Fungsi Logaritma Asli Definisi 10.

2. Fungsi Logaritma Asli Definisi 10.

Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh dt t x x ∫ = 1 1 ln x 0. Definisi 11. Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang ∞ , , dengan x x f ln = , turunan dari f didefinisikan sebagai , 1 ln x dx x d = x 0. Definisi 12. Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I, dengan u u ln = , maka turunanya didefinisikan sebagai , . 1 ln dx du u dx u d = u 0. Contoh 16 Tentukan turunan dari: a ln 2 x x x f + = dan b 1 ln 2 x x x f + = . Penyelesaian: a Jelas dx x x d x f ] [ln 2 + = dx x x d x x d x x d . ] [ln 2 2 2 + + + = 2 1 . 1 2 x x x + + = 2 1 2 x x x + + = . b Jelas dx x f d x f ] [ = dx x x d ] 1 ln [ 2 + = dx x d x dx x d x ] 1 [ln . . 1 ln 2 2 + + + = dx x d x d x d x x 1 . 1 ] 1 [ln . 1 ln 2 2 2 2 + + + + + = x x x x 2 . 1 1 . 1 ln 2 2 + + + = 1 2 1 ln 2 2 2 x x x + + + = . Teorema 2.6 Jika R b a ∈ , , a , b , dan r rasional maka: 1 b a ab ln ln ln + = 2 b a b a ln ln ln − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , 3 a r a r ln ln = . Bukti: 1 Ambil sembarang x . Pilih ax x f ln = dan x x g ln = . Jelas x a ax dx ax d ax d ax d dx x f d 1 . 1 ln ] [ = = = dan x dx x d dx x g d 1 ln ] [ = = . Jadi C x g x f + = untuk suatu konstanta C. Jelas C a C g f = ⇔ + = ln 1 1 . Jadi a x g x f ln + = a x ax ln ln ln + = ⇔ . Pilih b x = . Jelas b a ab ln ln ln + = . 2 Dipunyai b a ab ln ln ln + = . Pilih b a 1 = . Jelas 1 ln . 1 ln ln 1 ln = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + b b b b . Jadi b b b b ln ln ln 1 ln 1 ln − = − = − = . Jadi b a b a b a b a ln ln 1 ln ln 1 . ln ln − = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . 3 Dipunyai R x e a a x x ∈ ∀ = , ln . . Pilih r bilangan rasional. Jelas R r ∈ . Jadi a r r e a ln . = . Jadi a r r e a ln . ln ln = e a r a r ln . ln . ln = ⇔ 1 . ln . ln a r a r = ⇔ a r a r ln . ln = ⇔ . Jadi 0 , , ln . ln ∈ ∀ = a R a a r a r dan r bilangan rasional. Definisi 13. Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan 1 ln = e . Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai 12 desimal yakni 59 7182818284 , 2 ≈ e . Berdasarkan teorema 2.6 point 3 diperoleh n n e n e n = = = 1 . ln ln . Teorema 2.7 Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan ∫ + = C x dx x ln 1 , ≠ x . Bukti: Ambil sembarang R x ∈ , ≠ x . Kasus x . Jelas x x = Jadi x x dx x d x d x d dx x d dx x d 1 1 . 1 . ln ln ln = = = = . Kasus x . Jelas x x − = . Jelas x x dx x d x d x d dx x d dx x d 1 1 . 1 . ln ln ln = − − = − − − = − = . Contoh 17 Tentukan ∫ + + dx x x x sin cos 1 , sin ≠ + x x . Penyelesaian: Tulis x x u sin + = Jelas dx x du cos 1 + = . Jelas ∫ ∫ = + + u du dx x x x sin cos 1 C u + = ln C x x + + = sin ln .

3. Fungsi Eksponen Definisi 14.