☞ ✠ ✌✞✕ ✢ ✟✠☛ ✂☞✠✌✞✕

u

y

✁✔✖ ✕

u

✔✖✓ ✄ ✔ ✕✞✔✖✁ ✂✁✍ ✓ ✞ ✟☞ ✌✛✟ ✄✑



Bounding

Bounding

✗☛ ✞✕✠ ✁✝ ✁✟ ✁ ✔✙ ✁✡✁✌ ✁✍ ✟

u

✁

tu

☛ ✂☞✟✞ ✟

u

✔✓

tu

✕✞ ✔✮ ✁ ✂✄ ✁✝ ✁

u

✕✞ ✔✖✍✄✝

u

✔✖ ✠✁✝ ✁✟ ✁✝ ✁✟ ✗✡ ✁✌ ✁✕ ✕✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕✄ ✔✄✕✄✟ ✁✟ ✄✙ ✡ ✁ ✔ ✠✁✝ ✁✟ ✠✁

w

✁✍ ✗✡ ✁✌ ✁✕ ✕✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕✁✓ ✟ ✄✕✄✟ ✁✟ ✄✙

u

✔✓

tu

✟☞ ✌✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄✕

u

✕ ✟

u

✠☛✂☞ ✠ ✌✞✕

y

✁ ✔✖ ✕✞ ✔✖✁✂✁✍ ✓✞✟☞✌✛ ✟ ✄☞ ☛✝ ✄✕

u

✕✥✆ ☎ ✑

✒✞ ✝☞ ✡✞

branch and bound

✡ ✄ ✁✁ ✌✄

w

✡✞✔✖✁ ✔ ✕✞✔✞ ✌✞ ✟ ✁✄✓ ✁✔

y

☎ ✆ ✢✂✞✌✁✓✟ ✁✟ ✄ ✡ ✁ ✂✄ ✟✁

u

tu

✥✆☎

.

✴✄✓✁ ✟✞✕

u

✁ ✔✄ ✌ ✁✄

v

✁✂✄ ✁✠✞ ✌ ✓✞ ☛✟ ✁✔

u

tu

✟☞ ✌✟ ✄

u

☞☛ ✝ ✄✕

u

✕ ✟✡✁✍

u

✠✞✂

u

☛ ✁

integer,

✕✁✓ ✁ ✟☞✌✟ ✄

u

✝✞ ✂✟✞✠

u

t

✕✞ ✂

u

☛ ✁✓ ✁✔✟☞✌✛✟ ✄☞ ☛✝ ✄✕

u

✕ ✥✆☎✑✴✄✓ ✁ ✝ ✄✡ ✁✓ ✏✡ ✄ ✌ ✁✓✓

u

✁✔☛✞ ✔✮ ✁✠ ✁✔✖✁ ✔✡ ✁ ✔☛ ✞ ✔✁✕✠ ✁✍ ✢ ✁✔✠ ✁✝ ✁✟ ✁✔✓✞✔✡ ✁ ✌✁☛✁✡ ✁☎✆✢✂✞ ✌ ✁✓✟ ✁✟ ✄✔

y

✁ ✑

✒✞✔

u

✂

u

t

✩✄✔✟✝ ☞ ✔ ✗ ✪✧✧✫✙✏ ☛✁✡✁ ✓ ✁✟✟

u

✕✁✓✟ ✄✕✄✟ ✁✟ ✄ ✏ ✔✄ ✌✁ ✄ ✤

u

✔✖✟ ✄ ☞ ✠✣ ✞✓✝ ✄✤ ☞ ☛✝ ✄✕

u

✕ ✡ ✁✂✄✥✆ ☎

nilai fungsi objektif optimum dari

PL-relaksasi, sehingga nilai fungsi objektif

optimum PL-relaksasi merupakan batas atas

bagi nilai fungsi objektif optimum untuk

masalah ILP. Selain itu, untuk masalah

maksimisasi nilai fungsi objektif optimum

suatu kandidat solusi merupakan batas bawah

nilai fungsi objektif optimum masalah ILP

asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika

solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi

kendala

integer

pada masalah ILP, artinya

fungsi objektif dan semua variabelnya sudah

bernilai

integer

.

Suatu

subproblem

dikatakan

terukur

(

fathomed

) jika terdapat situasi sebagai

berikut:

1

subproblem tersebut takfisibel, sehingga

tidak dapat menghasilkan solusi optimum

untuk ILP,

✵

✶ ✷

u

✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽✸

u

t

✾ ✽❀❁ ❂❃✷❄ ✼ ❅ ❃❀ ✷

u

❃

tu

✷✻✼ ❆✷❄✻ ✹✿❄ ✾

u

✾❇ ✽ ❀❁ ❃ ❀✷ ✽✾

u

❃

v

❃✺❄ ❃✸ ✽✼ ❀

y

❃ ✸ ✽✺ ❀❄✼ ❃❄ ❈❉ ❊ ❋● ❋

r

❍ ■ ❄ ❅❃ ✷✻ ✼ ❆✷❄ ✻ ✹✿ ❄✾

u

✾ ❄ ❀❄ ✾ ✽✾ ✹

u

❀

y

❃❄ ❀❄ ✼ ❃❄ ❏

u

❀❁ ✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅✿ ❄❏

y

❃❀❁ ✼ ✽✸❄ ❂ ✸❃❄ ❅ ❇ ❃✺❄ ✹ ❃❇❃ ✷✻✼ ❆✷❄ ❏❄ ✷❄✸✽✼

y

❃ ❀❁ ❇❄ ✹✽✺✻✼ ✽❂ ✷ ✽✸ ✽✼ ❆✾ ❀

y

❃❑ ✾ ❃❅ ❃ ✷✻ ✼ ❆✷❄ ❄ ❀❄ ✾ ✽❀■ ❃❇ ❄❅❃❀❇❄ ❇ ❃

t

✷✻✼ ❆✷❄✻✹✿ ❄ ✾✾

u

❇❃❀❀❄ ✼ ❃❄ ❏

u

❀❁✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅✿ ❄ ❏❀

y

❃ ✾ ✽ ❀■ ❃❇ ❄ ✸ ❃✿ ❃✷ ✸ ❃❃ ❂

w

▲❇ ❃✼ ❃✾ ✾ ❃✷ ❃✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅✷❄ ✾❄ ✷ ❃✷❄▼ ❇ ❃ ❀ ✸ ❃✿ ❃✷ ❃✿ ❃✷ ▲❇❃✼ ❃✾ ✾ ❃✷ ❃✼ ❃❂ ✾❄ ❀❄ ✾❄✷ ❃✷❄▼❍ ✷

u

✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽✸

u

t

❇ ❄ ✾

u

❀❁❅❄ ❀❅ ❃❀ ✾ ✽❀❁❂❃✷❄ ✼ ❅❃ ❀ ✷✻✼✷❄

u

✻✹✿ ❄ ✾✾

u

✾ ❃✷ ❃✼ ❃ ❂ ◆❖ P❑

◗ ❀❄ ✼ ❃❄ ❏

u

❀❁ ✷❄ ✻✸ ■ ✽❅✿ ❄ ❏ ✻ ✹✿❄ ✾✾

u

✷✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾

u

✿ ✽✺✷ ✽✸

u

t

✿ ❄ ❇ ❃ ❅ ✾ ✽✼ ✽✸ ❄ ❂❄ ✸ ❃✿ ❃✷ ✸ ❃❃ ❂

w

✷ ❃❃

t

❄✿ ❆ ▲

u

❀

tu

❅ ✾ ❃✷ ❃✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅✷❄ ✾❄ ✷ ❃✷❄▼❑ ✾ ❃❅ ❃ ✷

u

✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ❄ ❀❄❇❃✹❃

t

❇❄ ✽✼ ❄ ✾❄ ❀❃✷❄❘

▲❙❄ ❀✷✿✻❀✶❚❚✵▼ ❯ ✽✺❄ ❅

t

u

❄ ❀❄ ❃❇ ❃✼ ❃ ❂ ✼ ❃ ❀❁❅❃❂ ❱✼ ❃❀❁❅❃ ❂ ✹ ✽❀

y

✽✼ ✽✷ ❃❄ ❃ ❀ ✷

u

❃

tu

✾ ❃✷ ❃✼ ❃❂ ✾ ❃❅✷❄ ✾❄ ✷ ❃✷❄ ❇✽❀❁ ❃ ❀✾✽✿✻ ❇ ✽❲❳❉❨❩

r

❳❉❬❲ ❭❉❬

u

.



❖❃ ❀❁ ❅ ❃❂❚

❪✽❏❄ ❀❄ ✷❄ ❅❃ ❀

z

✷ ✽✸❃❁ ❃❄ ✸❃✿ ❃✷ ✸ ❃❃ ❂

w

❇❃✺❄ ❀❄ ✼ ❃❄ ❏

u

❀❁✷❄✻ ✸■ ✽ ❅✿ ❄❏▲✷✻✼✷❄▼

u

◆❖ P

y

❃❀❁✻ ✹✿❄ ✾✾

u

❇ ❃ ❀ ✿ ✽✿ ❃✹ ❅❃❀

z

=

serta

i

= 0.



Langkah 1

Subproblem

PL

( )

dipilih sebagai bagian

masalah

berikutnya

untuk

diperiksa.

Subproblem tersebut diselesaikan dan diukur

dengan kondisi yang sesuai.

a) Jika

PL

( )

terukur dan solusi ILP yang

lebih baik ditemukan, maka batas bawah

z

diperbarui. Jika tidak, bagian masalah

(subproblem) baru

i

dipilih dan langkah 1

diulangi. Jika semua subproblem telah

diperiksa, maka proses dihentikan.

b) Jika

PL

( )

tidak terukur, proses dilanjutkan

ke langkah 2 untuk melakukan

pencabang-an

PL

( )

.



_{Langkah 2}

Pilih salah satu variabel

yang nilai

optimumnya adalah

∗

_{dan tidak memenuhi}

batasan

integer

dalam solusi

PL

_{( )}

. Kemudian

bidang

*

*

1,

j

j

j

x

x

x

 





 



 

 

dipecah menjadi

dua subproblem,yaitu

*

*

dan

1,

j

j

j

j

x



 

_{ }

x

x



 

_{ }

x



dengan

[

∗

]

didefinisikan sebagai

integer

terbesar yang kurang dari atau sama dengan

∗

. Jika

PL

( )

masih tidak terukur, maka

kembali ke langkah 1.

(Taha 1996)

Ilustrasi dari masalah ILP

yang akan

diselesaikan dengan algoritme

branch and

bound

diberikan pada Contoh 2.

Contoh 2

Misalkan diberikan ILP sebagai berikut,

maksimumkan

z

= 16

x

1

+ 10

x

2

(8)

terhadap,

2

x

1

+ 2

x

2

12

18

x

1

+ 10

x

2

90

x

1

,

x

2

0

x

1

,

x

2

bilangan bulat.

Algoritme

branch

and

bound

untuk

menyelesaikan

ILP

(8)

dimulai dengan

mencari solusi PL-relaksasi yang disebut

sebagai subproblem 1. Solusi optimal dari

PL-relaksasi adalah

z

= 82.5,

x

1

= 3.75, dan

x

2

=

2.25 yang dapat dilihat di Lampiran 1.

Berdasarkan teori

yang telah diberikan

sebelumnya, bahwa nilai optimum

z

dari ILP

nilai optimum

z

dari PL-relaksasi, maka

nilai optimum

z

dari ILP (8) tidak dapat

melebihi 82.5. Kemudian nilai optimum

z

dari

PL-relaksasi ditetapkan sebagai batas atas.

Langkah selanjutnya adalah memartisi

wilayah fisibel

dari PL-relaksasi untuk

menemukan solusi optimal dari ILP (8). Nilai

dari varibel

x

1

dan

x

2

pada PL-relaksasi belum

menunjukkan nilai yang

integer

. Oleh karena

itu partisi dapat dimulai dengan melihat nilai

x

1

atau

x

2

. Misalkan variabel pertama yang

akan dipartisi adalah

x

1

. Setiap titik pada

wilayah fisibel ILP (8) harus memenuhi

x

1

3

atau

x

1

4, sehingga pencabangan dari

variabel

x

1

menghasilkan dua subproblem,

yakni subproblem 2 dan 3. Subproblem 2

merupakan subproblem 1 dengan kendala

tambahan

x

1

4 dan subproblem 3 merupakan

subproblem 1 dengan kendala tambahan

x

1

3. Solusi optimal dari subproblem 2 adalah

z

=

82,

x

1

= 4, dan

x

2

= 1.8 yang dapat dilihat di

Lampiran 1.

Nilai

x

2

dari subproblem 2 belum berupa

integer

, sehingga dilakukan pencabangan

yang menghasilkan subproblem 4 dan 5.

Subproblem

4

merupakan

subproblem 2

dengan kendala tambahan

x

2

2 dan

subproblem

5 merupakan

subproblem

2

dengan kendala tambahan

x

2

1. Terdapat tiga

subproblem yang belum diselesaikan, yakni 3,

4, dan 5. Berdasarkan aturan LIFO (

last-in-first-out

) subproblem yang akan diselesaikan

terlebih dahulu adalah subproblem 4 atau 5.

Misalkan dipilih subproblem 4, solusi dari

subproblem 4 ternyata takfisibel yang dapat

dilihat di Lampiran 1. Oleh karena itu,

subproblem 4 tidak dapat dijadikan sebagai

solusi optimal ILP (8). Sedangkan solusi

❫

❴❵ ❛❜ ❝❞❡❢ ❞❣❜❤✐❵ ❣ ❴✐ ❡ ❥❝

u

❫❞❢❞❡ ❞❦

z

= 81.11,

x

1

= 4.44, dan

x

2

= 1 yang dapat dilihat di

Lampiran 1. Nilai

x

1

pada subproblem 5

belum berupa

integer

, sehingga dilakukan

kembali pencabangan menjadi subproblem 6

dan 7.

Subproblem 6 merupakan subproblem 5

dengan kendala tambahan

x

1

5 dan kendala

tambahan

x

1

4 untuk subproblem 7.

Terdapat tiga

subproblem

yang belum

diselesaikan, yakni 3, 6, dan 7. Berdasarkan

aturan

LIFO

subproblem

yang

harus

diselesaikan

terlebih

dahulu

adalah

subproblem

6 dan 7. Misalkan dipilih

subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem

7 adalah

z

= 74,

x

1

= 4, dan

x

2

= 1 yang dapat

dilihat di Lampiran 1.

Nilai variabel

x

1

dan

x

2

dari subproblem 7

sudah berupa

integer

, sehingga solusi tersebut

merupakan solusi yang fisibel dan merupakan

kandidat solusi optimal ILP (8). Kemudian

nilai

z

= 74 dijadikan sebagai batas bawah.

Solusi dari subproblem 6 adalah

z

= 80,

x

1

= 5,

dan

x

2

= 0 yang dapat dilihat di Lampiran 1.

Setiap variabel keputusan dari subproblem 6

juga sudah berupa

integer

, sehingga turut

menjadi salah satu kandidat solusi optimal

dari ILP (8). Nilai

z

pada subproblem 6 lebih

besar dari nilai

z

pada subproblem 7, sehingga

batas bawah diganti menjadi

z

= 80.

Subproblem 3 merupakan satu-satunya

masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari

subproblem 3 adalah

z

= 78 dan

x

1

=

x

2

= 3

yang dapat dilihat di Lampiran 1. Walaupun

setiap variabel dari subproblem 3 sudah

berupa

integer,

nilai

z

-nya kurang dari batas

bawah yakni

z

= 80. Oleh karena itu,

subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal

ILP (8), dengan nilai

z

= 80,

x

1

= 5, dan

x

2

= 0.

Bagan dari penyelesaian ILP (8) dengan

algoritme

branch and bound

ditunjukkan pada

Gambar 1.

2.4 Masalah Penjadwalan

Job

-

Shop

Masalah penjadwalan

job-shop

akan

dijelaskan dengan terlebih dahulu memahami

definisi masalah penjadwalan berikut ini.

Masalah Penjadwalan

Terdapat tiga istilah yang digunakan

dalam pembahasan masalah penjadwalan.

Ketiga istilah tersebut adalah pekerjaan (

job

),

prosesor (

processor

), dan operasi (

operation

).

Pekerjaan

merupakan sekumpulan aktivitas

yang harus diproses, misalnya pembuatan

suatu barang pada pabrik manufaktur atau

operasi bedah yang akan dilakukan di suatu

rumah sakit.

Prosesor

adalah sumber daya

yang digunakan untuk memproses pekerjaan,

misalnya dapat berupa mesin atau alat-alat

kedokteran. Prosesor juga disebut sebagai

sumber daya (

resource

) atau mesin (

machine

).

Operasi

merupakan aktivitas pemrosesan dari

suatu pekerjaan. Berdasarkan ketiga istilah

tersebut, masalah penjadwalan dapat diartikan

sebagai proses pengalokasian sumber daya

untuk suatu operasi pada periode waktu

tertentu.

(Pham 2008)

Keterangan:

BB = Batas Bawah; =

Fathomed

;

t

= Iterasi

Gambar 1 Bagan dari penyelesaian ILP (8)

dengan algoritme

branch and

bound

.

Apabila terdapat dua atau lebih pekerjaan

menggunakan prosesor yang sama pada saat

yang sama pula, maka suatu jadwal belum

t

= 1

t

= 2

t

= 3

×

×

×

t

= 4

t

= 5

t

= 6

t

= 7

×

Subproblem 3

z

= 78

x

1

= 3

x

2

= 3

Subproblem 1

z

= 82.5

x

1

= 3.75

x

2

= 2.25

Subproblem 2

z

= 82

x

1

= 4

x

2

= 1.8

Subproblem 5

z

= 81.11

x

1

= 4.44

x

2

= 1

Subproblem 4

(solusi

takfisibel)

x

1

4

x

1

3

x

2

2

x

2

1

x

1

4

x

1

5

Subproblem 6

z

= 80

x

1

= 5

x

2

= 0

BB 2 = 80

Subproblem 7

z

= 74

x

1

= 4

x

2

= 1

BB 1 = 74

t✉

✈✇①②③ ④ ⑤ ⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇①②⑧ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇①②⑨ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇①②①④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇①②⑩④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇①②❶④

①⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑩②⑤ ④

①⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑩②③ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑩②⑧ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑩②⑨ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑩②①④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

✈✇⑩②⑩④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

✈✇⑩②❶④

①⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②⑤ ④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②⑨ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❶②❶④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②⑤ ④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②⑨ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❷②❶④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇❸②⑤ ④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②⑨ ④

⑤ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇❸②❶④

⑧ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②⑤④

⑧⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②③④

⑦ ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②⑧④

⑦ ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②① ④

⑦ ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②⑩④

⑦ ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ⑦②❶④

⑧⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑤ ②⑤④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑤ ②③④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑤ ②⑧④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑤ ②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

✈✇⑤⑤ ②① ④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

✈✇⑤⑤ ②⑩④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑤ ②❶④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②⑤④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②③④ ⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②⑧④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②① ④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②⑩④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤③ ②❶④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑧ ②⑤④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑧ ②③④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑧ ②⑧④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑧ ②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑧ ②① ④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

✈✇⑤⑧ ②⑩④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

✈✇⑤⑧ ②❶④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②⑤④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②③④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②⑧④ ⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②① ④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②⑩④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤⑨ ②❶④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ①②⑤④

① ⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ①②③④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ①②⑧④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ✈✇⑤ ①②⑨④

⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

✈✇⑤①②① ④

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤①②⑩④

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤①②❶④

① ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦ ✈✇⑤⑩②⑤④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②③④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②⑧④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②⑨④

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②① ④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②⑩④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤⑩②❶④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②⑤④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②③④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②⑧④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②⑨④

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②① ④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②⑩④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❶②❶④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②⑤④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦ ✈✇⑤❷②③④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②⑧④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②⑨④

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②① ④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②⑩④

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ✈✇⑤❷②❶④

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ❹✇⑤ ②⑤ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②⑨ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑤ ②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②⑤ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

❸⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

❸⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②⑨ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

① ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

① ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦

① ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇③ ②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

③⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②⑤ ④

⑤⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②⑨ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑧ ②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑧⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②⑤ ④

③③⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②⑨ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑨⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑨ ②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦ ⑤ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②⑤ ④

③③⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②⑨ ④ ⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇①②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

③⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②⑤ ④

⑧⑧⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②⑨ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②①④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇⑩②❶④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑤⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

❹✇❶②⑤ ④

⑤⑧⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦ ⑦⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

❹✇❶②③ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇❶②⑧ ④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇❶②⑨ ④

⑤⑤⑥⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇❶②①④ ⑦⑥⑦ ⑦⑦ ⑦⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇❶②⑩④

⑦⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦ ❹✇❶②❶④

③ ⑥⑦ ⑦⑦⑦ ⑦⑦

⑦ ⑥⑦⑦ ⑦⑦⑦ ⑦

❺❺

❻❼❽❾❿➀

➁ ➂➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➂➀

❿❿ ➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❽❾➈➀

➁ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼➉❾❿➀

➁ ➂➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

❻❼➉❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄ ➄➃➄➄➄ ➄➄ ➄

❻❼➉❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼➉❾➂➀

❿❿ ➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼➉❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼➉❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼➉❾➈➀

➁ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾❿➀

➅➆➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➂➀

❿❿➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➄❾➈➀

➁ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾❿➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❽ ➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❽ ➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❽ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿❿❾➂➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➁➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➁➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➁➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿❿❾➈➀

➄ ➃➄ ➄➄ ➄➄➄

➁➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾❿➀

❿❿➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➇➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➇➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➂➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❿➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❿➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❿➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➁❾➈➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❿➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾❿➀

❿❿➃➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾➂➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➆➃➄➄➄ ➄➄ ➄ ❻❼❿➅❾➆➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➆➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾➇➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➆➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿➅❾➈➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➁➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿ ➂ ❾❿➀

➁➁➃➄➄➄ ➄➄ ➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ➂ ❾➁➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿ ➂ ❾➅➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ❻❼❿ ➂ ❾➂➀

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

❻❼❿ ➂ ❾➆➀ ➄➃➄➄➄ ➄➄ ➄

➅ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ➂ ❾➇➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➅ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ➂ ❾➈ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➁ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾❿ ➀

➅➅➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➁ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➅ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➂➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➆➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

❿ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➇➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

❿ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➆❾➈ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

❿ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➇❾❿ ➀

❿➅➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄

❻❼❿➇❾➁ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄

❻❼❿➇❾➅ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➇❾➂➀

❿❿➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➇❾➆➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➇❾➇➀ ➄➃➄➄➄ ➄➄ ➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➇❾➈ ➀

➁➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾❿ ➀

➁ ➂ ➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➁ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➅ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➂➀

❿❿➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➆➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➇➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿➈❾➈ ➀

➁➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾❿ ➀

➅➆➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾➁ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾➅ ➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄ ➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄ ❻❼❿ ❽ ❾➂➀

❿❿➃➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾➆➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾➇➀

➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ❻❼❿ ❽ ❾➈ ➀

➁➃➄➄ ➄➄➄ ➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ➊❼❿ ❾❿ ❾❿ ➀

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄

➄ ➃➄➄➄➄ ➄➄ ➃

➃

➃

➊❼❿ ❽ ❾❿ ❽ ❾➇➀ ➄➃➄➄➄ ➄➄➄

➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄ ➋❼❿ ❾❿ ❾❿ ➀ ➄ ➃➄➄ ➄➄➄ ➄

➄ ➃➄ ➄➄➄ ➄➄ ➃

➃

➃

➌➍

Lampiran 4

Hasil Simulasi Penjadwalan MRT dengan Nilai

Delay

MRT Ekspres Dibatasi

➎➏➐➑ ➏➒➓ ➔→➣ ➏↔➒ ➏➐➒

u

➏↕↔

w

➏➙

tu

➛ ➏➒➣➜➣ ➐➝ ➏➜➣

u

➞ ➟↕➠ ➏➛

w

➏➝ ➏↕➡➢ ➤ ➛➏➒➣➥ ➟➑➏➙➦➝ ➧➜

u

➙➟ ➨ ➣➜➣ ↕↔➏➐ ➏↕↔➏➒ ➏➠ ➏➛➟↕↔➏↕

w

➏ ➙

tu

➩ ➫➭ ➯

y

➡➢ ➤➲ ➙➜➞➒ ➟➜➐ ➟↕➠ ➏➛➣➳➐➟↕➣ ➵ ➸

1. MRT Ekonomi*

2. MRT Ekonomi*

3. MRT Ekonomi*

4. MRT Ekonomi*

5. MRT Ekonomi*

6. MRT Ekonomi*

7. MRT Ekspres*

8. MRT Ekspres*

9. MRT Ekspres*

10. MRT Ekspres*

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

LB(a)

LB(d)

FA(a)

FA(d)

CR(a)

CR(d)

HN(a)

HN(d)

BA(a)

BA(d)

BM(a)

BM(d)

SI(a)

SI(d)

Lebak Bulus

Fatmawati

Cipete Raya

Haji Nawi

Blok A

Blok M

Sisingamangaraja

W

a

k

tu

(m

e

n

it

➺➻

➼➽ ➾➚➽ ➪➶➺➹➘➽ ➴➪➽➾➪

u

➽ ➷ ➴

w

➽ ➬

tu

➮➽➪ ➘➱ ➘ ➾

u

✃ ➽➱ ➘❐❒ ➷❮➽ ➮➽ ✃➽➷

w

❰Ï Ð ➮➽➪ ➘Ñ ➘➱ ➘ ➷➴➽➾➽ ➷ ➴➽➪➽ ❮➽➬❒Ò❒➚ ➽➬ Ó

u

✃ Ô➱➮❒ ➷➴➽➷

w

➽ ➬

tu

ÕÖ× Ø

y

❰Ï ÐÙ ➬➱ ❐➪❒ ➱➾❒ ➷ ❮➽ ➮➘Ú➾❒ ➷➘

t

Û

11. MRT Ekonomi*

12. MRT Ekonomi*

13. MRT Ekonomi*

14. MRT Ekonomi*

15. MRT Ekonomi*

16. MRT Ekspres*

17. MRT Ekspres*

18. MRT Ekspres*

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

SI(a)

SI(d)

BM(a)

BM(d)

BA(a)

BA(d)

HN(a)

HN(d)

CR(a)

CR(d)

FA(a)

FA(d)

LB(a)

LB(d)

Sisingamangaraja

Blok M

Blok A

Haji Nawi

Cipete Raya

Fatmawati

Lebak Bulus

W

a

k

tu

(m

e

n

it

Ü Ý

Þ ß àáâÝã äåâß æ ä

u

ç ß èß â

w

éá èß

t

ß êëß ê èßêé á àá ìß êëéß íß êîïÞ èßì äðá àß éñ

u

â òæ éáã äæ ä êëßåß ê ëßìß ç ßèá êëßêßé

w

tu

óô õö

y

îïÞ÷éæ øìáææÝåá ê ä íùåá ê äíé á úû

üêèáéæ

î ïÞ

ýá êäæî ïÞ

ðá àßéñâ

u

æ

u

þßåß

t

ßí ä

w

ÿ ä øá íáïßß

y

ßç ä✁ß

w

ä ñâ ✂é✄ ñâ ✂éî ãäæ äê ëßåßêëßìßç ß

ð ñùßû ðñù èû þ ✄ùß û þ ✄ù èû ÿïùßû ÿ ïù èû ✁ùßû ✁ù èû ñ✄ùßû ñ✄ù èû ñ îùßû ñ îù èû ãüùß û ãüùèû

☎ îïÞ÷ é✂ê✂ å ä ✆ ☎✝ ☎✞ ✟✝ Ü☎ Ü ✟ ✠✝ ✠ ☎ ✠ ✡ ✠ ✞ ✆ ✡ ✆✞ ☛✝ ☛✆

✟ îïÞ÷ é✂ê✂ å ä ☎✝ ☎✆ ✟✠ ✟✆ Ü Ý Ü☛ ✠✆ ✠Ý ✆Ü ✆ ✠ ÝÜ Ý✠ ☛✆ ✡✝

☛ î ïÞ÷é æ øìáæ ☎✆ Ü Ý ú ú ú ú ✆✆ Ý ✟ ú ú ú ú ✡✝ ✡✆

Ü îïÞ÷ é✂ê✂ å ä ✟✝ ✠☎ ✆✝ ✆ ☎ Ý✟ ÝÜ ☛☎ ☛✟ ☛✞ ✡✝ ✡✞ ✞✝ ☎ ✝☎ ☎✝Ý

✡ î ïÞ÷é æ øìáæ ✟✆ Ý✟ ú ú ú ú ✡☎ ✡ ✡ ú ú ú ú ☎ ✝ Ý ☎☎ ☎

✞ î ïÞ÷é æ øìáæ Ü✝ Ý☛ ú ú ú ú ✡Ý ✞ Ü ú ú ú ú ☎ ☎☎ ☎☎Ý

✠ îïÞ÷ é✂ê✂ å ä Ü✆ ☛ ✟ ✡☎ ✡ ✟ ✞Ü ✞✠ ☎✝✟ ☎✝ Ü ☎☎ ✝ ☎☎ ☎ ☎ ✟✝ ☎ ✟☎ ☎ Ü ✟ ☎Ü ☛

✆ îïÞ÷ é✂ê✂ å ä ✠✝ ☛☛ ✡Ý ✡☛ ✞ ✡ ✞✞ ☎✝ ☛ ☎✝✡ ☎☎ ✆ ☎☎Ý ☎ ✟✆ ☎ ✟ Ý ☎ Ü☛ ☎✠✟

☎✝ î ïÞ÷é æ øìáæ ✠✆ ✞ ✡ ú ú ú ú ☎☎ ☛ ☎ ✟✠ ú ú ú ú ☎ ✠ ✟ ☎✠ ☛

Ý îïÞ÷ é✂ê✂ å ä ✆✝ ☎ ✝Ü ☎ ☎ ✟ ☎☎ Ü ☎ ✟✠ ☎✟✆ ☎Ü Ü ☎Ü ✠ ☎✠ ☎ ☎✠✟ ☎✆ ☎ ☎✆✟ ☎ÝÜ ☎ Ý ✡

☞á íáìß ê ëß ê✌

- = Tidak berhenti, (a) =

✍✎ ✏ö

rr

õ

(Kedatangan), (d) =

✑ô✒öô

rtu

r

(Keberangkatan).

3

✓ ✔

✕ ✖✗ ✘✙✔✚✛ ✜✙✖ ✢✛

u

✣ ✖✤✖✙

w

✥ ✘✤✖ ✦✖ ✧ ★✖ ✧✤ ✖✧✥✘✗ ✘✩✖✧ ★ ✥✖✦ ✖✧ ✪ ✫✕✤✖✩✛✚✛ ✢✛✧★✖✜✖ ✧ ★✖ ✩✖✣ ✖✥✘✬ ✘✗ ✖ ✥✭✙ ✮✢

u

✤ ✘✧★✖✧✯✖ ✥

tu

✰✱ ✲✳

y

✪ ✫✕✴ ✥✢ ✵✩ ✘✢✢✶✜✘✧✛ ✦✷✜ ✘✧ ✛✦✥ ✘✸✹

✺✧ ✤ ✘✥✢

✪ ✫✕

✻✘✧ ✛✢✪ ✫✕

✚✛ ✢✛ ✧ ★✖ ✜✖✧★✖✩✖ ✣ ✖ ✭✙ ✼ ✥✪ ✭✙ ✼ ✥✽ ✾✖ ✣ ✛✿✖✛

w

❀✛ ✵ ✘✦ ✘✫✖✖

y

❁✖

t

✜✖✖✦ ✛

w

✬ ✘✗ ✖ ✥✭✙

u

u

✢

✚✺✷✖ ✹ ✚✺✷✤✹ ✭✪ ✷✖ ✹ ✭✪ ✷✤ ✹ ✭✽✷✖ ✹ ✭✽✷✤ ✹ ✾✿✷✖ ✹ ✾✿✷✤✹ ❀ ✫✷✖ ✹ ❀ ✫✷✤✹ ❁ ✽✷✖✹ ❁ ✽✷✤ ✹ ✬ ✭✷✖ ✹ ✬ ✭✷✤ ✹

❂❂ ✪ ✫✕✴ ✥✼✧ ✼✜✛ ❃ ❂ ❄ ❅❂ ❅❅ ✓❂ ✓ ❅ ✓❆ ❇ ❄ ❇❈ ❇❆ ✶❄ ✶❂ ✔❄ ✔❃

❂✶ ✪ ✫✕✴ ✥✢ ✵✩ ✘✢ ❂ ❄ ✓❂ ✸ ✸ ✸ ✸ ❇❆ ❃✶ ✸ ✸ ✸ ✸ ✔❃ ❈ ❄

❂❅ ✪ ✫✕✴ ✥✼✧ ✼✜✛ ❂❃ ✓✶ ❇✔ ❇❈ ❃ ✔ ❃ ❈ ✶❃ ✶ ✶ ✔❇ ✔❃ ❈✶ ❈ ✔ ❆✶ ❂❄❂

❂✓ ✪ ✫✕✴ ✥✼✧ ✼✜✛ ❅ ❄ ❇❂ ❃❅ ❃✓ ✶❅ ✶✓ ✔❄ ✔❂ ✔❆ ❈ ❄ ❆❂ ❆❅ ❂ ❄❂ ❂❄✶

❂ ✔ ✪ ✫✕✴ ✥✢ ✵✩ ✘✢ ❅❃ ✶❅ ✸ ✸ ✸ ✸ ❈ ❄ ❈✔ ✸ ✸ ✸ ✸ ❂ ❄✶ ❂ ❂❂

❂ ❇ ✪ ✫✕✴ ✥✼✧ ✼✜✛ ✓ ❄ ✶✔ ✔❈ ✔❆ ❈❈ ❈ ❆ ❆✶ ❆✔ ❂❄❃ ❂ ❄✶ ❂ ❂ ✔ ❂ ❂❈ ❂❅✔ ❂ ✓❅

❂❈ ✪ ✫✕✴ ✥✢ ✵✩ ✘✢ ✓❃ ❈❈ ✸ ✸ ✸ ✸ ❂❄✶ ❂❂ ✓ ✸ ✸ ✸ ✸ ❂✓ ❅ ❂ ✓ ✔

❂❃ ✪ ✫✕✴ ✥✼✧ ✼✜✛ ❇❄ ❆✓ ❂❄❇ ❂❄❃ ❂❂❇ ❂❂ ❃ ❂ ❅❅ ❂❅ ✓ ❂ ✓❂ ❂✓❅ ❂❇✓ ❂❇❇ ❂❃ ✓ ❂ ❃❈

❉ ✘✦ ✘✩✖✧★✖✧❊

- = Tidak berhenti, (a) =

❋

rr

● ❍✳✲

(Kedatangan), (d) =

■✱ ❏✳

rtu

r

✱

(Keberangkatan).

3