TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Gambar 9. Grafik fungsi hx x f sec =

B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK

Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh: Teorema 4.1 1 x dx x d cosh sinh = 2 x dx x d sinh cosh = 3 x h dx x d 2 sec tanh = 4 x h dx x d 2 csc coth − = 5 hx x dx hx d sec . tanh sec − = . Bukti: 1 Dipunyai 2 sinh x x e e x − − = . Jelas dx e e d dx x d x x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = − 2 sinh dx e e d x x 2 1 − − = 2 1 x x e e − + = x cosh = . Jadi x dx x d cosh sinh = . 2 Dipunyai 2 cosh x x e e − + = . Jelas dx e e d dx x d x x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = − 2 cosh dx e e d x x 2 1 − + = 2 1 x x e e − − = x sinh = . Jadi x dx x d sinh cosh = . 3 Dipunyai 2 sinh x x e e x − − = dan 2 cosh x x e e − + = . Jelas dx x x d dx x d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = cosh sinh tanh dx e e e e d x x x x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − = − − 2 x x x x x x x x x x e e dx e e d e e dx e e d e e − − − − − + + − − − + = 2 x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e − − − − − + − − − + + = 2 2 2 x x x x x x e e e e e e − − − + − − + = 2 2 1 x x x x e e e e − − + − − = 2 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − − = − − x x x x e e e e x 2 tanh 1 − = x h 2 sec = . Jadi x h dx x d 2 sec tanh = . 4 Dipunyai 2 sinh x x e e x − − = dan 2 cosh x x e e − + = . Jelas dx x x d dx x d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = sinh cosh coth dx e e e e d x x x x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + = − − 2 x x x x x x x x x x e e dx e e d e e dx e e d e e − − − − − − − + − + − = 2 x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e − − − − − − + + − − − = 2 2 2 x x x x x x e e e e e e − − − − + − − = 2 2 1 x x x x e e e e − − − + − = 2 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − = − − x x x x e e e e x 2 coth 1 − = x h 2 csc − = . Jadi x h dx x d 2 csc coth − = . 5 Dipunyai 2 cosh x x e e − + = . Jelas dx x d dx hx d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = cosh 1 sec dx e e d x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − 2 2 2 2 x x x x x x e e dx e e d dx d e e − − − + + − + = 2 2 x x x x e e e e − − + − − = 2 x x x x x x e e e e e e − − − + + − − = hx x sec . tanh − = . Jadi hx x dx hx d sec . tanh sec − = .

C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan 1 sinh − , 1 cosh − , 1 tanh − , 1 coth − , dan 1 sec − h , didefinisikan sebagai 1 y x x y sinh sinh 1 = ⇔ = − , 2 y x x y cosh cosh 1 = ⇔ = − , 3 y x x y tanh tanh 1 = ⇔ = − , 4 y x x y coth coth 1 = ⇔ = − , dan 5 hy x x h y sec sec 1 = ⇔ = − . Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian berikut. 1 Invers Fungsi Sinus Hiperbolik Dipunyai R R f → : , x x f sinh = . Ambil sembarang 2 1 2 1 , , x x R x x ≠ ∈ . Jelas 2 1 2 1 sinh sinh x x x f x f − = − 2 2 2 2 1 1 x x x x e e e e − − − − − = 2 1 2 2 1 ≠ − + − = − − x x x x e e e e . Jadi fungsi f satu-satu. Berikutnya ditunjukan f fungsi pada. Ambil sembarang R x ∈ . Tulis y x sinh = , untuk suatu R y ∈ . Jelas 2 y y e e x − − = y y e e x − − = ⇔ 2 2 y y y y e e e xe − − = ⇔ 1 2 2 − = ⇔ y y e xe 1 2 2 = − − ⇔ x e e y y [ ] 1 2 2 2 2 = + − + − ⇔ x x x e e y y 1 2 2 2 = + − − ⇔ x x e y 2 2 1 1 x x e x x e y y + + = ∨ + − = ⇔ . Jelas 1 ln 1 2 2 x x y x x e y + + = ⇔ + + = . Jadi 1 ln 2 y f x R x x y R x = ∋ ∈ + + = ∃ ∈ ∀ . Jadi f suatu fungsi pada. Jadi R R f → : , x x f sinh = memiliki invers. Jelas y x x y sinh sinh 1 = ⇔ = − Jadi 1 ln sinh 2 1 x x x + + = − . Gambar grafik fungsi R R f → : , x x f 1 sinh − = diberikan pada Gambar 10. Gambar 10. Grafik fungsi x x f 1 sinh − = 2 Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik Dipunyai , 1 [ : ∞ → R f , x x f cosh = . Ambil R x x ∈ = − = 1 , 1 2 1 . Jelas 2 1 x x ≠ . akan tetapi 1 2 1 2 1 1 x f f e e f x f = = + = − = − . Jadi f bukan fungsi satu-satu. Jadi fungsi , 1 [ : ∞ → R f , x x f cosh = tidak memiliki invers. Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai , 1 [ , [ : ∞ → ∞ f , x x f cosh = . Grafik fungsi , 1 [ , [ : ∞ → ∞ f , x x f cosh = diberikan pada Gambar 11. Gambar 11. Grafik fungsi , 1 [ , [ : ∞ → ∞ f x x f cosh = Jelas 0 x f , [ ∞ ∈ ∀ x . Jadi f monoton naik pada daerah asalnya. Jadi fungsi , 1 [ , [ : ∞ → ∞ f , x x f cosh = memiliki invers. Ambil sembarang , [ ∞ ∈ x . Tulis y x cosh = , untuk suatu , 1 [ ∞ ∈ y . Jelas 2 y y e e x − + = y y e e x − + = ⇔ 2 2 y y y y e e e xe − + = ⇔ 1 2 2 + = ⇔ y y e xe 1 2 2 = + − ⇔ x e e y y [ ] 1 2 2 2 2 = − − + − ⇔ x x x e e y y 1 2 2 2 = − − − ⇔ x x e y 1 1 2 2 − + = ∨ − − = ⇔ x x e x x e y y . Jelas 1 ln 1 2 2 − + = ⇔ − + = x x y x x e y . Jadi , 1 [ 1 ln , [ 2 y f x x x y x = ∋ ∞ ∈ − + = ∃ ∞ ∈ ∀ . Jelas y x x y cosh cosh 1 = ⇔ = − . Jadi 1 ln cosh 2 1 − + = − x x x . Gambar grafik fungsi , [ , 1 [ : ∞ → ∞ f , x x f 1 cosh − = diberikan pada Gambar 12. Gambar 12. Grafik fungsi x x f 1 cosh − = 3 Invers Fungsi Tangen Hiperbolik Dipunyai fungsi 1 , 1 : − → R f , x x f tanh = . Ambil sembarang 2 1 2 1 , , x x R x x ≠ ∈ . Jelas 2 1 2 1 tanh tanh x x x f x f − = − 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x e e e e e e e e − − − − + − − + − = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e − − − − − − + + + − − + − = ≠ . Jadi fungsi f satu-satu. Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang R x ∈ . Tulis y x tanh = , untuk suatu 1 , 1 − ∈ y . Jelas y y y y e e e e x − − + − = y y y y e e e e x − − − = + ⇔ y y y y y y e e e e e xe − − − = + ⇔ 1 1 2 2 − = + ⇔ y y e e x 1 1 2 2 = + − − ⇔ y y e x e 1 2 2 = − − − ⇔ x xe e y y 1 2 2 = + − − ⇔ x e x e y y 1 1 2 + = − ⇔ x e x y x x e y − + = ⇔ 1 1 2 x x e y − + = ⇔ 1 1 ln ln 2 x x e y − + = ⇔ 1 1 ln ln . . 2 x x y − + = ⇔ 1 1 ln . 2 x x y − + = ⇔ 1 1 ln 2 1 . Jadi 1 , 1 1 1 ln 2 1 y f x x x y R x = ∋ − ∈ − + = ∃ ∈ ∀ . Jadi f suatu fungsi pada. Jadi fungsi 11 : − → R f , x x f tanh = memiliki invers. Jelas y x x y tanh tanh 1 = ⇔ = − . Jadi x x x − + = − 1 1 ln 2 1 tanh 1 . Gambar grafik fungsi , 1 , 1 : ∞ −∞ → − f , x x f 1 tanh − = diberikan pada Gambar 13. Gambar 13. Grafik fungsi x x f 1 tanh − = 4 Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik Dipunyai 1 , : − −∞ → R f , 1 ∞ ∪ , x x f coth = . Ambil sembarang 2 1 2 1 , , x x R x x ≠ ∈ . Jelas 2 1 2 1 coth coth x x x f x f − = − 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x e e e e e e e e − − − − − + − − + = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e − − − − − − − − − + − − + = ≠ . Jadi fungsi f satu-satu. Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang R x ∈ . Tulis y x coth = , untuk suatu 1 , − −∞ ∈ y , 1 ∞ ∪ . Jelas y y y y e e e e x − − − + = y y y y e e e e x − − + = − ⇔ y y y y y y e e e e e xe − − + = − ⇔ 1 1 2 2 + = − ⇔ y y e e x 1 1 2 2 = − − + ⇔ y y e x e 1 2 2 = + + − ⇔ x xe e y y 1 2 2 = + + − ⇔ x e x e y y 1 1 2 + − = − ⇔ x e x y x x e y − − − = ⇔ 1 1 2 1 1 2 + − − − = ⇔ x x e y 1 1 2 − + = ⇔ x x e y 1 1 ln ln 2 − + = ⇔ x x e y 1 1 ln ln . . 2 − + = ⇔ x x e y 1 1 ln . 2 − + = ⇔ x x y 1 1 ln 2 1 − + = ⇔ x x y . Jadi 1 , 1 1 ln 2 1 − −∞ ∈ − + = ∃ ∈ ∀ x x y R x , 1 y f x = ∋ ∞ ∪ . Jadi f suatu fungsi pada. Jadi fungsi 1 , : − −∞ → R f , 1 ∞ ∪ , x x f coth = memiliki invers. Jelas y x x y coth coth 1 = ⇔ = − . Jadi x x x − + = − 1 1 ln 2 1 coth 1 . Gambar grafik fungsi , , 1 1 , : ∞ −∞ → ∞ ∪ − −∞ f , x x f 1 coth − = diberikan pada Gambar 14. Gambar 14. Grafik fungsi x x f 1 coth − = 5 Invers Fungsi Secan Hiperbolik Dipunyai ] 1 , : → R f , hx x f sec = . Ambil R x x ∈ = − = 1 , 1 2 1 . Jelas 2 1 x x ≠ . akan tetapi 1 2 1 2 1 1 x f f e e f x f = = + = − = − . Jadi f bukan fungsi satu-satu. Jadi fungsi ] 1 , : → R f , hx x f sec = tidak memiliki invers. Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai ] 1 , , [ : → ∞ f , hx x f sec = . Grafik fungsi ] 1 , , [ : → ∞ f , hx x f sec = diberikan pada Gambar 15. Gambar 15. Grafik fungsi ] 1 , , [ : → ∞ f hx x f sec = Jelas 0 x f , [ ∞ ∈ ∀ x . Jadi f monoton turun pada daerah asalnya. Jadi fungsi ] 1 , , [ : → ∞ f , hx x f sec = memiliki invers. Ambil sembarang , [ ∞ ∈ x . Tulis hx y sec = , untuk suatu ] 1 , ∈ y . Jelas y y e e x − + = 2 2 = + ⇔ − y y e e x y y y y e e e xe 2 = + ⇔ − y y e e x 2 2 2 1 = + ⇔ 2 2 2 = − + ⇔ y y e x xe 2 2 = + − ⇔ x e e x y y x x x e y 2 . 4 4 2 12 − ± = ⇔ x x e y 2 4 4 2 2 12 − ± = ⇔ x x e y 2 1 4 2 2 12 − ± = ⇔ x x e y 2 1 2 2 2 12 − ± = ⇔ x x e y 1 1 2 12 − ± = ⇔ x x e y 2 1 1 1 − + = ⇔ atau x x e y 2 2 1 1 − − = . Jelas ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⇔ − + = x x y x x e y 2 2 1 1 ln 1 1 . Jadi ] 1 , 1 1 ln , [ 2 ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ∃ ∞ ∈ ∀ x x y x y f x = ∋ . Jelas hy x x h y sec sec 1 = ⇔ = − . Jadi ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − x x x h 2 1 1 1 ln sec . Gambar grafik fungsi , [ ] 1 , : ∞ → f , x h x f 1 sec − = diberikan pada Gambar 16. Gambar 16. Grafik fungsi x h x f 1 sec − = Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut. Teorema 4.2 1 2 1 1 ln sinh x x x + + = − , ∞ ∞ − x , 2 1 ln cosh 2 1 − + = − x x x , 1 ≥ x , 3 x x x − + = − 1 1 ln 2 1 tanh 1 , 1 1 − x , 4 1 1 ln 2 1 coth 1 − + = − x x x , 1 x , dan 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − x x x h 2 1 1 1 ln sec , 1 ≤ x .

D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK