ê
ëìí ìîïð ñ ï ð ò
ó ï
ôõ ïî
ö ÷ø ùú
í îï úû
ü ï î
û û
ú í
û ø ï
ý þ
ìî ÿ
ì î ì
í ïï þ û
ïð
III PEMODELAN MASALAH PENJADWALAN KERETA API DAN APLIKASINYA
3.1 Model Matematika
✁ ï
ú ï
ø ï
ý þ
ì ð
✂ ï
ü
w
ï ø
ïð ÿ
ìî ì
t
ï ï
þû þ
ï ü
ï ÿ
ïî
y
ï û ø ô
û ï
ý û
ð û
ï ÿ
ï ð üû ô✄ü
ì ø
ÿ ïð
ü ì
ð ñïð ô
ì ô
þ ì
îí û ôõ
ïð ñ ÿ
ï ð ï
ú
u
ô ú
û ú
ì õ
ï ñï û
õ ìî
û ÿ
u t
ò ☎
ô✄ ü
ì ø
üû õ ïð ñ
u
ð
u
ð
tu
ÿ ÿ
ï ú
u
ú ÿ
ì î ì
í ï ï
þ û ✂
ï ø ù
î ñïð
ü ï
✆ ✝
ú ï
tu
ï ð
w
ï ÿ
tu
í ì î
ÿ ì
✞ û ø
y
ïð ñ
ü û ñ
u
ðï ÿ
ï ð ü
ï ø
ï ô
þ ìð
✂ ï
ü
w
ï ø
ï ð ï
ü ï
ø ï
ý ô
ìð û
í ✆
✟ í
û ü
ï ÿ
ï ü
ï
u
î
u
í ïð þ
î û ✄
î û
í ï ú
ÿ ì
î ì í ï
ï þ û
y
ïð ñ ï
ÿ ï ð
ô ìð ñ ñ
u
ðï ÿ
ïð þ
ìí ï
ÿ õ
ø ✄ ÿ
y
ïð ñ
ú ï
ô ï
✁ ✄ü ì
ø þ
ì ð
✂ ï
ü
w
ï ø
ï ð ÿ
ì î ì
t
ï ï
þû þ
ï ü
ï ÿ
ïî
y
ï û ø ô
û ï
ý û
ð û
ü û îïð
✞ ï ð ñ
ú ì
õ ï ñï
û ï
ø ï
t u
ð
tu
ÿ ô
ìî ì ð
✞ ï ðï
ÿ ïð
✂ ï
ü
w
ï ø
ÿ ì
î ì í ï
ï þ û
þ ï
ü ï
þ ì
î û ✄
ü ì
✄þ ìîï
úû í ì
îí ì ð
tu
✠ ï
ü
w
ï ø
y
ïð ñ ï
ÿ ïð
üû ý ï
ú û ø ÿ
ï ð ô
ìî
u
þ ï
ÿ ïð
✂ ï
ü
w
ï ø
✡ ï
ÿ
tu
ï ø
✠ ï
ü
w
ï ø
ï ÿ
tu
ï ø
ï ÿ
ï ð ú
ï ô
ï ü
ì ð
ñ ïð
✂ ï
ü
w
ï ø
✡ ï
ÿ
tu
ï ø
ï þ
ï õ
û ø ï
í û ü
ï ÿ
í ì î
✂ ï
üû ñ
ïð ñ ñ
u
ï ð ✄
þ ì
îï úû ✄
ðï ø
ú ì
þ ì
îí û
þ ì
ô ï
ü ï
ô ï ð
ø û ú í î
û ÿ✆ õ
ìð ✞
ï ðï ï
ø ï
ô
y
ïð ñ ô
ìð ñ ï
ÿû õ ï í
ÿ ïð
ÿ ì
î
u
ú ï
ÿ ï ð
û ð
✡ îï
ú í î
u
ÿ
tu
î ✆
ñïð ñ ñ
u
ï ð úû
ð
y
ï ø
✆ ü
ï ð ø
ï û
ð ú
ì õ
ï ñ
ï û
ð
y
ï ☛
ì✡ì î ì
ð úû
u t
ï ô
ï
y
ïð ñ üû
ñ
u
ðï ÿ
ïð þ
ìð
u
ø û ú ü
ï ø
ï ô
ô ì
ô✄ ü
ì ø ÿ
ïð ô
ï ú
ï ø
ï ý
þ ì
ð ✂
ï ü
w
ï ø
ïð ÿ
ì î ì
í ï ï
þû ✂
ï ø
ù î
ñ ï ð
ü ï
ï ü
ï ø
ï ý
tu
ø û ú ïð
☞û ññ
û ð
ú✆ ✌
t
✍ ✎ ✏
☎ ✑✑ ✒ ✓
✔ ✄ í ï
úû ✕ ð
✄ í
ï úû
y
ïð ñ
ï ÿ
ïð ü û
ñ
u
ðï ÿ
ïð þ
ï ü
ï ô✄
ü ì
ø þ
ìð ✂
ï ü
w
ï ø
ï ð ÿ
ìî ì í ï
ï þ û
ú ì
õ ï ñï
û ÿ
ï ú
u
ú ÿ ý
u
ú
u
ú ü
ï î û
ô ï
ú ï
ø ï
ý þ
ì ð
✂ ï
ü
w
ï ø
ïð ✖ ✗ ✘ ✕
s
✙✗ ✚ üû ü
ì ✡ û
ð û úû ÿ
ï ð ú
ì õ
ï ñ
ï û
õ ì
î û ÿ
u
í ò ✛
= banyaknya kereta api
✜
= banyaknya petak blok q
= banyaknya stasiun S
= himpunan stasiun, S = { 1, 2, ..., q} J
= himpunan kereta api, J = {1, 2, , n}
J
i
= perjalanan kereta api i i = 1, 2, ..., n pekerjaan
o
ik
= operasi di petak blok k k = 1, 2, ..., m sumber daya dari kereta api i
h = time headway
X
ias
= waktu kedatangan kereta api i di stasiun s
X
ids
= waktu keberangkatan kereta api i dari stasiun s
d
k
= panjang petak blok k
ik
v = kecepatan rata-rata minimum kereta
api i di petak blok ke-k
ik
v = kecepatan rata-rata maksimum kereta
api i di petak blok ke-k p
is
= lama waktu berhenti kereta api i di stasiun s
= waktu delay kereta api i di stasiun s M
= bilangan bulat positif besar C
maks
= waktu tempuh maksimum. Misalkan diberikan n buah perjalanan
kereta api J
1
, J
2
, ..., J
n
yang harus dijadwalkan pada l buah rute. Sebuah perjalanan J
i
melewati suatu rute yang terdiri atas q buah stasiun dan m buah petak blok. Oleh karena
itu pekerjaan
yang merepresentasikan
perjalanan J
i
tersebut terdiri atas m buah operasi o
i1
, o
i2
, o
i3
, ..., o
im
. Setiap operasi yang dilakukan dalam perjalanan
J
i
tersebut petak jalan
petak blok Sinyal
Stasiun sidding
Crossing
Overtaking
✢
✣✤✥✦✦
u
✥✧★ ✧✥ ✩ ✤✪ ✧
t
✫✧
tu
✫
u
✣✬ ✤✭ ✮ ✧
y
✧ ✬
✤✭
u
✪✧ ✫✧
tu
✪ ✤✩ ✧ ★
✬ ✯ ✰★ ✪✧✮ ✧
✭
u
✩ ✤
y
✧✥✦ ✮ ✱ ✯ ✧✯
✲ ✱ ✳
y
✧✱ ✩
u
✰ ✪✤✭✧ ✫✱ ✴
✵ ✶
✷ ✸ ✱ ✫✧✯
★ ✧ ✥ ✪ ✧
✮ ✧ ✫
u
✧
tu
✭
u
✩ ✤ ✪ ✤✭
✹ ✧✯ ✧ ✥✧✥
★ ✤✭✤✩ ✧ ✧✪ ✱
✹ ✧✯ ✲ ✭
✦ ✧✥✮ ✧
y
✧ ✥ ✦
✮ ✱
✱ ✯
u
✫✩ ✭✧✫ ✱ ★
✧✥ ✪ ✧
✮ ✧ ✺✧ ✣
✬ ✧✭
✻ ✩
✤ ✭ ✮ ✧✪ ✧
t
✼ ✪ ✤✩
✧★ ✬
✯ ✰ ★
✮ ✧✥
q
✫✩ ✧✫✱
u
✥ ✷
✽✱ ✣✪
u
✥✧✥ ★ ✤✭✤✩ ✧
✧✪ ✱
y
✧ ✥ ✦
✧★ ✧✥ ✮
✱ ✰✪ ✤✭✧ ✫✱
★ ✧ ✥ ✧
✮ ✧✯ ✧✾
J = {1, 2, ..., r, r + 1, ..., n}, dengan indeks 1 sampai r untuk kereta api outbound
dan r+1 sampai n untuk kereta api inbound. Kereta api outbound pada karya ilmiah ini
merupakan jenis kereta api yang melakukan perjalanan dari stasiun ke-1 ke arah stasiun
ke-q,
sedangkan kereta
api inbound
merupakan jenis kereta api yang melakukan perjalanan
dengan arah
sebaliknya. Didefinisikan variabel biner untuk beberapa
kondisi antara dua kereta api yang akan terjadi konflik, yaitu:
1, jika kereta api , dengan
menggunakan petak blok sebelum kereta api
, dengan
0, lainnya,
ijk
outbound i i
r k
A outbound j
j r
1, jika kereta api
, dengan menggunakan petak blok
sebelum kereta api ,
dengan 0, lainnya.
ijk
inbound i i
r k
B inbound j
j r
Tujuan penjadwalan kereta api pada karya ilmiah ini adalah meminimumkan total waktu
tempuh maksimum. Hal ini dapat dihitung berdasarkan selisih antara waktu kedatangan
di stasiun pertama dan waktu keberangkatan dari stasiun akhir kembali ke stasiun awal atau
masuk ke dalam depo. Depo merupakan tempat peristirahatan
kereta api untuk mendapatkan perawatan, perbaikan mesin, dan
sebagainya. Secara matematis fungsi objektif dari
masalah penjadwalan
kereta api
ditunjukkan pada persamaan 9. Kereta api dari 1 sampai r outbound berakhir di stasiun
q. Sedangkan kereta api r + 1 sampai n inbound berakhir di stasiun 1.
Fungsi Objektif
Minimumkan 9
C
maks
=
∑ −
+ ∑ −
, dengan:
= waktu kedatangan kereta api i di stasiun ke-1, untuk i = 1, 2,
, r. = waktu keberangkatan kereta api i dari
stasiun ke-q untuk kembali ke stasiun pertama atau masuk ke dalam depo,
dengan i = 1, 2, , r.
= waktu kedatangan kereta api i di stasiun ke-q, untuk i= r+1, r+2,
, n. = waktu keberangkatan kereta api i dari
stasiun ke-1 untuk kembali ke stasiun pertama atau masuk ke dalam depo,
dengan i = r+1, r+2, , n.
Kendala-kendala yang harus dipenuhi dalam rangka mendapatkan solusi jadwal kereta api
yang fisibel diberikan pada pertaksamaan 10 sampai 24:
Kendala 1 Urutan operasi
, ,
ias is
is ids
X p
X i
r
10
1, 2, ..., . s
q
, ,
ias is
is ids
X p
X i
r
11
, 1, ..., 1.
s q q
Kendala 10 dan 11 menunjukkan urutan operasi pada satu perjalanan kereta api di
stasiun. Kedua kendala tersebut dikembang- kan dari konsep masalah penjadwalan job-
shop, yaitu operasi ke-k + 1 pada pekerjaan J
i
hanya bisa dimulai setelah operasi ke-k telah selesai dikerjakan. Waktu dimulainya operasi
o
ik + 1
yaitu X
ids
harus lebih dari atau sama dengan waktu dimulainya operasi o
ik
yaitu X
ias
ditambah lama waktu pemrosesannya yaitu p
is
. Selain itu, terdapat variabel delay
yang merupakan lama waktu penundaan dari suatu
perjalanan kereta api i di stasiun s untuk menghindari konflik. Waktu tiba kereta api di
stasiun pertama merupakan waktu tiba kereta api yang keluar dari depo atau waktu kembali
dari stasiun tujuan akhir ke stasiun asal.
Gambar 6 Ilustrasi suatu rute perjalanan kereta api jalur ganda. q
1 m
1 outbound
indeks stasiun
Keterangan: Sinyal
inbound
d
k
indeks petak blok 2
....... 1
q .......
3 m
2 1
✿❀
Kendala 2 Aturan Penyusulan
❁ ❂ ❃❄ ❅ ❆
❄ ❇ ❈ ❉❊❋❄ ●❄
t
❆❉❊❉ ❈ ❄
❄ ● ❂ ❍
❋❄❇ ■
❋❉ ❇ ❏❄ ❇
❄ ❊ ❄ ❑
y
❄ ❇❏ ❃❄ ▲
❄ ❄ ❆
❄ ❇ ▲
❉❇❏❏
u
❇❄ ❆
❄❇ ● ❉❈
❄ ❆
▼ ❅ ◆ ❆
❆ ❉ ❖P
❃ ❉ ◗❄ ❊
❄ ▼ ❉❊
❃❄ ▲
❄❄ ❇ ❘ ❃ ❉❑ ❂
❇❏ ❏❄ ◆ ● ❉❊
❄❃ ❂ ❙
❚ ❯ ❋❄❇
❙ ❱ ❯
❄ ❆❄❇ ❋❂ ● ❊
◆❃ ❉ ❃
●❄ ❋ ❄
w
❄ ❆
tu y
❄❇❏ ❃❄
▲ ❄❲
❳ ❉❊❋❄ ● ❄
t
❋
u
❄ ❅
❄❇❏ ❆
❄❑
y
❄ ❇❏ ❋❄ ●
❄
t
❋ ❂ ❅
❄ ❆
u
❆❄❇ ❄❏ ❄ ❊
❈ ❂ ❋❄ ❆
❈ ❉❊ ❨ ❄ ❋ ❂
❆ ◆ ❇ ❩❅ ❂ ❆
❲ ❬❉❋
u
❄ ❅
❄❇❏ ❆❄❑ ❈ ❉❊
❃ ❉▼
u t
❄ ❋ ❄
❅ ❄ ❑
❋ ❉ ❇❏ ❄❇
▲ ❉❇ ❋
❄ ❑
u
❅
u
❆ ❄ ❇
● ❉❊ ❨ ❄ ❅
❄❇❄ ❇ ❆❉ ❊❉❈
❄ ❄ ● ❂
❭ ❱
❄ ❈ ❄
u
▲❉ ❇
❋ ❄❑
u
❅
u
❆ ❄ ❇
● ❉❊ ❨ ❄ ❅
❄❇❄ ❇ ❆❉ ❊
❉ ❈ ❄
❄ ● ❂ ❭
❚ ❲
❪ ❅ ❉❑
❆ ❄ ❊❉❇❄
❂ ❈
u
❘ ❆ ❉
❇ ❋ ❄
❅ ❄
❋❂ ❆❄ ❅ ❂ ❆ ❄❇
❋❉ ❇ ❏❄❇
❫ ❘
y
❄ ❂
❈
u
▼ ❂ ❅ ❄ ❇❏❄ ❇
●◆❃ ❂ ❈ ❂ ❩
▼❉❃❄ ❊
y
❄❇❏ ❋ ❂
❏
u
❇❄ ❆
❄❇ ❆❑
u
❃
u
❃ ●❄ ❋
❄ ❆ ❉
❇ ❋ ❄
❅ ❄
❴ ❍
❵ ❛❴
r
❙
r
❜ ●❂ ❅ ❂
❑ ❃❄ ❅
❄ ❑ ❃❄
tu
❝ ❲
❞ ❉
❇ ❏❄ ❅ ❂ ❄❇
❋ ❉ ❇❏❄ ❇
▼❂ ❅ ❄❇ ❏❄❇
❫ ❈
❉ ❊❋ ❄
● ❄
t
● ❄
❋ ❄
❆❉❇ ❋ ❄
❅ ❄
❜ ✿
❡ ❝ ❃❄
▲ ●❄ ❂
❜ ✿
❢ ❝ ❲
❣
tu
❊ ❄❇
● ❉ ❇
y u
❃
u
❅ ❄ ❇
u
❇
tu
❆ ❨ ❉
❇ ❂ ❃
❆❉❊❉❈ ❄
❄ ●❂
❙
u
❵ ❤ ❙
u
✐❥ ❋ ❂
❋ ❉❩❂ ❇
❂ ❃ ❂ ❆❄❇
●❄ ❋❄ ❆❉
❇ ❋
❄ ❅ ❄
❜ ✿
❡ ❝
❃❄ ▲
●❄ ❂ ❜
✿ ❦ ❝
❲ ❬❉
❇ ❋
❄ ❅ ❄
❜ ✿
❡ ❝ ❋
❄❇ ❜
✿ ❧ ❝
❋❂ ❏
u
❇❄ ❆
❄❇ ❄ ●❄ ▼ ❂
❅ ❄
❇ ❂ ❅ ❄ ❂
♠ ❚ ❱ ❯
= 0, yaitu perjalanan kereta api
❭ ❱
didahulukan, sehingga kereta api
■
tiba lebih awal dari kereta api
❍
di stasiun berikutnya. Nilai
❛
juga ditambahkan agar terdapat jarak antarkereta api ketika keluar
dan masuk stasiun. Kendala 14 dan 15 dapat dijelaskan dengan cara yang sama
dengan nilai
♠ ❚
❱ ❯
= 1, yaitu kereta api
❍
berangkat lebih dulu dari
■
.
1 1
,
♥ ♦♣ ♥ q
s
♦q
s
r s
X X
h
12 ;
1, 2, ..., 1;
1, 2, ..., . i
j s q
k m
,
ijk ids
jds
MA X
X h
13 ;
1, 2, ..., 1;
1, 2, ..., . i
j s q
k m
1 1
1 ,
ijk ja s
ia s
M A
X X
h
14 ;
1, 2, ..., 1;
1, 2, ..., . i
j s q
k m
1 ,
ijk jds
ids
M A
X X
h
15 ;
1, 2, ..., 1;
1, 2, ..., . i
j s q
k m
Aturan penyusulan pada kereta api inbound juga dapat dijelaskan dengan cara
yang sama seperti kereta api outbound. Kendala aturan penyusulan pada kereta api
inbound diberikan pada pertaksamaan 16 sampai 19 .
,
ijk ias
jas
MB X
X h
16
; 1,
2, ..., 1; i
j s q
q
, 1, ..., 1.
k m m
1 1
,
ijk id s
jd s
MB X
X h
17
; 1,
2, ..., 1; i
j s q
q
, 1, ..., 1.
k m m
1 ,
ijk jas
ias
M B
X X
h
18
; 1,
2, ..., 1; i
j s q
q
, 1, ..., 1.
k m m
1 1
1 ,
ijk jd s
id s
M B
X X
h
19
; 1,
2, ..., 1; i
j s q
q
, 1, ..., 1.
k m m
Kendala 3 Aturan lama waktu beroperasi
Waktu penggunaan sumber daya pada masalah penjadwalan job-shop secara umum
diberikan sebagai input. Waktu tersebut pada masalah penjadwalan kereta api sama dengan
jarak tempuh dibagi dengan kecepatan rata- ratanya.
Waktu rata-rata
minimum dan maksimum penggunaan suatu petak blok
diberikan pada kendala 20 untuk kereta api outbound dan kendala 21 untuk kereta api
inbound.
1
,
k k
ia s ids
ik ik
d d
X X
v v
1, 2, ..., ; i
r
20
1, 2, ..., ; k
m
1, 2, ..., 1.
s q
1
,
k k
ia s id s
ik ik
d d
X X
v v
21 1,
2, ..., ; i
r r
n
, 1, ..., 1;
k m m
1,
2, ..., 1. s
q q
Kendala 4 Stasiun pemberhentian
Apabila terdapat kereta api yang hanya berhenti di stasiun-stasiun tertentu, terdapat
kendala yang ditambahkan khusus untuk kereta api tersebut, yaitu:
, dan
ias ids
X X
i J
s S
22
Kendala 22 menggambarkan bahwa apabila kereta api tidak berhenti di stasiun ke-s, maka
waktu kedatangan dan keberangkatan kereta api tersebut di stasiun ke-s adalah sama.
Selain itu, sebagai input, waktu tunggu di stasiun tersebut bernilai nol.
Kendala 5 Ketaknegatifan dan biner
Selain kendala-kendala
yang telah
dijelaskan sebelumnya, terdapat kendala ketaknegatifan dan biner. Kedua kendala
tersebut secara berturut-turut didefinisikan sebagai berikut,
, ,
,
is ias
ids
h p X
X
23
,
ijk ijk
A B
bernilai 1 atau 0 24
tt
3.2 Aplikasi Model
