Gambar 9. Grafik fungsi hx
x f
sec =
B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK
Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:
Teorema 4.1
1 x
dx x
d cosh
sinh =
2 x
dx x
d sinh
cosh =
3 x
h dx
x d
2
sec tanh
=
4 x
h dx
x d
2
csc coth
− =
5 hx
x dx
hx d
sec .
tanh sec
− =
. Bukti:
1 Dipunyai
2 sinh
x x
e e
x
−
− =
.
Jelas dx
e e
d dx
x d
x x
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ −
=
−
2 sinh
dx e
e d
x x
2 1
−
− =
2 1
x x
e e
−
+ =
x cosh
=
. Jadi
x dx
x d
cosh sinh
= .
2 Dipunyai
2 cosh
x x
e e
−
+ =
.
Jelas dx
e e
d dx
x d
x x
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ +
=
−
2 cosh
dx e
e d
x x
2 1
−
+ =
2 1
x x
e e
−
− =
x sinh
=
. Jadi
x dx
x d
sinh cosh
= .
3 Dipunyai
2 sinh
x x
e e
x
−
− =
dan 2
cosh
x x
e e
−
+ =
.
Jelas dx
x x
d dx
x d
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= cosh
sinh tanh
dx e
e e
e d
x x
x x
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
=
− −
2 x
x x
x x
x x
x x
x
e e
dx e
e d
e e
dx e
e d
e e
− −
− −
−
+ +
− −
− +
=
2 x
x x
x x
x x
x x
x
e e
e e
e e
e e
e e
− −
− −
−
+ −
− −
+ +
=
2 2
2 x
x x
x x
x
e e
e e
e e
− −
−
+ −
− +
=
2 2
1
x x
x x
e e
e e
− −
+ −
− =
2
1 ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
− −
=
− −
x x
x x
e e
e e
x
2
tanh 1
− =
x h
2
sec =
. Jadi
x h
dx x
d
2
sec tanh
= .
4 Dipunyai
2 sinh
x x
e e
x
−
− =
dan 2
cosh
x x
e e
−
+ =
.
Jelas dx
x x
d dx
x d
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= sinh
cosh coth
dx e
e e
e d
x x
x x
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
=
− −
2 x
x x
x x
x x
x x
x
e e
dx e
e d
e e
dx e
e d
e e
− −
− −
−
− −
+ −
+ −
=
2 x
x x
x x
x x
x x
x
e e
e e
e e
e e
e e
− −
− −
−
− +
+ −
− −
=
2 2
2 x
x x
x x
x
e e
e e
e e
− −
−
− +
− −
=
2 2
1
x x
x x
e e
e e
− −
− +
− =
2
1 ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
=
− −
x x
x x
e e
e e
x
2
coth 1
− =
x h
2
csc −
= .
Jadi x
h dx
x d
2
csc coth
− =
.
5 Dipunyai
2 cosh
x x
e e
−
+ =
.
Jelas dx
x d
dx hx
d ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
cosh 1
sec
dx e
e d
x x
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
−
2
2
2 2
x x
x x
x x
e e
dx e
e d
dx d
e e
− −
−
+ +
− +
=
2
2
x x
x x
e e
e e
− −
+ −
− =
2
x x
x x
x x
e e
e e
e e
− −
−
+ +
− −
=
hx x sec
. tanh
− =
. Jadi
hx x
dx hx
d sec
. tanh
sec −
= .
C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan
1
sinh
−
,
1
cosh
−
,
1
tanh
−
,
1
coth
−
, dan
1
sec
−
h , didefinisikan sebagai 1
y x
x y
sinh sinh
1
= ⇔
=
−
, 2
y x
x y
cosh cosh
1
= ⇔
=
−
, 3
y x
x y
tanh tanh
1
= ⇔
=
−
, 4
y x
x y
coth coth
1
= ⇔
=
−
, dan 5
hy x
x h
y sec
sec
1
= ⇔
=
−
. Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian
berikut. 1
Invers Fungsi Sinus Hiperbolik Dipunyai
R R
f →
: ,
x x
f sinh
= .
Ambil sembarang
2 1
2 1
, ,
x x
R x
x ≠
∈
. Jelas
2 1
2 1
sinh sinh
x x
x f
x f
− =
−
2 2
2 2
1 1
x x
x x
e e
e e
− −
− −
− =
2
1 2
2 1
≠ −
+ −
=
− −
x x
x x
e e
e e
. Jadi fungsi f satu-satu.
Berikutnya ditunjukan f fungsi pada. Ambil sembarang
R x
∈
. Tulis
y x
sinh =
, untuk suatu R
y ∈ .
Jelas 2
y y
e e
x
−
− =
y y
e e
x
−
− =
⇔ 2 2
y y
y y
e e
e xe
−
− =
⇔ 1
2
2
− =
⇔
y y
e xe
1 2
2
= −
− ⇔
x e
e
y y
[ ]
1 2
2 2
2
= +
− +
− ⇔
x x
x e
e
y y
1
2 2
2
= +
− −
⇔ x
x e
y
2 2
1 1
x x
e x
x e
y y
+ +
= ∨
+ −
= ⇔
. Jelas
1 ln
1
2 2
x x
y x
x e
y
+ +
= ⇔
+ +
= .
Jadi 1
ln
2
y f
x R
x x
y R
x =
∋ ∈
+ +
= ∃
∈ ∀
. Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi R
R f
→ :
, x
x f
sinh =
memiliki invers. Jelas
y x
x y
sinh sinh
1
= ⇔
=
−
Jadi 1
ln sinh
2 1
x x
x +
+ =
−
.
Gambar grafik fungsi R
R f
→ :
, x
x f
1
sinh
−
= diberikan pada
Gambar 10.
Gambar 10. Grafik fungsi x
x f
1
sinh
−
= 2
Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik Dipunyai
, 1
[ :
∞ →
R f
, x
x f
cosh =
. Ambil
R x
x ∈
= −
= 1
, 1
2 1
. Jelas
2 1
x x
≠
. akan tetapi
1 2
1
2 1
1
x f
f e
e f
x f
= =
+ =
− =
−
. Jadi f bukan fungsi satu-satu.
Jadi fungsi ,
1 [
: ∞
→ R
f ,
x x
f cosh
= tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai ,
1 [
, [
: ∞
→ ∞
f ,
x x
f cosh
= .
Grafik fungsi ,
1 [
, [
: ∞
→ ∞
f ,
x x
f cosh
= diberikan pada
Gambar 11.
Gambar 11. Grafik fungsi ,
1 [
, [
: ∞
→ ∞
f x
x f
cosh =
Jelas 0 x
f ,
[ ∞
∈ ∀ x
. Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.
Jadi fungsi ,
1 [
, [
: ∞
→ ∞
f ,
x x
f cosh
= memiliki invers.
Ambil sembarang ,
[ ∞
∈ x
. Tulis
y x
cosh =
, untuk suatu ,
1 [
∞ ∈
y .
Jelas 2
y y
e e
x
−
+ =
y y
e e
x
−
+ =
⇔ 2 2
y y
y y
e e
e xe
−
+ =
⇔
1 2
2
+ =
⇔
y y
e xe
1 2
2
= +
− ⇔
x e
e
y y
[ ]
1 2
2 2
2
= −
− +
− ⇔
x x
x e
e
y y
1
2 2
2
= −
− −
⇔ x
x e
y
1 1
2 2
− +
= ∨
− −
= ⇔
x x
e x
x e
y y
. Jelas
1 ln
1
2 2
− +
= ⇔
− +
= x
x y
x x
e
y
. Jadi
, 1
[ 1
ln ,
[
2
y f
x x
x y
x =
∋ ∞
∈ −
+ =
∃ ∞
∈ ∀
. Jelas
y x
x y
cosh cosh
1
= ⇔
=
−
. Jadi
1 ln
cosh
2 1
− +
=
−
x x
x .
Gambar grafik fungsi ,
[ ,
1 [
: ∞
→ ∞
f ,
x x
f
1
cosh
−
= diberikan
pada Gambar 12.
Gambar 12. Grafik fungsi x
x f
1
cosh
−
=
3 Invers Fungsi Tangen Hiperbolik
Dipunyai fungsi 1
, 1
: −
→ R
f ,
x x
f tanh
= .
Ambil sembarang
2 1
2 1
, ,
x x
R x
x ≠
∈
. Jelas
2 1
2 1
tanh tanh
x x
x f
x f
− =
−
2 2
2 2
1 1
1 1
x x
x x
x x
x x
e e
e e
e e
e e
− −
− −
+ −
− +
− =
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
e e
e e
e e
e e
e e
e e
− −
− −
− −
+ +
+ −
− +
− =
≠
. Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang
R x
∈
. Tulis
y x
tanh =
, untuk suatu 1
, 1
− ∈
y .
Jelas
y y
y y
e e
e e
x
− −
+ −
=
y y
y y
e e
e e
x
− −
− =
+ ⇔
y y
y y
y y
e e
e e
e xe
− −
− =
+ ⇔
1 1
2 2
− =
+ ⇔
y y
e e
x 1
1
2 2
= +
− −
⇔
y y
e x
e 1
2 2
= −
− −
⇔ x
xe e
y y
1
2 2
= +
− −
⇔ x
e x
e
y y
1 1
2
+ =
− ⇔
x e
x
y
x x
e
y
− +
= ⇔
1 1
2
x x
e
y
− +
= ⇔
1 1
ln ln
2
x x
e y
− +
= ⇔
1 1
ln ln
. .
2
x x
y −
+ =
⇔ 1
1 ln
. 2
x x
y −
+ =
⇔ 1
1 ln
2 1
.
Jadi 1
, 1
1 1
ln 2
1 y
f x
x x
y R
x =
∋ −
∈ −
+ =
∃ ∈
∀ .
Jadi f suatu fungsi pada. Jadi fungsi
11 :
− →
R f
, x
x f
tanh =
memiliki invers. Jelas
y x
x y
tanh tanh
1
= ⇔
=
−
. Jadi
x x
x −
+ =
−
1 1
ln 2
1 tanh
1
. Gambar grafik fungsi
, 1
, 1
: ∞
−∞ →
− f
, x
x f
1
tanh
−
= diberikan pada Gambar 13.
Gambar 13. Grafik fungsi x
x f
1
tanh
−
= 4
Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik Dipunyai
1 ,
: −
−∞ →
R f
, 1
∞ ∪
, x
x f
coth =
. Ambil sembarang
2 1
2 1
, ,
x x
R x
x ≠
∈
. Jelas
2 1
2 1
coth coth
x x
x f
x f
− =
−
2 2
2 2
1 1
1 1
x x
x x
x x
x x
e e
e e
e e
e e
− −
− −
− +
− −
+ =
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
e e
e e
e e
e e
e e
e e
− −
− −
− −
− −
− +
− −
+ =
≠
. Jadi fungsi f satu-satu.
Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang
R x
∈
. Tulis
y x
coth =
, untuk suatu 1
, −
−∞ ∈
y ,
1 ∞
∪ .
Jelas
y y
y y
e e
e e
x
− −
− +
=
y y
y y
e e
e e
x
− −
+ =
− ⇔
y y
y y
y y
e e
e e
e xe
− −
+ =
− ⇔
1 1
2 2
+ =
− ⇔
y y
e e
x 1
1
2 2
= −
− +
⇔
y y
e x
e 1
2 2
= +
+ −
⇔ x
xe e
y y
1
2 2
= +
+ −
⇔ x
e x
e
y y
1 1
2
+ −
= −
⇔ x
e x
y
x x
e
y
− −
− =
⇔ 1
1
2
1 1
2
+ −
− −
= ⇔
x x
e
y
1 1
2
− +
= ⇔
x x
e
y
1 1
ln ln
2
− +
= ⇔
x x
e
y
1 1
ln ln
. .
2 −
+ =
⇔ x
x e
y
1 1
ln .
2 −
+ =
⇔ x
x y
1 1
ln 2
1 −
+ =
⇔ x
x y
.
Jadi 1
, 1
1 ln
2 1
− −∞
∈ −
+ =
∃ ∈
∀ x
x y
R x
, 1
y f
x =
∋ ∞
∪ .
Jadi f suatu fungsi pada.
Jadi fungsi 1
, :
− −∞
→ R
f ,
1 ∞
∪ ,
x x
f coth
= memiliki invers.
Jelas y
x x
y coth
coth
1
= ⇔
=
−
. Jadi
x x
x −
+ =
−
1 1
ln 2
1 coth
1
. Gambar grafik fungsi
, ,
1 1
, :
∞ −∞
→ ∞
∪ −
−∞ f
, x
x f
1
coth
−
= diberikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Grafik fungsi x
x f
1
coth
−
= 5
Invers Fungsi Secan Hiperbolik Dipunyai ]
1 ,
: →
R f
, hx
x f
sec =
. Ambil
R x
x ∈
= −
= 1
, 1
2 1
. Jelas
2 1
x x
≠
. akan tetapi
1 2
1
2 1
1
x f
f e
e f
x f
= =
+ =
− =
−
.
Jadi f bukan fungsi satu-satu. Jadi fungsi
] 1
, :
→ R
f ,
hx x
f sec
= tidak memiliki invers.
Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai ]
1 ,
, [
: →
∞ f
, hx
x f
sec =
. Grafik fungsi
] 1
, ,
[ :
→ ∞
f ,
hx x
f sec
= diberikan pada
Gambar 15.
Gambar 15. Grafik fungsi ]
1 ,
, [
: →
∞ f
hx x
f sec
= Jelas 0
x f
, [
∞ ∈
∀ x .
Jadi f monoton turun pada daerah asalnya. Jadi fungsi
] 1
, ,
[ :
→ ∞
f ,
hx x
f sec
= memiliki invers.
Ambil sembarang ,
[ ∞
∈ x
. Tulis
hx y
sec =
, untuk suatu ]
1 ,
∈ y
.
Jelas
y y
e e
x
−
+ =
2
2 =
+ ⇔
−
y y
e e
x
y y
y y
e e
e xe
2 =
+ ⇔
−
y y
e e
x
2 2
2 1
= +
⇔ 2
2 2
= −
+ ⇔
y y
e x
xe 2
2
= +
− ⇔
x e
e x
y y
x x
x e
y
2 .
4 4
2
12
− ±
= ⇔
x x
e
y
2 4
4 2
2 12
− ±
= ⇔
x x
e
y
2 1
4 2
2 12
− ±
= ⇔
x x
e
y
2 1
2 2
2 12
− ±
= ⇔
x x
e
y
1 1
2 12
− ±
= ⇔
x x
e
y 2
1
1 1
− +
= ⇔
atau
x x
e
y 2
2
1 1
− −
=
.
Jelas ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
⇔ −
+ =
x x
y x
x e
y 2
2
1 1
ln 1
1 .
Jadi ]
1 ,
1 1
ln ,
[
2
∈ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
∃ ∞
∈ ∀
x x
y x
y f
x =
∋ .
Jelas hy
x x
h y
sec sec
1
= ⇔
=
−
.
Jadi ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
−
x x
x h
2 1
1 1
ln sec
.
Gambar grafik fungsi ,
[ ]
1 ,
: ∞
→ f
, x
h x
f
1
sec
−
= diberikan
pada Gambar 16.
Gambar 16. Grafik fungsi x
h x
f
1
sec
−
= Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.
Teorema 4.2
1
2 1
1 ln
sinh x
x x
+ +
=
−
,
∞ ∞
− x
, 2
1 ln
cosh
2 1
− +
=
−
x x
x ,
1 ≥
x
, 3
x x
x −
+ =
−
1 1
ln 2
1 tanh
1
,
1 1
− x
,
4 1
1 ln
2 1
coth
1
− +
=
−
x x
x ,
1 x
, dan
5 ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
−
x x
x h
2 1
1 1
ln sec
,
1 ≤
x
.
D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK