2. Fungsi Logaritma Asli Definisi 10.
Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh dt
t x
x
∫
=
1
1 ln
x 0.
Definisi 11.
Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang
∞ ,
, dengan x
x f
ln =
, turunan dari f didefinisikan sebagai ,
1 ln
x dx
x d
= x 0.
Definisi 12.
Dipunyai
u
fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I, dengan
u u
ln =
, maka turunanya didefinisikan sebagai ,
. 1
ln dx
du u
dx u
d =
u 0.
Contoh 16
Tentukan turunan dari: a ln
2
x x
x f
+ =
dan b 1
ln
2
x x
x f
+ =
. Penyelesaian:
a Jelas
dx x
x d
x f
] [ln
2
+ =
dx x
x d
x x
d x
x d
. ]
[ln
2 2
2
+ +
+ =
2 1
. 1
2
x x
x +
+ =
2 1
2
x x
x +
+ =
.
b Jelas
dx x
f d
x f
] [
=
dx x
x d
] 1
ln [
2
+ =
dx x
d x
dx x
d x
] 1
[ln .
. 1
ln
2 2
+ +
+ =
dx x
d x
d x
d x
x 1
. 1
] 1
[ln .
1 ln
2 2
2 2
+ +
+ +
+ =
x x
x x
2 .
1 1
. 1
ln
2 2
+ +
+ =
1 2
1 ln
2 2
2
x x
x +
+ +
= .
Teorema 2.6
Jika R
b a
∈ ,
,
a
,
b
, dan r rasional maka: 1
b a
ab ln
ln ln
+ =
2 b
a b
a ln
ln ln
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
,
3 a
r a
r
ln ln
= .
Bukti: 1
Ambil sembarang
x
. Pilih
ax x
f ln
= dan
x x
g ln
= .
Jelas x
a ax
dx ax
d ax
d ax
d dx
x f
d 1
. 1
ln ]
[ =
= =
dan
x dx
x d
dx x
g d
1 ln
] [
= =
. Jadi
C x
g x
f +
= untuk suatu konstanta C.
Jelas C
a C
g f
= ⇔
+ =
ln 1
1 .
Jadi a
x g
x f
ln +
=
a x
ax ln
ln ln
+ =
⇔
. Pilih
b x
=
. Jelas
b a
ab ln
ln ln
+ =
. 2
Dipunyai
b a
ab ln
ln ln
+ =
. Pilih
b a
1 = .
Jelas 1
ln .
1 ln
ln 1
ln =
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
+ b
b b
b .
Jadi b
b b
b ln
ln ln
1 ln
1 ln
− =
− =
− =
.
Jadi b
a b
a b
a b
a ln
ln 1
ln ln
1 .
ln ln
− =
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ .
3 Dipunyai
R x
e a
a x
x
∈ ∀
= ,
ln .
. Pilih r bilangan rasional.
Jelas R
r ∈ .
Jadi
a r
r
e a
ln .
= .
Jadi
a r
r
e a
ln .
ln ln
= e
a r
a
r
ln .
ln .
ln =
⇔ 1
. ln
. ln
a r
a
r
= ⇔
a r
a
r
ln .
ln =
⇔ .
Jadi 0 ,
, ln
. ln
∈ ∀
= a
R a
a r
a
r
dan r bilangan rasional.
Definisi 13.
Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan
1 ln
= e
. Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai
12 desimal yakni 59
7182818284 ,
2 ≈
e .
Berdasarkan teorema 2.6 point 3 diperoleh n
n e
n e
n
= =
= 1
. ln
ln .
Teorema 2.7
Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan
∫
+ =
C x
dx x
ln 1
,
≠ x
. Bukti:
Ambil sembarang
R x
∈
,
≠ x
. Kasus
x
. Jelas
x x
=
Jadi x
x dx
x d
x d
x d
dx x
d dx
x d
1 1
. 1
. ln
ln ln
= =
= =
. Kasus
x
. Jelas
x x
− =
.
Jelas x
x dx
x d
x d
x d
dx x
d dx
x d
1 1
. 1
. ln
ln ln
= −
− =
− −
− =
− =
.
Contoh 17
Tentukan
∫
+ +
dx x
x x
sin cos
1 ,
sin ≠
+ x
x
.
Penyelesaian: Tulis
x x
u sin
+ =
Jelas dx
x du
cos 1
+ =
. Jelas
∫ ∫
= +
+ u
du dx
x x
x sin
cos 1
C u
+ = ln
C x
x +
+ =
sin ln
.
3. Fungsi Eksponen Definisi 14.