❫
❴❵ ❛ ❜ ❝❞❡
❢ ❞❣❜ ❤
u
✐❵ ❣ ❴ ✐ ❡ ❥❝
❫ ❞
❢ ❞
❡ ❞❦
z = 81.11, x
1
= 4.44, dan x
2
= 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai x
1
pada subproblem 5 belum berupa integer, sehingga dilakukan
kembali pencabangan menjadi subproblem 6 dan 7.
Subproblem 6 merupakan subproblem 5 dengan kendala tambahan x
1
5 dan kendala tambahan x
1
4 untuk subproblem 7. Terdapat tiga
subproblem yang belum
diselesaikan, yakni 3, 6, dan 7. Berdasarkan aturan
LIFO subproblem
yang harus
diselesaikan terlebih
dahulu adalah
subproblem 6 dan 7. Misalkan dipilih
subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem 7 adalah z = 74, x
1
= 4, dan x
2
= 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1.
Nilai variabel x
1
dan x
2
dari subproblem 7 sudah berupa integer, sehingga solusi tersebut
merupakan solusi yang fisibel dan merupakan kandidat solusi optimal ILP 8. Kemudian
nilai z = 74 dijadikan sebagai batas bawah. Solusi dari subproblem 6 adalah z = 80, x
1
= 5, dan x
2
= 0 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Setiap variabel keputusan dari subproblem 6
juga sudah berupa integer, sehingga turut menjadi salah satu kandidat solusi optimal
dari ILP 8. Nilai z pada subproblem 6 lebih besar dari nilai z pada subproblem 7, sehingga
batas bawah diganti menjadi z = 80.
Subproblem 3 merupakan satu-satunya masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari
subproblem 3 adalah z = 78 dan x
1
= x
2
= 3 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Walaupun
setiap variabel dari subproblem 3 sudah berupa integer, nilai z-nya kurang dari batas
bawah yakni z = 80. Oleh karena itu, subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal
ILP 8, dengan nilai z = 80, x
1
= 5, dan x
2
= 0. Bagan dari penyelesaian ILP 8 dengan
algoritme branch and bound ditunjukkan pada Gambar 1.
2.4 Masalah Penjadwalan Job-Shop
Masalah penjadwalan job-shop
akan dijelaskan dengan terlebih dahulu memahami
definisi masalah penjadwalan berikut ini.
Masalah Penjadwalan
Terdapat tiga istilah yang digunakan dalam pembahasan masalah penjadwalan.
Ketiga istilah tersebut adalah pekerjaan job, prosesor processor, dan operasi operation.
Pekerjaan merupakan sekumpulan aktivitas yang harus diproses, misalnya pembuatan
suatu barang pada pabrik manufaktur atau operasi bedah yang akan dilakukan di suatu
rumah sakit. Prosesor adalah sumber daya yang digunakan untuk memproses pekerjaan,
misalnya dapat berupa mesin atau alat-alat kedokteran. Prosesor juga disebut sebagai
sumber daya resource atau mesin machine. Operasi merupakan aktivitas pemrosesan dari
suatu pekerjaan. Berdasarkan ketiga istilah tersebut, masalah penjadwalan dapat diartikan
sebagai proses pengalokasian sumber daya untuk suatu operasi pada periode waktu
tertentu.
Pham 2008
Keterangan: BB = Batas Bawah; =
Fathomed; t = Iterasi Gambar 1 Bagan dari penyelesaian ILP 8
dengan algoritme branch and
bound. Apabila terdapat dua atau lebih pekerjaan
menggunakan prosesor yang sama pada saat yang sama pula, maka suatu jadwal belum
t = 1
t = 2
t = 3
× ×
×
t = 4
t = 5 t = 6
t = 7
×
Subproblem 3 z = 78
x
1
= 3 x
2
= 3 Subproblem 1
z = 82.5 x
1
= 3.75 x
2
= 2.25
Subproblem 2 z = 82
x
1
= 4 x
2
= 1.8
Subproblem 5 z = 81.11
x
1
= 4.44 x
2
= 1 Subproblem 4
solusi takfisibel
x
1
4 x
1
3
x
2
2 x
2
1
x
1
4 x
1
5 Subproblem 6
z = 80 x
1
= 5 x
2
= 0 BB 2 = 80
Subproblem 7 z = 74
x
1
= 4 x
2
= 1 BB 1 = 74
×
❧
♠♥ ♦♣q
u t
♦ ♣q rsr♥
t r
♠
w
r ✉
y
r✈s ✇
♥ ♦ ♥ q♣
✉ ①
②③✈ ♠ ♥ ♦
♥ ④
♣ ⑤♦ ♣q
u t
⑥r ♠r ⑦r ⑤
y
r ♥ ✉
⑧ ♥ r ⑨
♥ ✈♥ ♠
♥ ♦ ♣q
u t
♦ ♣q rsr ♥
⑩❶❷ ❸ ❹ ❺ ⑩①
❻ ♣ ⑥ ⑤
♣ ♦ ♣ ✈ ④
r ♦ ♥
♠r ⑤ ♥
⑥♣✈ t
r ♠
w
r ✉
r ✈ ♠r ✉
r⑧ ♦
u
r
tu
♥ ✈ ♠
u
♦ ④ ⑤
♥ q♥ r ♦
r ✈
y
r ♠♥ ④
r ⑧⑥ ♥ ✉ ⑦r ✈
♠♣✈s r✈ ⑧♣✈ ss
u
✈r ⑦r✈ ♠♥
r s ⑤ r⑧
❼❽❷
tt
❾❿⑨r ⑧ ➀➁➁ ➂➃ ①
➄ ♥ rs ⑤
r ⑧ ④
♣ ⑤♦
♣q
u t
⑧♣ ⑧⑥♣ ⑤✉ ♥ ⑨r
t
⑦r✈ ⑥ ♣⑧ ⑤③ ♦
♣ ♦ r✈
♦ ♣ ④
♥ r⑥ ⑥♣⑦ ♣ ⑤t
rr✈ ⑥ r ♠r
♦
u
⑧q ♣ ⑤ ♠
r
y
r
y
r ✈s ④
♣ ⑤♦ ♣ ♠♥ r
♠ r ✉
r⑧ q♣ ✈
tu
⑦ q r ✉ ③
⑦ ➅
q r ✉ ③⑦
♦ ♣⑥ r✈ t
r ✈s
w
r⑦
tu
④ ♣ ⑤④
♣✈
tu
① ➆
r ✉ r ⑨
♦ r
tu
➇ ③✈ ④ ③
⑨ ♠
♥ rs ⑤
r⑧ ❼❽ ❷
tt
♠♥ ④ ➈
✈ t
u
⑦ ⑦ r✈
⑥r ♠r ➉
r ⑧ q r ⑤
➀r ① ➊
r ♦ r
✉ r ⑨
⑥ ♣✈ t r ♠
w
r ✉ r✈
➋ ❶
➌ ➍
s
➎ ❶
➏ ⑧♣ ⑤
u
⑥r ➅
⑦ r✈ ⑧r ♦
r ✉
r ⑨ ⑥ ♣✈s r ✉ ③
⑦r ♦
♥ r ✈
♦
u
⑧ q ♣ ⑤
♠ r
y
r
u
✈
tu
⑦ ♦
♣ ④ ♥ r⑥
③⑥♣ ⑤ r
♦ ♥
y
r✈ s ♠♥
⑥ ⑤③♦
♣ ♦
♦ ♣ ♦
u
r♥ ♠♣✈sr ✈
u
⑤
u
④ r ✈
y
r✈s ♠♥ ④
♣ ✈
tu
⑦ r✈ ① ➐
r ✉ ♥ ✈♥
♠r⑥r
t
♠♥ r
⑤④ ♥ ⑦r ✈
q r⑨
w
r
u
⑤
u
④ r✈
③ ⑥ ♣ ⑤
r ♦ ♥
♠r ⑤ ♥
♦
u
r
tu
⑥ ♣⑦♣ ⑤t r r✈
♠r⑥ r
t
q♣ ⑤ q ♣ ♠r
♠ ♣✈ sr✈
⑥♣ ⑦♣ ⑤t
rr ✈
y
r✈ s ✉
r♥ ✈ ✈
y
r ➑
✈r ⑧
u
✈ ③⑥
♣ ⑤ r ♦
♥ ➅
③ ⑥ ♣ ⑤
r ♦ ♥
④ ♣ ⑤♦
♣q
u t
♠♥ ⑥
⑤③♦ ♣
♦ q ♣ ⑤♠
r ♦ r
⑤ ⑦r✈
t r ♠
w
r ✉ ⑥ ♣✈s s
u
✈r r✈ ⑧♣ ♦
♥ ✈
y
r ✈s ♠♥ ④
♣✈
tu
⑦r ✈ ①
➒ ⑥ rq♥ ✉
r ♠♥ ✉
r⑧q r✈s ⑦r ✈ ♦
♣ ➇
r ⑤ r
⑧r ④ ♣ ⑧
r ④
♥ ♦ ➑
⑥r ♠r
u
⑧
u
⑧✈
y
r ⑧r
♦ r ✉
r⑨ ⑥ ♣✈ t
r ♠
w
r ✉
r ✈ ➋
❶ ➌
➍
s
➎ ❶
➏ ⑧♣⑧♥ ✉
♥ ⑦♥ ⑦r ⑤
r ⑦ ④ ♣ ⑤
♥ ♦④ ♥
⑦ ♦
♣q rsr ♥ q♣ ⑤
♥ ⑦
u
④ ➓
④ ♣
⑤♠ r⑥ r
t
♦ ♣⑦
u
⑧⑥
u
✉ r✈
❷ ⑥ ♣⑦♣ ⑤t
rr ✈ ➔
= {J
1
, J
2
, J
3
, ..., J
n
}, terdapat sekumpulan m sumber daya
M={M
1
, M
2
, M
3
, ..., M
m
}, setiap pekerjaan memiliki sekumpulan
operasi I; pekerjaan ke-i J
i
memiliki urutan operasi o
i1
, o
i2
, o
i3
, ..., o
ik
, dengan k merupakan banyaknya operasi yang
dilakukan untuk pekerjaan i, setiap sumber daya dapat beroperasi
maksimum satu operasi dalam selang waktu tertentu,
setiap operasi dari suatu pekerjaan di sebuah
sumber daya
membutuhkan sejumlah
waktu minimum;
waktu minimum pekerjaan ke-i beroperasi di
sumber daya ke-j dilambangkan dengan
p
ij
, untuk
1 i n
dan
1 .
j m
Shukla 2010 Tujuan
dari penyelesaian
masalah penjadwalan job-shop adalah menentukan
jadwal suatu pekerjaan yang fisibel dengan mempertimbangkan urutan pemrosesan dan
kapasitas dari setiap sumber daya. Salah satu kriteria optimasi pada masalah penjadwalan
job-shop
adalah meminimumkan
waktu maksimum pemrosesan dari setiap pekerjaan
makespan yang dilambangkan dengan C
maks
Liu dan Kozan 2009. Masalah penjadwalan job-shop
dengan meminimumkan
C
maks
diilustrasikan pada Contoh 3.
Contoh 3
Misalkan diberikan himpunan pekerjaan J={1, 2, 3} dan himpunan mesin M = {1, 2,
3}. Setiap pekerjaan ke-i J
i
memiliki tiga operasi yang harus diproses secara berurutan,
yakni o
i1
, o
i2
, o
i3
. Penugasan mesin dan waktu pemrosesan untuk setiap
operasi diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Waktu pemrosesan setiap operasi menit dari Contoh 3
Mesin Operasi
o
11
o
12
o
13
o
21
o
22
o
23
o
31
o
32
o
33
1 10
20 30
2 20
10 20
3 30
30 10
Diagram Gantt dari contoh kasus tersebut ditunjukkan
pada Gambar
2, dengan
makespan pekerjaan J
1
, J
2
, dan J
3
masing- masing sebesar 90, 60, dan 60 satuan waktu.
Total nilai C
maks
adalah sebesar 210 satuan waktu.
Urutan penggunaan mesin pada Gambar
2 dapat
diubah, sehingga
menghasilkan diagram lain yang total nilai C
maks
-nya dapat dibandingkan dengan C
maks
sebelumnya. Misalkan
pada Mesin
2, Pekerjaan 1 diproses lebih dulu daripada
Pekerjaan 3, sehingga menghasilkan diagram seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.
Keterangan:
Gambar 2 Diagram Gantt dari Contoh 3 Kombinasi 1.
Mesin 1 Mesin 2
Mesin 3
30 60
80 0 10 20
40 50 70
90 Waktu
Pekerjaan 1 Pekerjaan 2
Pekerjaan 3
→
➣↔↕➙ ↔➛ ➜
➝➞ ↔➟ ➛↔ ↕
➠➡➢
tt
➤ ↔➛➞
➥ ➦➧ ➨ ➦➩ ➜
➫ ➦↕➙ ➞
➧ ↔ ➭
➞ ➯➲
➳➵➸ ↔➞ ➧
➞ ➨
u
➺ ➤
↔➛➞ ➻➵ ➛
u
➙ ↔ ➩↔
➧ ➨
➵ ➛ ➭
➵ ➙
u t
➤ ↔➻ ↔
t
➤ ➞
➩ ↔ ➭
➞ ➸ ➼ ↔
➧ ➤ ➞ ↔➟➛↔↕
➙ ↔➛
u
➺
y
↔➼➧ ➞ ➤➵➧
➟↔➧ ↕➵➧
➟
u
➙ ↔➩
u
➛
u
➨ ↔ ➧
➻ ➵➧
➟➟
u
➧ ↔↔ ➧
➽ ➵
➭ ➞
➧ ➜
➲ ➾
➵➼➵ ➛
➚ ↔↔
➧ ➪
➻↔➤ ↔ ➽
➵ ➭
➞ ➧
➜ ➤
↔➻↔
t
➤ ➞
➻ ➛➦ ➭
➵ ➭
➸ ➵ ➙ ➞ ➩
➤
u
➸ ➶
➤ ↔➛➞
➾ ➵➼ ➵ ➛
➚ ↔↔
➧ ➯
➺ ➭
➵ ➩ ➞ ➧ ➟ ➟↔
↕➵➧ ➟ ➩↔ ➭
➞ ➸ ➼ ↔➧
➤ ➞
↔ ➟➛↔ ↕
➻ ↔ ➤
↔ ➣↔↕ ➙↔➛
➹➲ ➘
➦➨ ↔ ➸
➧ ➞ ➸ ↔➞
➴ ➷ ➬
➮➱ ➤ ↔➛➞
➣↔↕➙ ↔➛ ➜
➤ ↔
➧ ➹
↕↔ ➭
➞ ➧ ➟
✃ ↕ ↔
➭ ➞
➧ ➟ ↔➤ ↔
➸ ↔ ➩ ➯
➜ ❐
➭ ↔
tu
↔➧
w
↔ ➼
tu
➲ ❒
➞ ➸ ↔➞
➨ ➵ ➛
➭ ➵ ➙
u t
➸ ➵ ➙➞ ➩ ➙
➵ ➭
↔➛ ➤ ↔➛➞
➨ ➦➨ ↔ ➸
➧ ➞ ➸ ↔ ➞
➴ ➷ ➬
➮➱ ➭
➵ ➙ ➵ ➸
➶ ↕➧
y
↔➺ ➭
➵ ➩➞ ➧ ➟ ➟↔
u
➧
tu
➼ ➼
↔ ➭
u
➭ ↕➵↕ ➞
➧ ➞ ↕
u
↕➼ ↔ ➧
➤ ➞
➻ ➞ ➸ ➞ ➩
➴ ➷ ➬
➮➱
y
↔➧ ➟ ➨
➵ ➛ ➼ ➵
❮ ➞
➸ ❰
➤ ↔ ➸ ↔↕
➼ ↔ ➭
u
➭ ➞
➧ ➞ ➯
➪ ❐ ➭
↔
tu
↔➧
w
↔➼
tu
Ï ➲
➣↔↕➙ ↔➛ ➹
➝➞ ↔➟ ➛↔ ↕
➠➡➢
tt
➤ ↔➛➞
➥ ➦➧ ➨ ➦➩ ➜
➫ ➦↕➙ ➞
➧ ↔ ➭
➞ ➜
➲
2.5 Aturan Umum Perjalanan Kereta Api Jalur Tunggal dan Ganda