Masalah Penjadwalan Job-Shop Masalah Penjadwalan Kereta Api Jalur Ganda Menggunakan Model Job-Shop

❫ ❴❵ ❛ ❜ ❝❞❡ ❢ ❞❣❜ ❤ u ✐❵ ❣ ❴ ✐ ❡ ❥❝ ❫ ❞ ❢ ❞ ❡ ❞❦ z = 81.11, x 1 = 4.44, dan x 2 = 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai x 1 pada subproblem 5 belum berupa integer, sehingga dilakukan kembali pencabangan menjadi subproblem 6 dan 7. Subproblem 6 merupakan subproblem 5 dengan kendala tambahan x 1 5 dan kendala tambahan x 1 4 untuk subproblem 7. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan, yakni 3, 6, dan 7. Berdasarkan aturan LIFO subproblem yang harus diselesaikan terlebih dahulu adalah subproblem 6 dan 7. Misalkan dipilih subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem 7 adalah z = 74, x 1 = 4, dan x 2 = 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai variabel x 1 dan x 2 dari subproblem 7 sudah berupa integer, sehingga solusi tersebut merupakan solusi yang fisibel dan merupakan kandidat solusi optimal ILP 8. Kemudian nilai z = 74 dijadikan sebagai batas bawah. Solusi dari subproblem 6 adalah z = 80, x 1 = 5, dan x 2 = 0 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Setiap variabel keputusan dari subproblem 6 juga sudah berupa integer, sehingga turut menjadi salah satu kandidat solusi optimal dari ILP 8. Nilai z pada subproblem 6 lebih besar dari nilai z pada subproblem 7, sehingga batas bawah diganti menjadi z = 80. Subproblem 3 merupakan satu-satunya masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari subproblem 3 adalah z = 78 dan x 1 = x 2 = 3 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Walaupun setiap variabel dari subproblem 3 sudah berupa integer, nilai z-nya kurang dari batas bawah yakni z = 80. Oleh karena itu, subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal ILP 8, dengan nilai z = 80, x 1 = 5, dan x 2 = 0. Bagan dari penyelesaian ILP 8 dengan algoritme branch and bound ditunjukkan pada Gambar 1.

2.4 Masalah Penjadwalan Job-Shop

Masalah penjadwalan job-shop akan dijelaskan dengan terlebih dahulu memahami definisi masalah penjadwalan berikut ini. Masalah Penjadwalan Terdapat tiga istilah yang digunakan dalam pembahasan masalah penjadwalan. Ketiga istilah tersebut adalah pekerjaan job, prosesor processor, dan operasi operation. Pekerjaan merupakan sekumpulan aktivitas yang harus diproses, misalnya pembuatan suatu barang pada pabrik manufaktur atau operasi bedah yang akan dilakukan di suatu rumah sakit. Prosesor adalah sumber daya yang digunakan untuk memproses pekerjaan, misalnya dapat berupa mesin atau alat-alat kedokteran. Prosesor juga disebut sebagai sumber daya resource atau mesin machine. Operasi merupakan aktivitas pemrosesan dari suatu pekerjaan. Berdasarkan ketiga istilah tersebut, masalah penjadwalan dapat diartikan sebagai proses pengalokasian sumber daya untuk suatu operasi pada periode waktu tertentu. Pham 2008 Keterangan: BB = Batas Bawah; = Fathomed; t = Iterasi Gambar 1 Bagan dari penyelesaian ILP 8 dengan algoritme branch and bound. Apabila terdapat dua atau lebih pekerjaan menggunakan prosesor yang sama pada saat yang sama pula, maka suatu jadwal belum t = 1 t = 2 t = 3 × × × t = 4 t = 5 t = 6 t = 7 × Subproblem 3 z = 78 x 1 = 3 x 2 = 3 Subproblem 1 z = 82.5 x 1 = 3.75 x 2 = 2.25 Subproblem 2 z = 82 x 1 = 4 x 2 = 1.8 Subproblem 5 z = 81.11 x 1 = 4.44 x 2 = 1 Subproblem 4 solusi takfisibel x 1 4 x 1 3 x 2 2 x 2 1 x 1 4 x 1 5 Subproblem 6 z = 80 x 1 = 5 x 2 = 0 BB 2 = 80 Subproblem 7 z = 74 x 1 = 4 x 2 = 1 BB 1 = 74 × ❧ ♠♥ ♦♣q u t ♦ ♣q rsr♥ t r ♠ w r ✉ y r✈s ✇ ♥ ♦ ♥ q♣ ✉ ① ②③✈ ♠ ♥ ♦ ♥ ④ ♣ ⑤♦ ♣q u t ⑥r ♠r ⑦r ⑤ y r ♥ ✉ ⑧ ♥ r ⑨ ♥ ✈♥ ♠ ♥ ♦ ♣q u t ♦ ♣q rsr ♥ ⑩❶❷ ❸ ❹ ❺ ⑩① ❻ ♣ ⑥ ⑤ ♣ ♦ ♣ ✈ ④ r ♦ ♥ ♠r ⑤ ♥ ⑥♣✈ t r ♠ w r ✉ r ✈ ♠r ✉ r⑧ ♦ u r tu ♥ ✈ ♠ u ♦ ④ ⑤ ♥ q♥ r ♦ r ✈ y r ♠♥ ④ r ⑧⑥ ♥ ✉ ⑦r ✈ ♠♣✈s r✈ ⑧♣✈ ss u ✈r ⑦r✈ ♠♥ r s ⑤ r⑧ ❼❽❷ tt ❾❿⑨r ⑧ ➀➁➁ ➂➃ ① ➄ ♥ rs ⑤ r ⑧ ④ ♣ ⑤♦ ♣q u t ⑧♣ ⑧⑥♣ ⑤✉ ♥ ⑨r t ⑦r✈ ⑥ ♣⑧ ⑤③ ♦ ♣ ♦ r✈ ♦ ♣ ④ ♥ r⑥ ⑥♣⑦ ♣ ⑤t rr✈ ⑥ r ♠r ♦ u ⑧q ♣ ⑤ ♠ r y r y r ✈s ④ ♣ ⑤♦ ♣ ♠♥ r ♠ r ✉ r⑧ q♣ ✈ tu ⑦ q r ✉ ③ ⑦ ➅ q r ✉ ③⑦ ♦ ♣⑥ r✈ t r ✈s w r⑦ tu ④ ♣ ⑤④ ♣✈ tu ① ➆ r ✉ r ⑨ ♦ r tu ➇ ③✈ ④ ③ ⑨ ♠ ♥ rs ⑤ r⑧ ❼❽ ❷ tt ♠♥ ④ ➈ ✈ t u ⑦ ⑦ r✈ ⑥r ♠r ➉ r ⑧ q r ⑤ ➀r ① ➊ r ♦ r ✉ r ⑨ ⑥ ♣✈ t r ♠ w r ✉ r✈ ➋ ❶ ➌ ➍ s ➎ ❶ ➏ ⑧♣ ⑤ u ⑥r ➅ ⑦ r✈ ⑧r ♦ r ✉ r ⑨ ⑥ ♣✈s r ✉ ③ ⑦r ♦ ♥ r ✈ ♦ u ⑧ q ♣ ⑤ ♠ r y r u ✈ tu ⑦ ♦ ♣ ④ ♥ r⑥ ③⑥♣ ⑤ r ♦ ♥ y r✈ s ♠♥ ⑥ ⑤③♦ ♣ ♦ ♦ ♣ ♦ u r♥ ♠♣✈sr ✈ u ⑤ u ④ r ✈ y r✈s ♠♥ ④ ♣ ✈ tu ⑦ r✈ ① ➐ r ✉ ♥ ✈♥ ♠r⑥r t ♠♥ r ⑤④ ♥ ⑦r ✈ q r⑨ w r u ⑤ u ④ r✈ ③ ⑥ ♣ ⑤ r ♦ ♥ ♠r ⑤ ♥ ♦ u r tu ⑥ ♣⑦♣ ⑤t r r✈ ♠r⑥ r t q♣ ⑤ q ♣ ♠r ♠ ♣✈ sr✈ ⑥♣ ⑦♣ ⑤t rr ✈ y r✈ s ✉ r♥ ✈ ✈ y r ➑ ✈r ⑧ u ✈ ③⑥ ♣ ⑤ r ♦ ♥ ➅ ③ ⑥ ♣ ⑤ r ♦ ♥ ④ ♣ ⑤♦ ♣q u t ♠♥ ⑥ ⑤③♦ ♣ ♦ q ♣ ⑤♠ r ♦ r ⑤ ⑦r✈ t r ♠ w r ✉ ⑥ ♣✈s s u ✈r r✈ ⑧♣ ♦ ♥ ✈ y r ✈s ♠♥ ④ ♣✈ tu ⑦r ✈ ① ➒ ⑥ rq♥ ✉ r ♠♥ ✉ r⑧q r✈s ⑦r ✈ ♦ ♣ ➇ r ⑤ r ⑧r ④ ♣ ⑧ r ④ ♥ ♦ ➑ ⑥r ♠r u ⑧ u ⑧✈ y r ⑧r ♦ r ✉ r⑨ ⑥ ♣✈ t r ♠ w r ✉ r ✈ ➋ ❶ ➌ ➍ s ➎ ❶ ➏ ⑧♣⑧♥ ✉ ♥ ⑦♥ ⑦r ⑤ r ⑦ ④ ♣ ⑤ ♥ ♦④ ♥ ⑦ ♦ ♣q rsr ♥ q♣ ⑤ ♥ ⑦ u ④ ➓  ④ ♣ ⑤♠ r⑥ r t ♦ ♣⑦ u ⑧⑥ u ✉ r✈ ❷ ⑥ ♣⑦♣ ⑤t rr ✈ ➔ = {J 1 , J 2 , J 3 , ..., J n },  terdapat sekumpulan m sumber daya M={M 1 , M 2 , M 3 , ..., M m },  setiap pekerjaan memiliki sekumpulan operasi I; pekerjaan ke-i J i memiliki urutan operasi o i1 , o i2 , o i3 , ..., o ik , dengan k merupakan banyaknya operasi yang dilakukan untuk pekerjaan i,  setiap sumber daya dapat beroperasi maksimum satu operasi dalam selang waktu tertentu,  setiap operasi dari suatu pekerjaan di sebuah sumber daya membutuhkan sejumlah waktu minimum; waktu minimum pekerjaan ke-i beroperasi di sumber daya ke-j dilambangkan dengan p ij , untuk 1 i n   dan 1 . j m   Shukla 2010 Tujuan dari penyelesaian masalah penjadwalan job-shop adalah menentukan jadwal suatu pekerjaan yang fisibel dengan mempertimbangkan urutan pemrosesan dan kapasitas dari setiap sumber daya. Salah satu kriteria optimasi pada masalah penjadwalan job-shop adalah meminimumkan waktu maksimum pemrosesan dari setiap pekerjaan makespan yang dilambangkan dengan C maks Liu dan Kozan 2009. Masalah penjadwalan job-shop dengan meminimumkan C maks diilustrasikan pada Contoh 3. Contoh 3 Misalkan diberikan himpunan pekerjaan J={1, 2, 3} dan himpunan mesin M = {1, 2, 3}. Setiap pekerjaan ke-i J i memiliki tiga operasi yang harus diproses secara berurutan, yakni o i1 , o i2 , o i3 . Penugasan mesin dan waktu pemrosesan untuk setiap operasi diberikan pada Tabel 1. Tabel 1 Waktu pemrosesan setiap operasi menit dari Contoh 3 Mesin Operasi o 11 o 12 o 13 o 21 o 22 o 23 o 31 o 32 o 33 1 10 20 30 2 20 10 20 3 30 30 10 Diagram Gantt dari contoh kasus tersebut ditunjukkan pada Gambar 2, dengan makespan pekerjaan J 1 , J 2 , dan J 3 masing- masing sebesar 90, 60, dan 60 satuan waktu. Total nilai C maks adalah sebesar 210 satuan waktu. Urutan penggunaan mesin pada Gambar 2 dapat diubah, sehingga menghasilkan diagram lain yang total nilai C maks -nya dapat dibandingkan dengan C maks sebelumnya. Misalkan pada Mesin 2, Pekerjaan 1 diproses lebih dulu daripada Pekerjaan 3, sehingga menghasilkan diagram seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. Keterangan: Gambar 2 Diagram Gantt dari Contoh 3 Kombinasi 1. Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 30 60 80 0 10 20 40 50 70 90 Waktu Pekerjaan 1 Pekerjaan 2 Pekerjaan 3 → ➣↔↕➙ ↔➛ ➜ ➝➞ ↔➟ ➛↔ ↕ ➠➡➢ tt ➤ ↔➛➞ ➥ ➦➧ ➨ ➦➩ ➜ ➫ ➦↕➙ ➞ ➧ ↔ ➭ ➞ ➯➲ ➳➵➸ ↔➞ ➧ ➞ ➨ u ➺ ➤ ↔➛➞ ➻➵ ➛ u ➙ ↔ ➩↔ ➧ ➨ ➵ ➛ ➭ ➵ ➙ u t ➤ ↔➻ ↔ t ➤ ➞ ➩ ↔ ➭ ➞ ➸ ➼ ↔ ➧ ➤ ➞ ↔➟➛↔↕ ➙ ↔➛ u ➺ y ↔➼➧ ➞ ➤➵➧ ➟↔➧ ↕➵➧ ➟ u ➙ ↔➩ u ➛ u ➨ ↔ ➧ ➻ ➵➧ ➟➟ u ➧ ↔↔ ➧ ➽ ➵ ➭ ➞ ➧ ➜ ➲ ➾ ➵➼➵ ➛ ➚ ↔↔ ➧ ➪ ➻↔➤ ↔ ➽ ➵ ➭ ➞ ➧ ➜ ➤ ↔➻↔ t ➤ ➞ ➻ ➛➦ ➭ ➵ ➭ ➸ ➵ ➙ ➞ ➩ ➤ u ➸ ➶ ➤ ↔➛➞ ➾ ➵➼ ➵ ➛ ➚ ↔↔ ➧ ➯ ➺ ➭ ➵ ➩ ➞ ➧ ➟ ➟↔ ↕➵➧ ➟ ➩↔ ➭ ➞ ➸ ➼ ↔➧ ➤ ➞ ↔ ➟➛↔ ↕ ➻ ↔ ➤ ↔ ➣↔↕ ➙↔➛ ➹➲ ➘ ➦➨ ↔ ➸ ➧ ➞ ➸ ↔➞ ➴ ➷ ➬ ➮➱ ➤ ↔➛➞ ➣↔↕➙ ↔➛ ➜ ➤ ↔ ➧ ➹ ↕↔ ➭ ➞ ➧ ➟ ✃ ↕ ↔ ➭ ➞ ➧ ➟ ↔➤ ↔ ➸ ↔ ➩ ➯ ➜ ❐ ➭ ↔ tu ↔➧ w ↔ ➼ tu ➲ ❒ ➞ ➸ ↔➞ ➨ ➵ ➛ ➭ ➵ ➙ u t ➸ ➵ ➙➞ ➩ ➙ ➵ ➭ ↔➛ ➤ ↔➛➞ ➨ ➦➨ ↔ ➸ ➧ ➞ ➸ ↔ ➞ ➴ ➷ ➬ ➮➱ ➭ ➵ ➙ ➵ ➸ ➶ ↕➧ y ↔➺ ➭ ➵ ➩➞ ➧ ➟ ➟↔ u ➧ tu ➼ ➼ ↔ ➭ u ➭ ↕➵↕ ➞ ➧ ➞ ↕ u ↕➼ ↔ ➧ ➤ ➞ ➻ ➞ ➸ ➞ ➩ ➴ ➷ ➬ ➮➱ y ↔➧ ➟ ➨ ➵ ➛ ➼ ➵ ❮ ➞ ➸ ❰ ➤ ↔ ➸ ↔↕ ➼ ↔ ➭ u ➭ ➞ ➧ ➞ ➯ ➪ ❐ ➭ ↔ tu ↔➧ w ↔➼ tu Ï ➲ ➣↔↕➙ ↔➛ ➹ ➝➞ ↔➟ ➛↔ ↕ ➠➡➢ tt ➤ ↔➛➞ ➥ ➦➧ ➨ ➦➩ ➜ ➫ ➦↕➙ ➞ ➧ ↔ ➭ ➞ ➜ ➲

2.5 Aturan Umum Perjalanan Kereta Api Jalur Tunggal dan Ganda