BAB II LANDASAN TEORI
A. FUNGSI
Definisi 1.
Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen
fx di R ditulis dengan simbol f: D
→R. Dengan kata lain jika a
∈D, b, b
’
∈R
dan a, b, a, b
’
∈ f maka b = b
’
. Himpunan D dinamakan daerah asal domain f, dan himpunan R dinamakan
daerah hasil atau jelajah range f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Diagram fungsi f : D
→
R Contoh 1
Dipunyai f: D
→R, D ⊂ R, fx = x
2
+ 5. Tujukan f suatu fungsi.
5
Penyelesaian: Ambil sembarang a, b
∈D dengan a = b. Jelas fa – fb = a
2
+ 5 – b
2
- 5 = a
2
-b
2
= 0. Jadi
, ,
, b
f a
f b
a D
b a
= =
∈ ∀
. Jadi f suatu fungsi.
Contoh 2
Dipunyai f: D
→R, D ⊂ R
2
, fx, y = x
2
+ 2y. Tunjukan f suatu fungsi.
Penyelesaian: Ambil sembarang
, ,
,
2 2
1 1
y x
y x
∈D,
, ,
2 2
1 1
y x
y x
=
. Jelas
2 1
x x
=
dan
2 1
y y
=
Jelas 2
2 ,
,
2 2
2 1
2 1
2 2
1 1
y x
y x
y x
f y
x f
+ −
+ =
− 2
2
1 2
1 1
2 1
y x
y x
+ −
+ =
= 0. Jadi
, ,
, ,
, ,
, ,
,
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
y x
f y
x f
y x
y x
D y
x y
x =
= ∈
∀
. Jadi f suatu fungsi.
B. LIMIT FUNGSI
Definisi 2.
Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit fx untuk x
mendekati a adalah L, ditulis:
L x
f
a x
=
→
lim δ
ε δ
ε
− −
∋ ∃
∀ ⇔
a x
apabila L
x f
.
Contoh 3
Buktikan 22 2
4 lim
5
= +
→
x
x
. Bukti:
Tulis fx = 4x+2. Ambil sebarang
ε .
Pilih 4
ε δ = .
Dipunyai δ
− 5
x
Jelas
22 2
4 22
− +
= −
x x
f
=
20 4
− x
=
5 4
− x
δ
4
4 4
ε
= ε .
Jadi δ
ε δ
ε
− −
∋ ∃
∀ 5
22 x
apabila x
f
Jadi 22
2 4
lim
5
= +
→
x
x
. C.
KEKONTINUAN FUNGSI Definisi 3.
Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika
lim a
f x
f
a x
=
→
.
Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu fungsi f kontinu di a, yakni:
a. fa ada
b. lim
x f
a x
→
ada c.
lim a
f x
f
a x
=
→
Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a
Contoh 4
Buktikan fungsi f dengan fx = x
2
+ 2 kontinu di x = 1. Bukti:
Dipunyai fx = x
2
+ 2. Jelas f1 = 1+2 = 3 dan
3 2
1 2
lim lim
2 1
1
= +
= +
=
→ →
x x
f
x x
. Jadi 3
1 lim
1
= =
→
f x
f
x
. Jadi f kontinu di x = 1.
D. TURUNAN DIFERENSIAL
Kategori