ÿ
✁✂✄ ☎ ✆
✝ ✞ ✂ ✟✞ ✠
u t
✡ ✄ ☛✞
✂ ☞ ✌
✞ ✍✎
A =
− 1 2
1 − 2
1 2
1 1
✏
b =
10 2
3
✑ ✒ ✄
✟ ✁ ✌ ✓ ✁✔
✡ ✄ ☛ ✄ ✌ ✄ ✍✎
=
✡ ✁✔
=
✏ ✕
✁ ✓
✁ ✕
✁✝ ✂✄ ✓ ✟
✠✁✟ ✄ ✟ ✔
y
✁ ✁✡ ✁✌ ✁✍ ✎
B =
− 1 2
1 − 2
1 2
✏
= 1
1 1
− 2
✏
N =
1 1
✏
= − 2 − 3
✏
= 0
✏ ✡ ✞ ✔
✖ ✁ ✔
✕ ✞ ✔
✖ ✖
u
✔✁✓ ✁ ✔ ✕
✁✝ ✂✄ ✓ ✟
✠ ✁ ✟ ✄
✟ ✝ ✞ ✂
✟✞ ✠
u
✝ ✏ ✡
✄ ☛ ✞ ✂
☞ ✌
✞ ✍✎
= 0
✏
= =
5
✏
= = − 18
✑ ✗✘ ✙
✚☞ ✌
✛✟ ✄ ✗✘ ✙
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁ ✔ ✟☞
✌
u
✟ ✄ ✠✁
✟ ✄ ✟ ✏
✓ ✁ ✂ ✞ ✔ ✁
✕ ✞
✕ ✞ ✔
u
✍✄ ✓✞ ✔
✡ ✁✌ ✁
☛ ✁✡ ✁ ☎ ✆
✗ ✜
✙ ✡
✁✔ ✓☞
✌ ☞
✕ ✢
✓ ☞ ✌ ☞
✕ ☛ ✁✡ ✁
✕ ✁
✝ ✂✄ ✓✟
✓✞ ✔
✡ ✁✌
✁
y
✁✔ ✖
✠✞ ✂ ☛ ✁✡ ✁✔ ✁✔
✡ ✞ ✔ ✖
✁ ✔ ✓ ☞
✕ ☛ ☞ ✔
✞ ✔
✝ ✁ ✓
✔ ☞ ✌
✡ ✁✂✄
✗✘ ✙ ✏
y
✁✄ ✝
u
B
✠✞ ✠✁✟ ✌ ✄
✔ ✞
✁✂ ✗
✓☞ ✌
☞ ✕
y
✁✔ ✖
✟ ✁
tu
✠
u
✓ ✁ ✔ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁✔
✓✞ ✌ ✄ ☛
✁ ✝ ✁✔
✡ ✁ ✂✄ ✓☞
✌ ☞
✕
y
✁✔ ✖
✌ ✁✄ ✔ ✙
✑ ✚ ☞ ✌
✛✟ ✄ ✗✘
✙ ✣
u
✖ ✁
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞
✌
u
✟ ✄ ✤✄
✟ ✄ ✠✞ ✌ ✠✁✟ ✄
✟ ✏ ✓
✁✂ ✞ ✔✁
✔✄ ✌ ✁✄ ✢
✔ ✄ ✌ ✁✄
v
✁✂✄ ✁✠ ✞ ✌ ✔
y
✁ ✌
✞ ✠ ✄ ✍ ✡
✁✂✄ ✁✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡✞
✔ ✖
✁ ✔ ✔☞ ✌
✑
Definisi 8 Integer Linear Progamming
Integer linear progamming
✗✥ ✆ ☎
✙ ✁
✡ ✁ ✌ ✁ ✍
✟
u
✁
tu
☛✞ ✕
✂ ☞
✖ ✂✁
✕ ✁✔
✌ ✄ ✔✞ ✁✂
y
✁✔ ✖
v
✁✂✄ ✁✠ ✞
✌ ✔
y
✁ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁✓ ✁✔ ✠ ✄
✌ ✁ ✔ ✖
✁ ✔ ✠
u
✌ ✁
t y
✁✔ ✖
✝ ✁✓ ✔
✞ ✖
✁ ✝ ✄
✤✑ ✦
☛ ✁✠✄ ✌ ✁
✟✞ ✕
u
✁
v
✁✂✄ ✁✠✌ ✞ ✔
y
✁ ✕
✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁ ✔ ✠ ✄
✌ ✁✔ ✖
✁✔ ✠
u
✌ ✁
t
✕ ✁✓ ✁
✥ ✆ ☎
✡ ✄
✟✞ ✠
u t
✟✞ ✠✁ ✖
✁✄
pure integer progamming
✑ ✒✁✟ ✁✌ ✁✍
✥ ✆
☎
y
✁ ✔ ✖
✍✁ ✔
y
✁ ✠✞ ✠
✞ ✂✁
☛ ✁
v
✁ ✂✄ ✁ ✠
✞ ✌ ✔
y
✁ ✟ ✁
✣ ✁ ✠✞ ✂
u
☛ ✁ ✠✄ ✌ ✁✔
✖ ✁ ✔
✠
u
✌ ✁
t
✡ ✄ ✟✞ ✠
u t
✟✞ ✠ ✁ ✖
✁ ✄
mixed integer
progamming
✑ ✚ ✞ ✌
✁ ✄ ✔
✄ ✝ ✛ ✏
✕ ✁✟ ✁✌ ✁✍
✥ ✆ ☎
y
✁ ✔ ✖
✟✞ ✕
u
✁
v
✁ ✂✄ ✁ ✠
✞ ✌ ✔
y
✁ ✍ ✁✂
u
✟ ✠✞ ✂✔✄ ✌ ✁✄
✧ ✁✝ ✁
u
★ ✡
✄ ✟ ✞ ✠
u t
✟✞ ✠✁
✖ ✁✄
integer progamming
✧ ✢
★ ✑
✗✩ ✄
✔✟✝ ☞
✔ ✪
✧✧ ✫ ✙
Definisi 9 Pemrograman Linear Relaksasi
✬ ✞
✌ ✁✓✟ ✁
✟ ✄ ☛ ✞
✕ ✂
☞ ✖
✂✁ ✕
✁✔ ✌
✄ ✔✞ ✁✂ ✁✝ ✁
u
✟ ✞ ✂✄ ✔
✖ ✡
✄ ✟ ✞ ✠
u t
☎ ✆ ✢
✂ ✞ ✌ ✁
✓ ✟ ✁ ✟ ✄
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁
✓ ✁✔ ✟
u
✁
tu
☛ ✞ ✕
✂ ☞
✖ ✂✁
✕ ✁✔
✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂
y
✁✔ ✖
✡ ✄
☛ ✞ ✂ ☞
✌ ✞ ✍
✡ ✁ ✂✄ ✟
u
✁
tu
✥ ✆ ☎
✡ ✞ ✔ ✖
✁ ✔ ✕
✞ ✔ ✖
✍✄ ✌ ✁✔ ✖
✓ ✁ ✔ ✓✞ ✔
✡ ✁✌ ✁
integer
✁ ✝ ✁
u
✓✞ ✔✡ ✁✌ ✁ ✧
✢ ★
☛ ✁ ✡
✁ ✟✞✝ ✄ ✁
☛
v
✁✂✄ ✁✠ ✞
✌ ✔
y
✁✑ ✭
✄ ✌ ✁✄ ☞☛ ✝ ✄
✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄
✤ ☎ ✆
✢ ✂
✞ ✌ ✁ ✓ ✟ ✁
✟ ✄
u
✔
tu
✓ ✕
✁✟ ✁✌ ✁✍ ✕
✁ ✓✟ ✄
✕ ✄
✟ ✁ ✟
✄ ✌
✞ ✠✄ ✍
✠✞✟ ✁✂ ✁
✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡ ✞ ✔
✖ ✁✔
✔ ✄ ✌ ✁✄
☞☛ ✝ ✄ ✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞ ✓✝ ✄
✤ ✥
✆ ☎✑ ✚ ✞✡ ✁ ✔
✖ ✓
✁✔ ✔✄ ✌ ✁✄
☞☛ ✝ ✄ ✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞
✠ ✣ ✞✓ ✝ ✄
✤ ☎✆
✢ ✂
✞ ✌
✁✓✟ ✁ ✟
✄
u
✔
tu
✓ ✕
✁ ✟ ✁✌ ✁✍
✕ ✄ ✔✄
✕ ✄
✟ ✁✟ ✄ ✌
✞ ✠✄ ✍
✓✞✮ ✄ ✌ ✁
✝ ✁
u
✟ ✁ ✕
✁ ✡ ✞ ✔
✖ ✁✔
✔ ✄
✌ ✁✄ ☞ ☛✝ ✄
✕
u
✕ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞ ✠
✣ ✞✓ ✝ ✄ ✤
✥ ✆ ☎✑
✗ ✩
✄ ✔ ✟✝ ☞ ✔
✪ ✧ ✧
✫ ✙
2.3 Algoritme Branch and Bound
✚ ☞ ✌ ✛✟ ✄
☞ ☛✝ ✄ ✕
u
✕ ✡ ✁✂✄
✕ ✁
✟ ✁✌ ✁ ✍ ✥
✆ ☎ ☛
✁ ✡ ✁
✓ ✁✂
y
✁ ✄ ✌
✕ ✄
✁ ✍ ✄ ✔✄
✡ ✄ ✮ ✁✂✄
✕ ✞
✔ ✖ ✖
u
✔✁✓ ✁ ✔ ☛✞ ✂✁✔
✖ ✓ ✁
t
✌
u
✔ ✁ ✓
✆ ✥ ✭
✯✰ ★ ★
✑ ✧ ✏
y
✁✄ ✝
u
✟✞ ✠
u
✁ ✍ ☛ ✂
☞ ✖
✂✁ ✕
y
✁✔ ✖
✡ ✄ ✂✁✔ ✮ ✁ ✔
✖
u
✔
tu
✓ ✕
✞ ✔ ✞
✔
tu
✓ ✁ ✔ ✟☞ ✌
✛✟ ✄ ✕
☞ ✡✞ ✌
✌ ✄ ✔✞ ✁✂✏
✔ ☞
✔✌ ✄ ✔ ✞ ✁✂✏
✡ ✁✔
☞☛ ✝ ✄ ✕
✄ ✟ ✁
✟ ✄
integer
✑ ☎✞ ✂✁✔
✖ ✓ ✁
t
✌
u
✔✁✓ ✆
✥ ✭ ✯✰
★ ★ ✑
✧ ✄
✔✄ ✕
✞ ✔
✖ ✖
u
✔✁✓ ✁✔ ✁✌
✖ ☞ ✂✄
✝ ✕
✞
branch and bound u
✔
tu
✓ ✕
✞ ✔
y
✞ ✌
✞✟ ✁ ✄ ✓ ✁✔
✕ ✁
✟ ✁ ✌ ✁ ✍
✥ ✆
☎✑ ✒
✞ ✔
u
✂
u t
✱ ✁✍✁ ✗
★✲ ✜✳ ✙
✏
t
✞ ✂ ✡
✁ ☛ ✁
t
✡
u
✁ ✓☞
✔ ✟✞☛
✡ ✁ ✟ ✁✂
✡ ✁ ✌ ✁
✕ ✁✌
✖ ☞ ✂✄
✝ ✕
✞
branch and bound
✏
y
✁ ✄ ✝
u
✎
Branching Branching
✗ ☛ ✞ ✔
✮ ✁✠ ✁✔ ✖
✁✔ ✙
✁✡ ✁ ✌ ✁ ✍
☛ ✂ ☞ ✟✞✟
✕ ✞
✕ ✠✁
✖ ✄
☛ ✞ ✂ ✕
✁ ✟ ✁ ✌
✁ ✍✁✔ ✕
✞ ✔
✣ ✁ ✡
✄ ✟
u
✠ ☛
✂ ☞ ✠ ✌
✞ ✕
✢ ✟
u
✠☛ ✂ ☞
✠✌ ✞
✕
y
✁✔ ✖
✕
u
✔ ✖
✓ ✄ ✔ ✕
✞ ✔
✖ ✁ ✂✁✍
✓ ✞ ✟☞ ✌
✛✟ ✄ ✑
Bounding Bounding
✗ ☛ ✞
✕ ✠ ✁
✝ ✁ ✟ ✁ ✔
✙ ✁
✡ ✁✌ ✁✍
✟
u
✁
tu
☛ ✂ ☞✟✞ ✟
u
✔
tu
✓ ✕
✞ ✔ ✮ ✁ ✂✄
✁✝ ✁
u
✕ ✞ ✔
✖ ✍✄
✝
u
✔ ✖
✠✁ ✝ ✁✟
✁ ✝ ✁✟
✗ ✡ ✁✌ ✁
✕ ✕
✁ ✟ ✁✌ ✁✍
✕ ✄ ✔✄
✕ ✄
✟ ✁ ✟ ✄
✙ ✡ ✁ ✔
✠✁ ✝ ✁✟
✠✁
w
✁✍ ✗
✡ ✁✌ ✁ ✕
✕ ✁
✟ ✁✌ ✁✍ ✕
✁ ✓ ✟ ✄
✕ ✄
✟ ✁✟ ✄ ✙
u
✔
tu
✓ ✟☞ ✌
✛✟ ✄ ☞ ☛✝ ✄
✕
u
✕ ✟
u
✠ ☛
✂ ☞ ✠ ✌
✞ ✕
y
✁ ✔ ✖
✕ ✞ ✔
✖ ✁✂✁✍
✓✞ ✟☞
✌ ✛ ✟ ✄
☞ ☛✝ ✄ ✕
u
✕ ✥
✆ ☎ ✑
✒ ✞ ✝
☞ ✡✞
branch and bound
✡ ✄ ✁
w
✁ ✌ ✄
✡✞ ✔
✖ ✁ ✔
✕ ✞
✔
y
✞ ✌ ✞ ✟ ✁✄
✓ ✁✔ ☎ ✆
✢ ✂
✞ ✌
✁✓✟ ✁✟ ✄ ✡ ✁ ✂✄
✟
u
✁
tu
✥ ✆
☎
.
✴ ✄
✓ ✁
✟✞ ✕
u
✁ ✔✄ ✌ ✁✄
v
✁✂✄ ✁✠✞ ✌ ✓✞ ☛
u tu
✟ ✁✔ ✟☞ ✌
u
✟ ✄ ☞☛ ✝ ✄
✕
u
✕ ✟
u
✡ ✁✍
✠ ✞
✂
u
☛ ✁
integer,
✕ ✁✓ ✁
✟☞ ✌
u
✟ ✄ ✝
✞ ✂ ✟✞
✠
u t
✕ ✞ ✂
u
☛ ✁✓ ✁✔ ✟☞
✌ ✛✟ ✄
☞ ☛✝ ✄ ✕
u
✕ ✥
✆ ☎✑
✴ ✄
✓ ✁ ✝ ✄
✡ ✁✓ ✏ ✡ ✄ ✌ ✁
✓
u
✓ ✁✔
☛✞ ✔✮ ✁✠ ✁✔ ✖
✁ ✔ ✡ ✁ ✔
☛ ✞ ✔✁ ✕
✠ ✁✍ ✢
✁✔ ✠ ✁
✝ ✁ ✟ ✁✔
✓✞ ✔
✡ ✁ ✌ ✁
☛ ✁
✡ ✁ ☎✆
✢ ✂
✞ ✌ ✁ ✓✟ ✁✟ ✄
✔
y
✁ ✑
✒ ✞
✔
u
✂
u t
✩ ✄
✔✟✝ ☞ ✔ ✗ ✪
✧✧ ✫✙
✏ ☛
✁ ✡
✁ ✓ ✁
✟
u
✟ ✕
✁✓✟ ✄ ✕
✄ ✟ ✁
✟ ✄ ✏ ✔✄ ✌
✁ ✄ ✤
u
✔ ✖
✟ ✄ ☞ ✠✣ ✞✓✝ ✄
✤ ☞ ☛✝ ✄
✕
u
✕ ✡ ✁✂✄
✥ ✆ ☎
nilai fungsi objektif optimum dari PL-relaksasi, sehingga nilai fungsi objektif
optimum PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk
masalah ILP. Selain itu, untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum
suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum masalah ILP
asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi
kendala integer pada masalah ILP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah
bernilai integer.
Suatu subproblem
dikatakan terukur
fathomed jika terdapat situasi sebagai berikut:
1 subproblem tersebut takfisibel, sehingga
tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk ILP,
✵
✶ ✷
u
✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽
✺✷ ✽ ✸
u t
✾ ✽❀❁ ❂❃✷❄ ✼ ❅ ❃❀ ✷
u
❃
tu
✷✻✼ ❆ ✷❄
✻ ✹✿ ❄ ✾
u
✾ ❇ ✽ ❀
❁ ❃ ❀ ✷ ✽✾
u
❃
v
❃ ✺❄ ❃
✸ ✽✼ ❀
y
❃ ✸ ✽
✺ ❀❄ ✼ ❃
❄ ❈
❉ ❊ ❋● ❋
r
❍ ■ ❄ ❅❃
✷✻ ✼ ❆✷❄ ✻ ✹✿ ❄
✾
u
✾ ❄ ❀
❄ ✾ ✽
✾ ✹
u
❀
y
❃ ❄
❀ ❄ ✼ ❃
❄ ❏
u
❀ ❁ ✷❄
✻ ✸■ ✽ ❅ ✿ ❄
❏
y
❃❀❁ ✼ ✽✸❄ ❂
✸ ❃
❄ ❅ ❇ ❃✺❄ ✹ ❃
❇ ❃
✷✻✼ ❆ ✷❄
❏❄ ✷❄ ✸
✽ ✼
y
❃ ❀ ❁
❇❄ ✹✽✺✻✼ ✽❂ ✷ ✽
✸ ✽✼ ❆✾ ❀
y
❃❑ ✾ ❃❅ ❃
✷✻ ✼ ❆ ✷❄
❄ ❀ ❄
✾ ✽❀ ■ ❃
❇ ❄ ❅❃❀❇❄ ❇ ❃
t
✷✻✼ ❆✷❄ ✻
✹ ✿ ❄ ✾
u
✾ ❇
❃❀ ❀
❄ ✼ ❃ ❄
❏
u
❀ ❁✷❄
✻ ✸■ ✽ ❅ ✿ ❄ ❏❀
y
❃ ✾ ✽ ❀
■ ❃ ❇ ❄
✸ ❃ ✿ ❃
✷ ✸ ❃
w
❃ ❂ ▲
❇ ❃ ✼ ❃
✾ ✾ ❃✷ ❃
✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅
✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄
▼ ❇ ❃ ❀
✸ ❃ ✿ ❃✷
❃ ✿ ❃
✷ ▲
❇ ❃
✼ ❃ ✾
✾ ❃ ✷ ❃✼ ❃❂
✾ ❄ ❀❄ ✾❄
✷ ❃✷❄ ▼
❍ ✷
u
✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽
✸
u t
❇ ❄ ✾
u
❀ ❁
❅ ❄ ❀❅ ❃❀
✾ ✽❀ ❁
❂❃ ✷❄ ✼ ❅❃ ❀
✷✻✼
u
✷❄ ✻
✹ ✿ ❄ ✾
u
✾ ✾ ❃
✷ ❃ ✼ ❃ ❂
◆❖ P ❑
◗ ❀
❄ ✼ ❃ ❄
❏
u
❀ ❁ ✷❄
✻✸ ■ ✽❅ ✿ ❄ ❏
✻ ✹✿ ❄ ✾
u
✾ ✷
u
✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ✿ ✽✺✷ ✽
✸
u t
✿ ❄ ❇ ❃ ❅ ✾ ✽
✼ ✽ ✸ ❄ ❂
❄ ✸ ❃✿ ❃
✷ ✸ ❃
w
❃ ❂ ✷ ❃❃
t
❄ ✿ ❆
▲
u
❀
tu
❅ ✾ ❃✷ ❃
✼ ❃❂ ✾ ❃ ❅
✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄
▼ ❑
✾ ❃❅ ❃ ✷
u
✸ ✹✺✻✸ ✼ ✽✾ ❄ ❀
❄ ❇
❃✹❃
t
❇❄ ✽ ✼ ❄ ✾❄ ❀❃✷❄
❘ ▲❙
❄ ❀✷✿ ✻
❀ ✶
❚❚ ✵
▼ ❯ ✽
✺❄ ❅
u t
❄ ❀❄ ❃
❇ ❃✼ ❃ ❂ ✼ ❃ ❀
❁ ❅❃❂
❱ ✼ ❃❀
❁ ❅❃ ❂
✹ ✽❀
y
✽ ✼ ✽✷ ❃
❄ ❃ ❀ ✷
u
❃
tu
✾ ❃✷ ❃ ✼ ❃❂
✾ ❃❅✷❄ ✾❄ ✷ ❃ ✷❄
❇ ✽❀
❁ ❃ ❀ ✾✽✿
✻ ❇ ✽ ❲
r
❳ ❉
❨❩ ❳
❉ ❬
❲ ❭
u
❉ ❬
.
❖ ❃ ❀
❁ ❅ ❃❂ ❚
❪ ✽
❏❄ ❀ ❄ ✷❄ ❅❃ ❀
z
✷ ✽ ✸
❃ ❁ ❃
❄ ✸
❃ ✿ ❃
✷ ✸ ❃
w
❃ ❂ ❇
❃ ✺❄
❀ ❄
✼ ❃ ❄
❏
u
❀❁✷❄ ✻ ✸■ ✽ ❅
✿ ❄ ❏
▲ ✷✻✼
u
✷❄ ▼
◆❖ P
y
❃❀❁ ✻ ✹✿
❄ ✾
u
✾ ❇ ❃ ❀
✿ ✽ ✿ ❃✹ ❅❃❀
z = serta i = 0.
Langkah 1 Subproblem
PL
dipilih sebagai bagian masalah
berikutnya untuk
diperiksa. Subproblem tersebut diselesaikan dan diukur
dengan kondisi yang sesuai. a Jika
PL
terukur dan solusi ILP yang lebih baik ditemukan, maka batas bawah z
diperbarui. Jika tidak, bagian masalah subproblem baru i dipilih dan langkah 1
diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan.
b Jika
PL
tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabang-
an
PL
. Langkah 2
Pilih salah satu variabel yang nilai
optimumnya adalah
∗
dan tidak memenuhi batasan integer dalam solusi
PL
. Kemudian bidang
1,
j j
j
x x
x
dipecah menjadi dua subproblem,yaitu
dan 1,
j j
j j
x x
x x
dengan
[
∗
]
didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan
∗
. Jika
PL
masih tidak terukur, maka kembali ke langkah 1.
Taha 1996 Ilustrasi dari masalah ILP
yang akan diselesaikan dengan algoritme branch and
bound diberikan pada Contoh 2.
Contoh 2 Misalkan diberikan ILP sebagai berikut,
maksimumkan z = 16x
1
+ 10x
2
8 terhadap,
2x
1
+ 2x
2
12 18x
1
+ 10x
2
90 x
1
, x
2
x
1
, x
2
bilangan bulat. Algoritme
branch and
bound untuk
menyelesaikan ILP
8 dimulai dengan
mencari solusi PL-relaksasi yang disebut sebagai subproblem 1. Solusi optimal dari PL-
relaksasi adalah z = 82.5, x
1
= 3.75, dan x
2
= 2.25 yang dapat dilihat di Lampiran 1.
Berdasarkan teori yang telah diberikan
sebelumnya, bahwa nilai optimum z dari ILP nilai optimum z dari PL-relaksasi, maka
nilai optimum z dari ILP 8 tidak dapat melebihi 82.5. Kemudian nilai optimum z dari
PL-relaksasi ditetapkan sebagai batas atas. Langkah selanjutnya adalah memartisi
wilayah fisibel dari PL-relaksasi untuk
menemukan solusi optimal dari ILP 8. Nilai dari varibel x
1
dan x
2
pada PL-relaksasi belum menunjukkan nilai yang integer. Oleh karena
itu partisi dapat dimulai dengan melihat nilai x
1
atau x
2
. Misalkan variabel pertama yang akan dipartisi adalah x
1
. Setiap titik pada wilayah fisibel ILP 8 harus memenuhi x
1
3 atau x
1
4, sehingga pencabangan dari variabel x
1
menghasilkan dua subproblem, yakni subproblem 2 dan 3. Subproblem 2
merupakan subproblem 1 dengan kendala tambahan x
1
4 dan subproblem 3 merupakan subproblem 1 dengan kendala tambahan x
1
3. Solusi optimal dari subproblem 2 adalah z = 82, x
1
= 4, dan x
2
= 1.8 yang dapat dilihat di Lampiran 1.
Nilai x
2
dari subproblem 2 belum berupa integer, sehingga dilakukan pencabangan
yang menghasilkan subproblem 4 dan 5. Subproblem
4 merupakan
subproblem 2 dengan kendala tambahan
x
2
2 dan subproblem
5 merupakan subproblem
2 dengan kendala tambahan x
2
1. Terdapat tiga subproblem yang belum diselesaikan, yakni 3,
4, dan 5. Berdasarkan aturan LIFO last-in- first-out subproblem yang akan diselesaikan
terlebih dahulu adalah subproblem 4 atau 5. Misalkan dipilih subproblem 4, solusi dari
subproblem 4 ternyata takfisibel yang dapat dilihat di Lampiran 1. Oleh karena itu,
subproblem 4 tidak dapat dijadikan sebagai solusi optimal ILP 8. Sedangkan solusi
❫
❴❵ ❛ ❜ ❝❞❡
❢ ❞❣❜ ❤
u
✐❵ ❣ ❴ ✐ ❡ ❥❝
❫ ❞
❢ ❞
❡ ❞❦
z = 81.11, x
1
= 4.44, dan x
2
= 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai x
1
pada subproblem 5 belum berupa integer, sehingga dilakukan
kembali pencabangan menjadi subproblem 6 dan 7.
Subproblem 6 merupakan subproblem 5 dengan kendala tambahan x
1
5 dan kendala tambahan x
1
4 untuk subproblem 7. Terdapat tiga
subproblem yang belum
diselesaikan, yakni 3, 6, dan 7. Berdasarkan aturan
LIFO subproblem
yang harus
diselesaikan terlebih
dahulu adalah
subproblem 6 dan 7. Misalkan dipilih
subproblem 7. Solusi optimal dari subproblem 7 adalah z = 74, x
1
= 4, dan x
2
= 1 yang dapat dilihat di Lampiran 1.
Nilai variabel x
1
dan x
2
dari subproblem 7 sudah berupa integer, sehingga solusi tersebut
merupakan solusi yang fisibel dan merupakan kandidat solusi optimal ILP 8. Kemudian
nilai z = 74 dijadikan sebagai batas bawah. Solusi dari subproblem 6 adalah z = 80, x
1
= 5, dan x
2
= 0 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Setiap variabel keputusan dari subproblem 6
juga sudah berupa integer, sehingga turut menjadi salah satu kandidat solusi optimal
dari ILP 8. Nilai z pada subproblem 6 lebih besar dari nilai z pada subproblem 7, sehingga
batas bawah diganti menjadi z = 80.
Subproblem 3 merupakan satu-satunya masalah yang belum diselesaikan. Solusi dari
subproblem 3 adalah z = 78 dan x
1
= x
2
= 3 yang dapat dilihat di Lampiran 1. Walaupun
setiap variabel dari subproblem 3 sudah berupa integer, nilai z-nya kurang dari batas
bawah yakni z = 80. Oleh karena itu, subproblem 6 dipilih menjadi solusi optimal
ILP 8, dengan nilai z = 80, x
1
= 5, dan x
2
= 0. Bagan dari penyelesaian ILP 8 dengan
algoritme branch and bound ditunjukkan pada Gambar 1.
2.4 Masalah Penjadwalan Job-Shop