Algoritme Branch and Bound

ÿ ✁✂✄ ☎ ✆ ✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠ u t ✡ ✄ ☛✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍✎ A = − 1 2 1 − 2 1 2 1 1 ✏ b = 10 2 3 ✑ ✒ ✄ ✟ ✁ ✌ ✓ ✁✔ ✡ ✄ ☛ ✄ ✌ ✄ ✍✎ = ✡ ✁✔ = ✏ ✕ ✁ ✓ ✁ ✕ ✁✝ ✂✄ ✓ ✟ ✠✁✟ ✄ ✟ ✔ y ✁ ✁✡ ✁✌ ✁✍ ✎ B = − 1 2 1 − 2 1 2 ✏ = 1 1 1 − 2 ✏ N = 1 1 ✏ = − 2 − 3 ✏ = 0 ✏ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✕ ✞ ✔ ✖ ✖ u ✔✁✓ ✁ ✔ ✕ ✁✝ ✂✄ ✓ ✟ ✠ ✁ ✟ ✄ ✟ ✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠ u ✝ ✏ ✡ ✄ ☛ ✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍✎ = 0 ✏ = = 5 ✏ = = − 18 ✑ ✗✘ ✙ ✚☞ ✌ ✛✟ ✄ ✗✘ ✙ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁ ✔ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ✠✁ ✟ ✄ ✟ ✏ ✓ ✁ ✂ ✞ ✔ ✁ ✕ ✞ ✕ ✞ ✔ u ✍✄ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ ☛ ✁✡ ✁ ☎ ✆ ✗ ✜ ✙ ✡ ✁✔ ✓☞ ✌ ☞ ✕ ✢ ✓ ☞ ✌ ☞ ✕ ☛ ✁✡ ✁ ✕ ✁ ✝ ✂✄ ✓✟ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ y ✁✔ ✖ ✠✞ ✂ ☛ ✁✡ ✁✔ ✁✔ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✓ ☞ ✕ ☛ ☞ ✔ ✞ ✔ ✝ ✁ ✓ ✔ ☞ ✌ ✡ ✁✂✄ ✗✘ ✙ ✏ y ✁✄ ✝ u B ✠✞ ✠✁✟ ✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂ ✗ ✓☞ ✌ ☞ ✕ y ✁✔ ✖ ✟ ✁ tu ✠ u ✓ ✁ ✔ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁✔ ✓✞ ✌ ✄ ☛ ✁ ✝ ✁✔ ✡ ✁ ✂✄ ✓☞ ✌ ☞ ✕ y ✁✔ ✖ ✌ ✁✄ ✔ ✙ ✑ ✚ ☞ ✌ ✛✟ ✄ ✗✘ ✙ ✣ u ✖ ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ✤✄ ✟ ✄ ✠✞ ✌ ✠✁✟ ✄ ✟ ✏ ✓ ✁✂ ✞ ✔✁ ✔✄ ✌ ✁✄ ✢ ✔ ✄ ✌ ✁✄ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✌ ✞ ✠ ✄ ✍ ✡ ✁✂✄ ✁✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✔☞ ✌ ✑ Definisi 8 Integer Linear Progamming Integer linear progamming ✗✥ ✆ ☎ ✙ ✁ ✡ ✁ ✌ ✁ ✍ ✟ u ✁ tu ☛✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔✞ ✁✂ y ✁✔ ✖ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁✓ ✁✔ ✠ ✄ ✌ ✁ ✔ ✖ ✁ ✔ ✠ u ✌ ✁ t y ✁✔ ✖ ✝ ✁✓ ✔ ✞ ✖ ✁ ✝ ✄ ✤✑ ✦ ☛ ✁✠✄ ✌ ✁ ✟✞ ✕ u ✁ v ✁✂✄ ✁✠✌ ✞ ✔ y ✁ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁ ✔ ✠ ✄ ✌ ✁✔ ✖ ✁✔ ✠ u ✌ ✁ t ✕ ✁✓ ✁ ✥ ✆ ☎ ✡ ✄ ✟✞ ✠ u t ✟✞ ✠✁ ✖ ✁✄ pure integer progamming ✑ ✒✁✟ ✁✌ ✁✍ ✥ ✆ ☎ y ✁ ✔ ✖ ✍✁ ✔ y ✁ ✠✞ ✠ ✞ ✂✁ ☛ ✁ v ✁ ✂✄ ✁ ✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✟ ✁ ✣ ✁ ✠✞ ✂ u ☛ ✁ ✠✄ ✌ ✁✔ ✖ ✁ ✔ ✠ u ✌ ✁ t ✡ ✄ ✟✞ ✠ u t ✟✞ ✠ ✁ ✖ ✁ ✄ mixed integer progamming ✑ ✚ ✞ ✌ ✁ ✄ ✔ ✄ ✝ ✛ ✏ ✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍ ✥ ✆ ☎ y ✁ ✔ ✖ ✟✞ ✕ u ✁ v ✁ ✂✄ ✁ ✠ ✞ ✌ ✔ y ✁ ✍ ✁✂ u ✟ ✠✞ ✂✔✄ ✌ ✁✄ ✧ ✁✝ ✁ u ★ ✡ ✄ ✟ ✞ ✠ u t ✟✞ ✠✁ ✖ ✁✄ integer progamming ✧ ✢ ★ ✑ ✗✩ ✄ ✔✟✝ ☞ ✔ ✪ ✧✧ ✫ ✙ Definisi 9 Pemrograman Linear Relaksasi ✬ ✞ ✌ ✁✓✟ ✁ ✟ ✄ ☛ ✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔✞ ✁✂ ✁✝ ✁ u ✟ ✞ ✂✄ ✔ ✖ ✡ ✄ ✟ ✞ ✠ u t ☎ ✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁ ✟ ✄ ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁ ✓ ✁✔ ✟ u ✁ tu ☛ ✞ ✕ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ ✁✔ ✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂ y ✁✔ ✖ ✡ ✄ ☛ ✞ ✂ ☞ ✌ ✞ ✍ ✡ ✁ ✂✄ ✟ u ✁ tu ✥ ✆ ☎ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✕ ✞ ✔ ✖ ✍✄ ✌ ✁✔ ✖ ✓ ✁ ✔ ✓✞ ✔ ✡ ✁✌ ✁ integer ✁ ✝ ✁ u ✓✞ ✔✡ ✁✌ ✁ ✧ ✢ ★ ☛ ✁ ✡ ✁ ✟✞✝ ✄ ✁ ☛ v ✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔ y ✁✑ ✭ ✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ☎ ✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁ ✟ ✄ u ✔ tu ✓ ✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✁ ✓✟ ✄ ✕ ✄ ✟ ✁ ✟ ✄ ✌ ✞ ✠✄ ✍ ✠✞✟ ✁✂ ✁ ✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁✔ ✔ ✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞ ✓✝ ✄ ✤ ✥ ✆ ☎✑ ✚ ✞✡ ✁ ✔ ✖ ✓ ✁✔ ✔✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ☎✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁✓✟ ✁ ✟ ✄ u ✔ tu ✓ ✕ ✁ ✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✄ ✔✄ ✕ ✄ ✟ ✁✟ ✄ ✌ ✞ ✠✄ ✍ ✓✞✮ ✄ ✌ ✁ ✝ ✁ u ✟ ✁ ✕ ✁ ✡ ✞ ✔ ✖ ✁✔ ✔ ✄ ✌ ✁✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤ ✥ ✆ ☎✑ ✗ ✩ ✄ ✔ ✟✝ ☞ ✔ ✪ ✧ ✧ ✫ ✙

2.3 Algoritme Branch and Bound

✚ ☞ ✌ ✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✡ ✁✂✄ ✕ ✁ ✟ ✁✌ ✁ ✍ ✥ ✆ ☎ ☛ ✁ ✡ ✁ ✓ ✁✂ y ✁ ✄ ✌ ✕ ✄ ✁ ✍ ✄ ✔✄ ✡ ✄ ✮ ✁✂✄ ✕ ✞ ✔ ✖ ✖ u ✔✁✓ ✁ ✔ ☛✞ ✂✁✔ ✖ ✓ ✁ t ✌ u ✔ ✁ ✓ ✆ ✥ ✭ ✯✰ ★ ★ ✑ ✧ ✏ y ✁✄ ✝ u ✟✞ ✠ u ✁ ✍ ☛ ✂ ☞ ✖ ✂✁ ✕ y ✁✔ ✖ ✡ ✄ ✂✁✔ ✮ ✁ ✔ ✖ u ✔ tu ✓ ✕ ✞ ✔ ✞ ✔ tu ✓ ✁ ✔ ✟☞ ✌ ✛✟ ✄ ✕ ☞ ✡✞ ✌ ✌ ✄ ✔✞ ✁✂✏ ✔ ☞ ✔✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂✏ ✡ ✁✔ ☞☛ ✝ ✄ ✕ ✄ ✟ ✁ ✟ ✄ integer ✑ ☎✞ ✂✁✔ ✖ ✓ ✁ t ✌ u ✔✁✓ ✆ ✥ ✭ ✯✰ ★ ★ ✑ ✧ ✄ ✔✄ ✕ ✞ ✔ ✖ ✖ u ✔✁✓ ✁✔ ✁✌ ✖ ☞ ✂✄ ✝ ✕ ✞ branch and bound u ✔ tu ✓ ✕ ✞ ✔ y ✞ ✌ ✞✟ ✁ ✄ ✓ ✁✔ ✕ ✁ ✟ ✁ ✌ ✁ ✍ ✥ ✆ ☎✑ ✒ ✞ ✔ u ✂ u t ✱ ✁✍✁ ✗ ★✲ ✜✳ ✙ ✏ t ✞ ✂ ✡ ✁ ☛ ✁ t ✡ u ✁ ✓☞ ✔ ✟✞☛ ✡ ✁ ✟ ✁✂ ✡ ✁ ✌ ✁ ✕ ✁✌ ✖ ☞ ✂✄ ✝ ✕ ✞ branch and bound ✏ y ✁ ✄ ✝ u ✎  Branching Branching ✗ ☛ ✞ ✔ ✮ ✁✠ ✁✔ ✖ ✁✔ ✙ ✁✡ ✁ ✌ ✁ ✍ ☛ ✂ ☞ ✟✞✟ ✕ ✞ ✕ ✠✁ ✖ ✄ ☛ ✞ ✂ ✕ ✁ ✟ ✁ ✌ ✁ ✍✁✔ ✕ ✞ ✔ ✣ ✁ ✡ ✄ ✟ u ✠ ☛ ✂ ☞ ✠ ✌ ✞ ✕ ✢ ✟ u ✠☛ ✂ ☞ ✠✌ ✞ ✕ y ✁✔ ✖ ✕ u ✔ ✖ ✓ ✄ ✔ ✕ ✞ ✔ ✖ ✁ ✂✁✍ ✓ ✞ ✟☞ ✌ ✛✟ ✄ ✑  Bounding Bounding ✗ ☛ ✞ ✕ ✠ ✁ ✝ ✁ ✟ ✁ ✔ ✙ ✁ ✡ ✁✌ ✁✍ ✟ u ✁ tu ☛ ✂ ☞✟✞ ✟ u ✔ tu ✓ ✕ ✞ ✔ ✮ ✁ ✂✄ ✁✝ ✁ u ✕ ✞ ✔ ✖ ✍✄ ✝ u ✔ ✖ ✠✁ ✝ ✁✟ ✁ ✝ ✁✟ ✗ ✡ ✁✌ ✁ ✕ ✕ ✁ ✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✄ ✔✄ ✕ ✄ ✟ ✁ ✟ ✄ ✙ ✡ ✁ ✔ ✠✁ ✝ ✁✟ ✠✁ w ✁✍ ✗ ✡ ✁✌ ✁ ✕ ✕ ✁ ✟ ✁✌ ✁✍ ✕ ✁ ✓ ✟ ✄ ✕ ✄ ✟ ✁✟ ✄ ✙ u ✔ tu ✓ ✟☞ ✌ ✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✟ u ✠ ☛ ✂ ☞ ✠ ✌ ✞ ✕ y ✁ ✔ ✖ ✕ ✞ ✔ ✖ ✁✂✁✍ ✓✞ ✟☞ ✌ ✛ ✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✥ ✆ ☎ ✑ ✒ ✞ ✝ ☞ ✡✞ branch and bound ✡ ✄ ✁ w ✁ ✌ ✄ ✡✞ ✔ ✖ ✁ ✔ ✕ ✞ ✔ y ✞ ✌ ✞ ✟ ✁✄ ✓ ✁✔ ☎ ✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁✓✟ ✁✟ ✄ ✡ ✁ ✂✄ ✟ u ✁ tu ✥ ✆ ☎ . ✴ ✄ ✓ ✁ ✟✞ ✕ u ✁ ✔✄ ✌ ✁✄ v ✁✂✄ ✁✠✞ ✌ ✓✞ ☛ u tu ✟ ✁✔ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ☞☛ ✝ ✄ ✕ u ✕ ✟ u ✡ ✁✍ ✠ ✞ ✂ u ☛ ✁ integer, ✕ ✁✓ ✁ ✟☞ ✌ u ✟ ✄ ✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠ u t ✕ ✞ ✂ u ☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞ ✌ ✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✥ ✆ ☎✑ ✴ ✄ ✓ ✁ ✝ ✄ ✡ ✁✓ ✏ ✡ ✄ ✌ ✁ ✓ u ✓ ✁✔ ☛✞ ✔✮ ✁✠ ✁✔ ✖ ✁ ✔ ✡ ✁ ✔ ☛ ✞ ✔✁ ✕ ✠ ✁✍ ✢ ✁✔ ✠ ✁ ✝ ✁ ✟ ✁✔ ✓✞ ✔ ✡ ✁ ✌ ✁ ☛ ✁ ✡ ✁ ☎✆ ✢ ✂ ✞ ✌ ✁ ✓✟ ✁✟ ✄ ✔ y ✁ ✑ ✒ ✞ ✔ u ✂ u t ✩ ✄ ✔✟✝ ☞ ✔ ✗ ✪ ✧✧ ✫✙ ✏ ☛ ✁ ✡ ✁ ✓ ✁ ✟ u ✟ ✕ ✁✓✟ ✄ ✕ ✄ ✟ ✁ ✟ ✄ ✏ ✔✄ ✌ ✁ ✄ ✤ u ✔ ✖ ✟ ✄ ☞ ✠✣ ✞✓✝ ✄ ✤ ☞ ☛✝ ✄ ✕ u ✕ ✡ ✁✂✄ ✥ ✆ ☎ nilai fungsi objektif optimum dari PL-relaksasi, sehingga nilai fungsi objektif optimum PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah ILP. Selain itu, untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum masalah ILP asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah ILP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Suatu subproblem dikatakan terukur fathomed jika terdapat situasi sebagai berikut: 1 subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk ILP, ✵ ✶ ✷ u ✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽ ✺✷ ✽ ✸ u t ✾ ✽❀❁ ❂❃✷❄ ✼ ❅ ❃❀ ✷ u ❃ tu ✷✻✼ ❆ ✷❄ ✻ ✹✿ ❄ ✾ u ✾ ❇ ✽ ❀ ❁ ❃ ❀ ✷ ✽✾ u ❃ v ❃ ✺❄ ❃ ✸ ✽✼ ❀ y ❃ ✸ ✽ ✺ ❀❄ ✼ ❃ ❄ ❈ ❉ ❊ ❋● ❋ r ❍ ■ ❄ ❅❃ ✷✻ ✼ ❆✷❄ ✻ ✹✿ ❄ ✾ u ✾ ❄ ❀ ❄ ✾ ✽ ✾ ✹ u ❀ y ❃ ❄ ❀ ❄ ✼ ❃ ❄ ❏ u ❀ ❁ ✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅ ✿ ❄ ❏ y ❃❀❁ ✼ ✽✸❄ ❂ ✸ ❃ ❄ ❅ ❇ ❃✺❄ ✹ ❃ ❇ ❃ ✷✻✼ ❆ ✷❄ ❏❄ ✷❄ ✸ ✽ ✼ y ❃ ❀ ❁ ❇❄ ✹✽✺✻✼ ✽❂ ✷ ✽ ✸ ✽✼ ❆✾ ❀ y ❃❑ ✾ ❃❅ ❃ ✷✻ ✼ ❆ ✷❄ ❄ ❀ ❄ ✾ ✽❀ ■ ❃ ❇ ❄ ❅❃❀❇❄ ❇ ❃ t ✷✻✼ ❆✷❄ ✻ ✹ ✿ ❄ ✾ u ✾ ❇ ❃❀ ❀ ❄ ✼ ❃ ❄ ❏ u ❀ ❁✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅ ✿ ❄ ❏❀ y ❃ ✾ ✽ ❀ ■ ❃ ❇ ❄ ✸ ❃ ✿ ❃ ✷ ✸ ❃ w ❃ ❂ ▲ ❇ ❃ ✼ ❃ ✾ ✾ ❃✷ ❃ ✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅ ✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄ ▼ ❇ ❃ ❀ ✸ ❃ ✿ ❃✷ ❃ ✿ ❃ ✷ ▲ ❇ ❃ ✼ ❃ ✾ ✾ ❃ ✷ ❃✼ ❃❂ ✾ ❄ ❀❄ ✾❄ ✷ ❃✷❄ ▼ ❍ ✷ u ✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽ ✸ u t ❇ ❄ ✾ u ❀ ❁ ❅ ❄ ❀❅ ❃❀ ✾ ✽❀ ❁ ❂❃ ✷❄ ✼ ❅❃ ❀ ✷✻✼ u ✷❄ ✻ ✹ ✿ ❄ ✾ u ✾ ✾ ❃ ✷ ❃ ✼ ❃ ❂ ◆❖ P ❑ ◗ ❀ ❄ ✼ ❃ ❄ ❏ u ❀ ❁ ✷❄ ✻✸ ■ ✽❅ ✿ ❄ ❏ ✻ ✹✿ ❄ ✾ u ✾ ✷ u ✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽ ✸ u t ✿ ❄ ❇ ❃ ❅ ✾ ✽ ✼ ✽ ✸ ❄ ❂ ❄ ✸ ❃✿ ❃ ✷ ✸ ❃ w ❃ ❂ ✷ ❃❃ t ❄ ✿ ❆ ▲ u ❀ tu ❅ ✾ ❃✷ ❃ ✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅ ✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄ ▼ ❑ ✾ ❃❅ ❃ ✷ u ✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ❄ ❀ ❄ ❇ ❃✹❃ t ❇❄ ✽ ✼ ❄ ✾❄ ❀❃✷❄ ❘ ▲❙ ❄ ❀✷✿ ✻ ❀ ✶ ❚❚ ✵ ▼ ❯ ✽ ✺❄ ❅ u t ❄ ❀❄ ❃ ❇ ❃✼ ❃ ❂ ✼ ❃ ❀ ❁ ❅❃❂ ❱ ✼ ❃❀ ❁ ❅❃ ❂ ✹ ✽❀ y ✽ ✼ ✽✷ ❃ ❄ ❃ ❀ ✷ u ❃ tu ✾ ❃✷ ❃ ✼ ❃❂ ✾ ❃❅✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄ ❇ ✽❀ ❁ ❃ ❀ ✾✽✿ ✻ ❇ ✽ ❲ r ❳ ❉ ❨❩ ❳ ❉ ❬ ❲ ❭ u ❉ ❬ .  ❖ ❃ ❀ ❁ ❅ ❃❂ ❚ ❪ ✽ ❏❄ ❀ ❄ ✷❄ ❅❃ ❀ z ✷ ✽ ✸ ❃ ❁ ❃ ❄ ✸ ❃ ✿ ❃ ✷ ✸ ❃ w ❃ ❂ ❇ ❃ ✺❄ ❀ ❄ ✼ ❃ ❄ ❏ u ❀❁✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅ ✿ ❄ ❏ ▲ ✷✻✼ u ✷❄ ▼ ◆❖ P y ❃❀❁ ✻ ✹✿ ❄ ✾ u ✾ ❇ ❃ ❀ ✿ ✽ ✿ ❃✹ ❅❃❀ z = serta i = 0.  Langkah 1 Subproblem PL dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa. Subproblem tersebut diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. a Jika PL terukur dan solusi ILP yang lebih baik ditemukan, maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak, bagian masalah subproblem baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan. b Jika PL tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabang- an PL .  Langkah 2 Pilih salah satu variabel yang nilai optimumnya adalah ∗ dan tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL . Kemudian bidang 1, j j j x x x            dipecah menjadi dua subproblem,yaitu dan 1, j j j j x x x x            dengan [ ∗ ] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan ∗ . Jika PL masih tidak terukur, maka kembali ke langkah 1. Taha 1996 Ilustrasi dari masalah ILP yang akan diselesaikan dengan algoritme branch and bound diberikan pada Contoh 2. Contoh 2 Misalkan diberikan ILP sebagai berikut, maksimumkan z = 16x 1 + 10x 2 8 terhadap, 2x 1 + 2x 2 12 18x 1 + 10x 2 90 x 1 , x 2 x 1 , x 2 bilangan bulat. Algoritme branch and bound untuk menyelesaikan ILP 8 dimulai dengan mencari solusi PL-relaksasi yang disebut sebagai subproblem 1. Solusi optimal dari PL- relaksasi adalah z = 82.5, x 1 = 3.75, dan x 2 = 2.25 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Berdasarkan teori yang telah diberikan sebelumnya, bahwa nilai optimum z dari ILP nilai optimum z dari PL-relaksasi, maka nilai optimum z dari ILP 8 tidak dapat melebihi 82.5. Kemudian nilai optimum z dari PL-relaksasi ditetapkan sebagai batas atas. Langkah selanjutnya adalah memartisi wilayah fisibel dari PL-relaksasi untuk menemukan solusi optimal dari ILP 8. Nilai dari varibel x 1 dan x 2 pada PL-relaksasi belum menunjukkan nilai yang integer. Oleh karena itu partisi dapat dimulai dengan melihat nilai x 1 atau x 2 . Misalkan variabel pertama yang akan dipartisi adalah x 1 . Setiap titik pada wilayah fisibel ILP 8 harus memenuhi x 1 3 atau x 1 4, sehingga pencabangan dari variabel x 1 menghasilkan dua subproblem, yakni subproblem 2 dan 3. Subproblem 2 merupakan subproblem 1 dengan kendala tambahan x 1 4 dan subproblem 3 merupakan subproblem 1 dengan kendala tambahan x 1 3. Solusi optimal dari subproblem 2 adalah z = 82, x 1 = 4, dan x 2 = 1.8 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai x 2 dari subproblem 2 belum berupa integer, sehingga dilakukan pencabangan yang menghasilkan subproblem 4 dan 5. Subproblem 4 merupakan subproblem 2 dengan kendala tambahan x 2 2 dan subproblem 5 merupakan subproblem 2 dengan kendala tambahan x 2 1. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan, yakni 3, 4, dan 5. Berdasarkan aturan LIFO last-in- first-out subproblem yang akan diselesaikan terlebih dahulu adalah subproblem 4 atau 5. Misalkan dipilih subproblem 4, solusi dari subproblem 4 ternyata takfisibel yang dapat dilihat di Lampiran 1. Oleh karena itu, subproblem 4 tidak dapat dijadikan sebagai solusi optimal ILP 8. Sedangkan solusi ❫ ❴❵ ❛ ❜ ❝❞❡ ❢ ❞❣❜ ❤ u ✐❵ ❣ ❴ ✐ ❡ ❥❝ ❫ ❞ ❢ ❞ ❡ ❞❦ z = 81.11, x 1 = 4.44, dan x 2 = 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai x 1 pada subproblem 5 belum berupa integer, sehingga dilakukan kembali pencabangan menjadi subproblem 6 dan 7. Subproblem 6 merupakan subproblem 5 dengan kendala tambahan x 1 5 dan kendala tambahan x 1 4 untuk subproblem 7. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan, yakni 3, 6, dan 7. Berdasarkan aturan LIFO subproblem yang harus diselesaikan terlebih dahulu adalah subproblem 6 dan 7. Misalkan dipilih subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem 7 adalah z = 74, x 1 = 4, dan x 2 = 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai variabel x 1 dan x 2 dari subproblem 7 sudah berupa integer, sehingga solusi tersebut merupakan solusi yang fisibel dan merupakan kandidat solusi optimal ILP 8. Kemudian nilai z = 74 dijadikan sebagai batas bawah. Solusi dari subproblem 6 adalah z = 80, x 1 = 5, dan x 2 = 0 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Setiap variabel keputusan dari subproblem 6 juga sudah berupa integer, sehingga turut menjadi salah satu kandidat solusi optimal dari ILP 8. Nilai z pada subproblem 6 lebih besar dari nilai z pada subproblem 7, sehingga batas bawah diganti menjadi z = 80. Subproblem 3 merupakan satu-satunya masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari subproblem 3 adalah z = 78 dan x 1 = x 2 = 3 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Walaupun setiap variabel dari subproblem 3 sudah berupa integer, nilai z-nya kurang dari batas bawah yakni z = 80. Oleh karena itu, subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal ILP 8, dengan nilai z = 80, x 1 = 5, dan x 2 = 0. Bagan dari penyelesaian ILP 8 dengan algoritme branch and bound ditunjukkan pada Gambar 1.

2.4 Masalah Penjadwalan Job-Shop