Graf Primitif Jarang Dengan Scrambling Index 1
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING
INDEX 1
SKRIPSI
Oleh
Nadia Vela Walni
100803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING
INDEX 1
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
Nadia Vela Walni
100803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN
SCRAMBLING INDEX 1
Kategori
:
SKRIPSI
Nama
:
NADIA VELA WALNI
Nomor Induk Mahasiswa
:
100803002
Program Studi
:
SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
:
MATEMATIKA
Fakultas
:
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan,
Juni 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING INDEX 1
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2014
Nadia Vela Walni
100803002
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur bagi Tuhan semesta alam, Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING INDEX 1”
ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta
keluarga dan para sahabat.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, motivasi, do’a dari berbagai pihak. Dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun
ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak Dr.
Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan
nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
5. Ibunda Syufniarti dan Ayahanda Drs. Raswal serta adinda Ahmad Arfandi
yang sangat sabar membimbing, memotivasi, mend’oakan dan memberikan dukungan moril maupun materil selama penulisan skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Yudi, NEKA, Zati, Yundi, Sharah,
Ade, Lita, Eti, Nita, Mila, Wewen, dan Imel yang senantiasa saling menyemangati
dan saling memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa untuk teman-teman
Universitas Sumatera Utara
Matematika 2010 khususnya bidang murni Zati, Fitriana, Ardi, Hamka, Adanan,
Junliade, dan Sri. Serta Septian yang sangat banyak membantu penulis dalam menulis skripsi ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diperlukan. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini bermanfaat.
Medan, Juni 2014
NADIA VELA WALNI
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat jalan yang menghubungkan
u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitif G, k(G),
adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u
dan v yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat bahwa ada jalan yang
menghubungkan u dan w dan jalan yang menghubungkan v dan w dengan panjang
k. Pada penelitian ini didiskusikan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n
edge bila n adalah ganjil
vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
2
3n−2
dan memiliki sedikitnya 2 edge bila n adalah genap.
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
A connected graph G is primitive there is a positive integer k such that for every pair
of vertices u and v there is a walk of length k from vertex u to vertex v. Scrambling
index of a primitive graph G, denoted by k(G), is the smallest positive integer k
such that for every pair of vertices u and v there is a vertex w such that we can get
to w from u and v in G using a walk of length k. This paper discusses necessary
and sufficient conditions for primitive graph with scrambling index 1. And than a
primitive graph with n ≥ 3 vertices and scrambling index 1, the minimum number
if n is odd and 3n−2
if n is even.
of edge is 3n−3
2
2
Keywords: connected, primitive graph, scrambling index.
ii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 2 GRAF PRIMITIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1 Definisi Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Matriks Ketetanggan dari Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Primitifitas dari Graf Terhubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4 Matriks Tak Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5 Scrambling Index Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5.1 Scrambling Index Lokal Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5.2 Scrambling Index Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.1 Syarat Perlu dan Cukup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
iii
Universitas Sumatera Utara
4.2 Graf Primitif Jarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
iv
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Graf dengan 5 vertex dan 6 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf dengan 6 vertex dan 7 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
(a) Graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Contoh graf primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Graf dengan 5 vertex dan 6 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Graf dengan 5 vertex dan 7 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1
Graf memuat loop yang memiliki scrambling index 1 . . . . . . . . . .
17
4.2
Graf dengan k(S3 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.3
Graf dengan k(S4 ) 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.4
Graf dengan k(S4 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.5
Graf dengan k(S5 ) 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.6
Graf 5 vertex dengan scrambling index 1 dan tidak memiliki banyak
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.7
Graf dengan k(S5 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.8
Graf dengan k(S6 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.9
Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n ganjil vertex dan
3n−3
2
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.10 Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n genap vertex dan
3n−2
2
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
v
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat jalan yang menghubungkan
u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitif G, k(G),
adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u
dan v yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat bahwa ada jalan yang
menghubungkan u dan w dan jalan yang menghubungkan v dan w dengan panjang
k. Pada penelitian ini didiskusikan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n
edge bila n adalah ganjil
vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
2
3n−2
dan memiliki sedikitnya 2 edge bila n adalah genap.
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
A connected graph G is primitive there is a positive integer k such that for every pair
of vertices u and v there is a walk of length k from vertex u to vertex v. Scrambling
index of a primitive graph G, denoted by k(G), is the smallest positive integer k
such that for every pair of vertices u and v there is a vertex w such that we can get
to w from u and v in G using a walk of length k. This paper discusses necessary
and sufficient conditions for primitive graph with scrambling index 1. And than a
primitive graph with n ≥ 3 vertices and scrambling index 1, the minimum number
if n is odd and 3n−2
if n is even.
of edge is 3n−3
2
2
Keywords: connected, primitive graph, scrambling index.
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Studi mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif dapat dilakukan dengan
pendekatan mengenai scrambling index dari matriks tak negatif A. Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks orde n yang setiap entri aij ≥ 0. Matriks A dikatakan
primitif jika terdapat bilangan bulat positif l, Al adalah positif, yaitu semua entri
dari matriks Al bernilai positif.
Persoalan mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif G biasanya
diselesaikan menggunakan matriks A(G), yakni sebuah matriks tak negatif A yang
bersesuaian dengan graf primitif G. Matriks A(G) adalah sebuah matriks orde n
dengan entri aij akan bernilai 1 jika terdapat edge dari vi ke vj pada graf primitif G,
dan entri aij akan bernilai 0 jika tidak terdapat edge dari vi ke vj pada graf primitif G.
Scrambling index dari graf primitif G sama dengan scrambling index dari matriks tak
negatif A yang bersesuaian dengan graf primitif tersebut. Matriks yang bersesuaian
dengan graf primitif G kemudian disebut dengan matriks ketetanggaan.
Scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah
bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan dua vertex u dan v
yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat terdapat sebuah jalan dari u ke
w dan sebuah jalan dari v ke w dengan panjang k. Untuk dua vertex u dan v yang
berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v (G)
yang didefinisikan sebagai,
k
k
ku,v (G) = min{k : u ↔ w dan v ↔ w}
w∈V
Dari definisi, k(G) dan ku,v (G) diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v (G). Lebih
lanjut perhatikan bahwa karena G adalah terhubung, maka untuk setiap bilangan
bulat l ≥ ku,v (G) dapat ditemukan sebuah vertex w0 sehingga terdapat u ↔ w0 dan
v ↔ w0 dengan panjang l. Hal ini berakibat,
k(G) = max{ku,v (G)}
u6=v
1
Universitas Sumatera Utara
2
Akelbek dan Kirkland (2009a) mengemukakan tentang batas atas pada scrambling index dari digraf primitif D dengan n vertex dan s girth. Maka k(D) ≤ K(n, s)
jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1, di mana Ds,n subgraf yang isomorfik dengan D,
K(n, s) = k(n, s) + n − s dan,
s−1
n, jika s ganjil
2
k(n, s) =
n − 1 s, jika s genap
2
Lebih lanjut Akelbek dan Kirkland (2009b) juga mengemukakan tentang karakteristik dari semua digraf primitif sehingga scrambling index sama dengan batas
atas pada scrambling index digraf primitif D. Misal D digraf primitif dengan n
vertex, s ≥ 2, dan k(D) = K(n, s). Maka,
1. Tidak ada lingkaran dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1.
2. D memuat subgraf Ds,n dan gcd(s, n) = 1.
Chen dan Liu (2009) mendiskusikan tentang hubungan antara eksponen dan scrambling index dari digraf primitif simetri dengan n ≥ 2. Untuk digraf yang demikian maka k(D) = d exp(D)
e. Himpunan scrambling index dari kelas Sn (r) adalah
2
K(n, r) = {δr , δr + 1, · · · , n − r+1
} dimana n ≥ 2, r bilangan ganjil 1 ≤ r ≤ n,
2
K(n, r) = {k(G)|G ∈ Sn (r)}, dan
δr =
1,
jika r = 1
r − 1 , jika r ≡ 1(mod2) dan r ≥ 3
2
Untuk n ≥ 3, 2 ≤ l ≤ n, dan K ∗ (n, l) = {k(G)|G ∈ Hn (l)} maka himpunan
scrambling index dari kelas Hn (l) adalah,
e maka K ∗ (n, l) = {1, 2, · · · , n − l}.
1. Jika 2 ≤ l ≤ n − d n−1
2
2. Jika n − d n−1
e ≤ l ≤ n maka K ∗ (n, l) = {1, 2, · · · , d n−1
e}.
2
2
di mana Sn (r) merupakan himpunan digraf primitif simetri orde n yang mempunyai
lingkaran dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran lain dengan panjang ganjil
Universitas Sumatera Utara
3
yang lebih kecil dari r, sedangkan Hn (l) himpunan digraf primitif simetri orde n dan
mempunyai l loop.
Chen dan Liu juga mendiskusikan tentang karakteristik digraf primitif simetri yang
scrambling index sama dengan nilai maksimum dari scrambling index digraf primitif
yang demikian. Untuk n, r, m, l, dan h bilangan bulat, maka
1. k(G0n,r ) =
r−1
,
2
2. k(Gm
n,r ) = m +
dari Sn (r).
r ≡ 1(mod 2), 3 ≤ r ≤ n, G0n,r subgraf dari Sn (r).
r−1
,
2
r ≡ 1(mod 2), 1 ≤ r ≤ n − 1, 1 ≤ m ≤ n − r, Gm
n,r subgraf
3. k(G) = d n−1
e, n ≥ 3, n − d n−1
e ≤ l ≤ n, G subgraf dari Hn (l, n − 1).
2
2
, n ≥ 3, n ≡ 1(mod 2), n − d n−1
e ≤ l ≤ n, G subgraf dari
4. k(G) = n−1
2
2
Hn (l, n − 2).
5. k(G) = n − l, n ≥ 3, 2 ≤ l ≤ n − d n−1
e, G subgraf dari Hnn−l (l, ∗).
2
6. k(G) = n − l = 2, 4 ≤ n ≤ 5, l = n − 2, G subgraf dari Hn0 (n − 2).
7. k(Γhn,l ) = h, 2 ≤ l ≤ n − d n−1
e, 1 ≤ h ≤ n − l, Γhn,l subgraf dari Hn (l).
2
8. k(Πhn,l ) = h, n ≥ 3, n − d n−1
e ≤ l ≤ n, 1 ≤ h ≤ d n−1
e, Πhn,l subgraf dari Hn (l).
2
2
Liu dan Huang (2010) mendiskusikan tentang beberapa batas atas baru pada scrambling index digraf primitif dengan d loop, yaitu
1. k(D) ≤ n − d d2 e, n dan d bilangan bulat, n ≥ 2, 1 ≤ d ≤ n, D ∈ Pn (d), dengan
Pn (d) merupakan himpunan digraf primitif dengan n vertex dan d loop.
2. k(D) ≤ n − 1, D memuat loop.
Lebih lanjut Liu dan Huang mengemukakan beberapa batas atas baru untuk beberapa digraf khusus sebagai berikut:
1. Untuk D ∈ DSn , n ≥ 2 maka
n
jika n genap
,
2
k(D) ≤ n − 1
, jika n ganjil
2
dengan DSn merupakan himpunan digraf primitif simetri orde n.
Universitas Sumatera Utara
4
2. Untuk D ∈ M Sn , n ≥ 3 maka
2n − 3, jika n ganjil
k(D) ≤
2n − 4, jika n genap
dengan M Sn merupakan himpunan digraf primitif micro-symmetric orde n.
Pada umumnya peneliti terdahulu mengkaji tentang graf-graf dengan scrambling index besar. Dengan demikian, penulis mengkaji tentang graf-graf dengan scrambling
index terkecil yakni scrambling index 1.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan G adalah suatu graf primitif jarang atas n vertex dan tanpa loop. Masalah penelitian ini adalah menentukan graf mana yang memiliki scrambling index 1.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif
jarang G memiliki scrambling index 1. Kemudian menentukan bentuk umum dari
graf primitif dengan scrambling index 1.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk menambah literatur mengenai scrambling index dari graf primitif jarang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
GRAF PRIMITIF
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema
yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan
dengan definisi graf, terhubung kuat, primitifitas, graf primitif jarang, dan scrambling
index.
2.1 Definisi Graf
Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang graf serta notasi-notasi yang akan
dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, graf dinotasikan dengan G merupakan himpunan tak kosong
dari titik-titik selanjutnya disebut vertex yang dihubungkan oleh garis selanjutnya
disebut edge dari graf G tersebut. Secara matematika, sebuah graf G terdiri dari
dua himpunan, yaitu:
1. Himpunan vertex yang dinotasikan dengan V = {v1 , v2 , · · · , vn } dengan i adalah bilangan bulat positif dan vi adalah elemen dari himpunan V dan n(V ) 6= 0.
2. Himpunan edge dari graf G yang dinotasikan dengan E merupakan himpunan
bagian dari pasangan tak berurut dari elemen-elemen di V .
Jika diberikan notasi e = (v1 , v2 ) adalah sebuah edge dari graf G, maka v1
disebut sebagai vertex awal dan v2 sebagai vertex akhir.
Contoh 2.1 Perhatikan himpunan vertex V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } bersama dengan
himpunan bagian pasangan tak berurut E = {{v1 , v2 }, {v1 , v3 }, {v1 , v4 }, {v1 , v5 },
{v2 , v3 }, {v4 , v5 }}. Pasangan G(V, E) adalah sebuah graf dengan 5 vertex dan 6 edge
dan direpresentasikan seperti pada Gambar 2.1.
5
Universitas Sumatera Utara
6
Gambar 2.1 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Andaikan G sebuah graf. Misalkan u dan v adalah vertex di G. Sebuah jalan
dengan panjang m dari u ke v adalah sebuag barisan m edge dalam bentuk
u = v0 ↔ v1 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v
Dengan m ≥ 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka jalan tersebut dikatakan
jalan tertutup dan jika u 6= v maka jalan tersebut dikatakan jalan terbuka. Sebuah
lintasan adalah sebuah jalan tanpa perulangan vertex kecuali mungkin kedua vertex
ujungnya. Jika kedua vertex ujungnya sama maka dinamakan lintasan tertutup atau
lebih dikenal dengan sebuah lingkaran. Loop adalah lingkarang yang panjangnya
satu. Dengan menggunakan graf pada Contoh 2.1 akan dijelaskan beberapa definisi
diatas.
1. Barisan edge v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 ↔ v4 ↔ v5 adalah sebuah jalan yang
menghubungkan v1 dengan v5 , tetapi bukan sebuah lintasan karena ada perulangan vertex v1 .
2. Barisan edge v3 ↔ v1 ↔ v4 adalah sebuah lintasan dari v3 ke v4 .
3. Barisan edege v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 adalah sebuah lingkaran.
2.2 Matriks Ketetanggan dari Graf
Sebuah graf G atas n vertex dapat direpresentasikan dalam (0,1)-matriks, yaitu
matriks yang entrinya 0 atau 1. Matriks yang demikian disebut dengan matriks
ketetanggaan.
Universitas Sumatera Utara
7
Sebuah matriks ketetanggaan dari graf G atas n vertex adalah matriks berorde
n, A(G) = [aij ] dengan
1, jika terdapat edge dari vi ke vj di G
aij =
0, vertex lainnya
Contoh 2.2 Perhatikan graf G pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.2 : Graf dengan 6 vertex dan 7 edge
Matriks ketetanggaan dari graf di atas adalah sebagai berikut.
A(D) =
0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
2.3 Primitifitas dari Graf Terhubung
Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di
G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya graf G dikatakan tidak
Universitas Sumatera Utara
8
terhubung jika terdapat sebarang satu vertex atau lebih sehingga tidak terdapat
jalan dari u dan v.
Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung.
Gambar 2.3 : (a) Graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung
Gambar 2.3(a) menunjukan graf terhubung karena terdapat jalan dari setiap pasangan vertex di G, dan gambar 2.3(b) menunjukan graf yang tidak terhubung karena
tidak terdapat jalan yang menghubungkan v5 dengan vertex lainnya.
Berikut diberikan syarat perlu dan cukup agar satu graf terhubung G adalah
graf primitif.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah suatu graf. Graf G dikatakan primitif jika dan
hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran ganjil.
Bukti. Andaikan G adalah suatu graf. Andaikan graf G adalah primitif, maka
terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan vertex
v di G terdapat jalan dari vertex u ke vertex v di G dengan panjang k. Hal ini
berakibat G adalah terhubung. Perhatikan bahwa untuk setiap pasangan vertex u
dan vertex v di G terdapat jalan dengan panjang m untuk semua bilangan m > k.
Andaikan m adalah ganjil. Untuk setiap vertex u dan v di G dapat dibentuk jalan
dengan panjang ganjil. Andaikan u ↔ u adalah jalan yang menghubungkan vertex
u ke dirinya sendiri. Misalkan puv adalah lintasan yang menghubungkan vertex u ke
vertex v. Jalan u ↔ v dapat dibentuk dari vertex u ke vertex v melalui lintasan puv
Universitas Sumatera Utara
9
dan kembali ke vertex u melalui lintasan puv yang sama. Andaikan l(wuu ) adalah
panjang jalan dari vertex u ke u. Perhatikan bahwa l(wuu ) adalah genap. Agar wuu
mempunyai panjang ganjil maka wuu hrus melewati satu lingkaran ganjil disebarang
vertex, misalnya vertex x. Jalan wuu yang terdiri dari lintasan pux , lintasan pxx , dan
lintasan pxu adalah suatu jalan wuu dengan panjang ganjil. Sehingga untuk setiap
vertex u dan v di G haruslah mempunyai lingkaran ganjil.
Contoh 2.4 Berikut contoh graf primitif
Gambar 2.4 : Contoh graf primitif
Graf diatas merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil
yakni lingkaran v1 → v2 → v3 → v1 dengan panjang 3.
Sebuah graf primitif dikatakan graf primitif jarang bila graf primitif tersebut
dibentuk dengan jumlah edge yang minimum.
Universitas Sumatera Utara
10
Contoh 2.5 Berikut contoh graf primitif jarang
Gambar 2.5 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Gambar 2.6 : Graf dengan 5 vertex dan 7 edge
Kedua graf diatas merupakan graf dengan 5 vertex dan scrambling index 1. Gambar
2.5 dibentuk dengan 6 edge, sedangkan Gambar 2.6 dibentuk dengan 7 edge sehingga graf pada Gambar 2.5 merupakan graf primitif jarang karena dibentuk dengan
jumlah edge yang minimum dibandingkan dengan graf pada Gambar 2.6.
2.4 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah mariks yang setiap entri aij dari A adalah
bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri aij dari matriks A adalah
bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan
dua buah matriks berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
11
0 3 5
P =
7
5
9
8 1 0
matriks
13
Q=
17
9
tak negatif
5 5
5 1
11 10
matriks positif
2.5 Scrambling Index Graf Primitif
2.5.1 Scrambling Index Lokal Graf Primitif
Untuk u, v ∈ V (G)(u 6= v), scrambling index lokal dari setiap pasangan dua
vertex berbeda di G didefinisikan sebagai,
k
k
ku,v (G) =min{k : u ↔ w dan v ↔ w untuk semua w ∈ V (G)}
2.5.2 Scrambling Index Graf Primitif
Scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah
bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan dua vertex u dan v
yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat terdapat sebuah jalan dari u
ke w dan sebuah jalan dari v ke w dengan panjang k,
atau
k(G) = max {ku,v (G)}
u,v∈V (G)
Dari definisi diperoleh hubungan ku,v (G) ≤ k(G).
Universitas Sumatera Utara
12
Contoh 2.6 Perhatikan Contoh 2.2 Menurut definisi, diperoleh scrambling index
lokal dari graf primitif di atas sebagai berikut,
kv1 ,v2 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv1 ,v3 (G) =min{2, 1, 2, 3, 4, 3} = 1
kv1 ,v4 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv1 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2
kv1 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv2 ,v3 (G) =min{1, 2, 2, 4, 4, 3} = 1
kv2 ,v4 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv2 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2
kv2 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv3 ,v4 (G) =min{2, 2, 3, 4, 4, 4} = 2
kv3 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 1, 2, 1} = 1
kv3 ,v6 (G) =min{2, 2, 3, 4, 5, 4} = 2
kv4 ,v5 (G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3
kv4 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 1, 2} = 1
kv5 ,v6 (G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3
Dari definisi diperoleh k(G) = max {ku,v (G)} = 3
u,v∈V (G)
Scrambling index dari graf primitif G dapat dicari menggunakan matriks ketetanggaan A(G). Jika untuk setiap dua baris pada A(G)k terdapat sedikitnya satu
entri yang nilainya positif pada kolom yang sama maka k merupakan scrambling
index dari graf primitif G.
Universitas Sumatera Utara
13
Contoh 2.7 Perhatikan Contoh 2.2
1. Untuk k = 1, diperoleh
1
A =
0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 1, karena setidaknya
ada dua baris pada matriks A1 , yaitu baris pertama dan baris kelima tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
2. Untuk k = 2, diperoleh
2
A =
2 1 1 1 0 1
1 2 1 1 0 1
1 1 4 0 2 0
1 1 0 2 0 2
0 0 2 0 2 0
1 1 0 2 0 2
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 2, karena setidaknya ada
2 baris pada matriks A2 , yaitu baris keempat dan baris kelima tidak memiliki
entri positif pada kolom yang sama.
3. Untuk k = 3, diperoleh
3
A =
2 3 5 1 2 1
3 2 5 1 2 1
5 5 2 6 0 6
1 1 6 0 4 0
2 2 0 4 0 4
1 1 6 0 4 0
Universitas Sumatera Utara
14
Graf pada Contoh 2.2 memiliki scrambling index 3, karena untuk setiap 2 baris
pada matriks A3 setidaknya terdapat satu entri positif pada kolom yang sama.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Untuk menentukan scrambling index dari sebuah kelas graf primitif yang tidak memuat loop, akan dilakukan dalam beberapa langkah pendekatan sebagai berikut:
1. Komputasi Nilai Scrambling Index. Dengan menggunakan program yang ditulis dalam MATLAB akan diperoleh sebuah bilangan bulat positif terkecil k
yang merupakan scrambling index dari suatu graf primitif. Berikut algoritma
untuk mencari scrambling index dari graf primitif G dengan n ≥ 3.
(a) Menginput matriks ketetanggaan dari graf primitif G.
(b) Mengecek primitifitas graf primitif.
(c) Jika untuk dua baris pada Ak sedikitnya terdapat satu elemen yang nilainya positif pada kolom yang sama maka k merupakan scrambling index
dari graf primitif G.
2. Menentukan syarat perlu dan cukup agar sebuah graf primitif G memiliki
scrambling index 1 dan pembuktiannya.
3. Menentukan bentuk umum graf primitif jarang dengan scrambling index 1 dan
pembuktiannya.
15
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diperlihatkan hasil dari penelitian ini, yaitu syarat perlu dan
cukup agar sebuah graf primitif memiliki scrambling index 1 dan bentuk umum dari
graf primitif dengan scrambling index 1.
4.1 Syarat Perlu dan Cukup
Lemma 4.1 Andaikan G adalah sebuah graf primitif dengan n ≥ 3 vertex dan tanpa
loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi berikut.
1. Setiap vertex dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk setiap dua vertex u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda,
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.
Bukti. Andaikan k(G) = 1, dan misalkan u adalah sebarang vertex di G. Karena
G terhubung, maka terdapat sebuah vertex v di G sehingga {u, v} adalah sebuah
edge di G. Karena k(G) = 1, terdapat sebuah vertex w sehingga {u, w} dan {v, w}
masing-masing adalah sebuah edge dari graf G. Akibatnya, edge {u, v}, {u, w} dan
{v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. Jadi setiap vertex di G terletak
pada sebuah segitiga. Andaikan x dan y adalah dua vertex di graf G yang terletak
pada sebuah segitiga berbeda. Karena k(G) = 1, maka terdapat sebuah vertex z
di G sehingga {x, z} dan {y, z} masing-masing adalah sebuah edge pada graf G.
Akibatnya jalan x ↔ z ↔ y adalah sebuah jalan yang menghubungkan x dan y
dengan panjang 2.
Sekarang misalkan G adalah primitif dan memenuhi kondisi (1) dan kondisi
(2) pada Lemma 4.1. Untuk setiap dua vertex u dan v yang berbeda diperlihatkan
bahwa ku,v (G) = 1. Jika u dan v terletak pada sebuah segitiga, maka terdapat vertex
1
1
w pada segitiga sehingga ada jalan u ↔ w dan v ↔ w. Jadi ku,v (G) = 1. Jika u
dan v berada pada dua segitiga yang berbeda, maka kondisi (2) menjamin bahwa
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Hal ini berakibat
1
1
terdapat vertex w di graf G sehingga ada jalan u ↔ w dan v ↔ w. Jadi ku,v (G) = 1.
Oleh definisi k(G) = max{ku,v (G)} = 1.
u6=v
16
Universitas Sumatera Utara
17
Berikut ini diperlihatkan bahwa syarat graf tanpa loop pada Lemma 4.1 adalah
diperlukan. Perhatikan graf Ln atas n vertex dengan himpunan edge {{v1 , v1 }} ∪
{{v1 , vi } : i = 1, 2, . . . , n} . Graf Ln adalah sebuah graf primitif dengan scrambling
index 1, tetapi Ln tidak memuat segitiga. Sehingga Ln tidak memenuhi kondisi (1)
pada Lemma 4.1, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 : Graf memuat loop yang memiliki scrambling index 1
4.2 Graf Primitif Jarang
Pada bagian ini didiskusikan kelas graf primitif atas n vertex dengan scrambling
index 1 dan mempunyai jumlah edge minimum. Untuk bilangan bulat positif n ≥ 3,
didefinisikan Sn sebagai sebuah graf primitif atas n vertex dengan k(Sn ) = 1 dan
banyak edge minimum.
Teorema 4.1 Andaikan Sn adalah graf primitif atas n ≥ 3 vertex tanpa loop dan
k(Sn ) = 1. Minimum banyaknya edge dari Sn adalah 3n−3
bila n adalah ganjil dan
2
3n−2
bila n adalah genap.
2
Bukti. Andaikan Sn adalah graf primitif tanpa loop dengan k(Sn ) = 1. Dari Lemma
4.1 diperoleh bahwa graf S3 dengan edge minimum adalah graf segitiga dengan 3
vertex dan 3 edge, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.2.
Universitas Sumatera Utara
18
Gambar 4.2 : Graf dengan k(S3 ) = 1
Andaikan ditambahkan sebuah edge yang menggabungkan v4 ke S3 pada v1 sehingga
membentuk S4 , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.3 : Graf dengan k(S4 ) 6= 1
Dari Lemma 4.1(1) diketahui bahwa S4 tidak mempunyai scrambling index 1 karena v4 tidak berada pada sebuah segitiga. Karena penambahan satu vertex dan
satu edge pada S3 tidak membentuk graf primitif dengan scrambling index 1, maka
ditambahkan lagi sebuah edge yaitu sebuah edge yang menghubungkan v3 dengan
v4 , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.4, sehingga minimum banyaknya edge
dari S4 adalah 5.
Universitas Sumatera Utara
19
Gambar 4.4 : Graf dengan k(S4 ) = 1
Kemudian v5 ditambahkan pada S4 . Jika v5 dan sebuah edge ditambahkan pada S4 ,
maka graf tersebut tidak memiliki scrambling index 1 karena v5 tidak berada pada
sebuah segitiga, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 : Graf dengan k(S5 ) 6= 1
Oleh karena itu, perlu ditambahkan lagi sebuah edge yaitu edge yang menghubungkan v4 dan v5 , seperti yang diperlikatkan pada Gambar 4.6.
Universitas Sumatera Utara
20
Gambar 4.6 : Graf 5 vertex dengan scrambling index 1 dan tidak memiliki banyak
edge yang minimum
Tetapi Gambar 4.6 tidak memiliki banyak edge yang minimum, maka S5 dapat dibentuk dengan menggabungkan sebuah limtasan v1 ↔ v4 ↔ v5 ↔ v1 pada S3 , sehingga
diperoleh S5 dengan minimum banyaknya edge adalah 6, seperti yang diperlihatkan
pada Gambar 4.7.
Gambar 4.7 : Graf dengan k(S5 ) = 1
Untuk membentuk S6 dengan banyak edge yang minimum dilakukan dengan cara
menggabungkan sebuah segitiga dengan lintasan v1 ↔ v5 ↔ v6 ↔ v1 pada S4 ,
seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.8, sehingga minimum banyaknya edge
dari S6 adalah 8.
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 4.8 : Graf dengan k(S6 ) = 1
Untuk membentuk S7 dilakukan dengan cara menggabungkan sebuah segitiga pada S5 , dan S8 dilakukan dengan menggabungkan sebuah segitiga pada S6 . Secara umum untuk i ≥ 5, Si dapat dibentuk dengan menggabungkan sebuah segitiga pada Si−2 . Minimum banyaknya edge dari Sn jika n ≥ 3 dan n ganjil adalah
3, 6, 9, 12, · · · , 3n−3
, dan minimum banyaknya edge dari Sn jika n ≥ 4 dan n genap
2
. Dari proses tersebut diperoleh graf seperti yang diperadalah 5, 8, 11, 14, · · · , 3n−2
2
lihatkan pada Gambar 4.9 untuk n ganjil vertex dan Gambar 4.10 untuk n genap
vertex.
Gambar 4.9 : Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n ganjil vertex dan
3n−3
2
edge yang minimum
Universitas Sumatera Utara
22
Gambar 4.10 : Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n genap vertex dan
3n−2
2
edge yang minimum
Perhatikan graf Sn di atas. Terdapat dua jenis edge pada graf tersebut, yaitu
edge yang insiden dengan v1 dan edge yang tidak insiden dengan v1 . Jika salah
satu edge dihilangkan pada sebarang graf Sn , maka k(Sn ) 6= 1 karena Sn tidak
memenuhi Lemma 4.1(1). Jadi, terbukti bahwa Sn merupakan graf primitif jarang
karena dibentuk dengan jumlah edge yang minimum.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Penelitian ini memperlihatkan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Andaikan G adalah suatu graf primitif dengan n ≥ 3 vertex dan
tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi
berikut.
1. Setiap vertex dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk setiap dua vertex u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda,
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.
Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
bila n adalah ganjil dan 3n−2
bila n adalah
2
2
genap.
5.2 Saran
Penelitian ini hanya membicarakan syarat perlu dan cukup serta banyak edge minimum bagi graf primitif dengan scrambling index 1. Diperlukan penelitian lebih
lanjut untuk mencari syarat perlu dan cukup serta banyak edge minimum bagi digraf primitif dengan scrambling index 1.
23
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Akelbek, M. and Kirkland, S. 2009. Coefficient of Ergodicity and The Scrambling
Index. Linear Algebra Appl. 430:1111-1130.
Akelbek, M. and Kirkland, S. 2009. Primitive Digraphs with The Largest Scrambling
Index. Linear Algebra Appl. 430:1099-1110.
Brualdi, R.A. and Ryser, H.J. 1991. Combinatorial Matrix Theory. Cambridge: Cambridge University Press.
Chen, S and Liu, B. 2010.The Scrambling Index of Symetric Primitive Matrices.
Linear Algebra Appl. 433:1110-1126.
Fuyi, W., Maoquan, C. and Jianzhong, W. 1999. On Odd Primitive Graphs. Australasian Journal of Combinatorics. 19:11-15.
Liu, B. and Huang, Y. 2010. The Scrambling Index of Primitive Digraphs. Computers
and Mathematics with Applications. 60:706-721.
Kim, B.M., Song, B.C. and Hwang, W. 2005. Nonnegative Primitive Matrices with
Exponent 2. Linear Algebra Appl. 407:162-168.
Kim, B.M., Song, B.C. and Hwang, W. 2007. Primitive Graphs with Given Exponents
and Minimum Number of Edges. Linear Algebra Appl. 420:648-662.
24
Universitas Sumatera Utara
INDEX 1
SKRIPSI
Oleh
Nadia Vela Walni
100803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING
INDEX 1
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sarjana Sains
Nadia Vela Walni
100803002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
:
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN
SCRAMBLING INDEX 1
Kategori
:
SKRIPSI
Nama
:
NADIA VELA WALNI
Nomor Induk Mahasiswa
:
100803002
Program Studi
:
SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
:
MATEMATIKA
Fakultas
:
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan,
Juni 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING INDEX 1
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juni 2014
Nadia Vela Walni
100803002
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur bagi Tuhan semesta alam, Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”GRAF PRIMITIF JARANG DENGAN SCRAMBLING INDEX 1”
ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta
keluarga dan para sahabat.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, motivasi, do’a dari berbagai pihak. Dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun
ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak Dr.
Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan
nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
5. Ibunda Syufniarti dan Ayahanda Drs. Raswal serta adinda Ahmad Arfandi
yang sangat sabar membimbing, memotivasi, mend’oakan dan memberikan dukungan moril maupun materil selama penulisan skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Yudi, NEKA, Zati, Yundi, Sharah,
Ade, Lita, Eti, Nita, Mila, Wewen, dan Imel yang senantiasa saling menyemangati
dan saling memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Tak lupa untuk teman-teman
Universitas Sumatera Utara
Matematika 2010 khususnya bidang murni Zati, Fitriana, Ardi, Hamka, Adanan,
Junliade, dan Sri. Serta Septian yang sangat banyak membantu penulis dalam menulis skripsi ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diperlukan. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini bermanfaat.
Medan, Juni 2014
NADIA VELA WALNI
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat jalan yang menghubungkan
u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitif G, k(G),
adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u
dan v yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat bahwa ada jalan yang
menghubungkan u dan w dan jalan yang menghubungkan v dan w dengan panjang
k. Pada penelitian ini didiskusikan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n
edge bila n adalah ganjil
vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
2
3n−2
dan memiliki sedikitnya 2 edge bila n adalah genap.
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
A connected graph G is primitive there is a positive integer k such that for every pair
of vertices u and v there is a walk of length k from vertex u to vertex v. Scrambling
index of a primitive graph G, denoted by k(G), is the smallest positive integer k
such that for every pair of vertices u and v there is a vertex w such that we can get
to w from u and v in G using a walk of length k. This paper discusses necessary
and sufficient conditions for primitive graph with scrambling index 1. And than a
primitive graph with n ≥ 3 vertices and scrambling index 1, the minimum number
if n is odd and 3n−2
if n is even.
of edge is 3n−3
2
2
Keywords: connected, primitive graph, scrambling index.
ii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
BAB 2 GRAF PRIMITIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1 Definisi Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Matriks Ketetanggan dari Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Primitifitas dari Graf Terhubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4 Matriks Tak Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5 Scrambling Index Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5.1 Scrambling Index Lokal Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5.2 Scrambling Index Graf Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.1 Syarat Perlu dan Cukup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
iii
Universitas Sumatera Utara
4.2 Graf Primitif Jarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
iv
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Graf dengan 5 vertex dan 6 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf dengan 6 vertex dan 7 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
(a) Graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Contoh graf primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Graf dengan 5 vertex dan 6 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Graf dengan 5 vertex dan 7 edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1
Graf memuat loop yang memiliki scrambling index 1 . . . . . . . . . .
17
4.2
Graf dengan k(S3 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.3
Graf dengan k(S4 ) 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.4
Graf dengan k(S4 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.5
Graf dengan k(S5 ) 6= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.6
Graf 5 vertex dengan scrambling index 1 dan tidak memiliki banyak
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.7
Graf dengan k(S5 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.8
Graf dengan k(S6 ) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.9
Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n ganjil vertex dan
3n−3
2
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.10 Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n genap vertex dan
3n−2
2
edge yang minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
v
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positif k
sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat jalan yang menghubungkan
u dan v dengan panjang k. Scrambling index dari sebuah graf primitif G, k(G),
adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u
dan v yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat bahwa ada jalan yang
menghubungkan u dan w dan jalan yang menghubungkan v dan w dengan panjang
k. Pada penelitian ini didiskusikan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n
edge bila n adalah ganjil
vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
2
3n−2
dan memiliki sedikitnya 2 edge bila n adalah genap.
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index.
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
A connected graph G is primitive there is a positive integer k such that for every pair
of vertices u and v there is a walk of length k from vertex u to vertex v. Scrambling
index of a primitive graph G, denoted by k(G), is the smallest positive integer k
such that for every pair of vertices u and v there is a vertex w such that we can get
to w from u and v in G using a walk of length k. This paper discusses necessary
and sufficient conditions for primitive graph with scrambling index 1. And than a
primitive graph with n ≥ 3 vertices and scrambling index 1, the minimum number
if n is odd and 3n−2
if n is even.
of edge is 3n−3
2
2
Keywords: connected, primitive graph, scrambling index.
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Studi mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif dapat dilakukan dengan
pendekatan mengenai scrambling index dari matriks tak negatif A. Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks orde n yang setiap entri aij ≥ 0. Matriks A dikatakan
primitif jika terdapat bilangan bulat positif l, Al adalah positif, yaitu semua entri
dari matriks Al bernilai positif.
Persoalan mengenai scrambling index dari sebuah graf primitif G biasanya
diselesaikan menggunakan matriks A(G), yakni sebuah matriks tak negatif A yang
bersesuaian dengan graf primitif G. Matriks A(G) adalah sebuah matriks orde n
dengan entri aij akan bernilai 1 jika terdapat edge dari vi ke vj pada graf primitif G,
dan entri aij akan bernilai 0 jika tidak terdapat edge dari vi ke vj pada graf primitif G.
Scrambling index dari graf primitif G sama dengan scrambling index dari matriks tak
negatif A yang bersesuaian dengan graf primitif tersebut. Matriks yang bersesuaian
dengan graf primitif G kemudian disebut dengan matriks ketetanggaan.
Scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah
bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan dua vertex u dan v
yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat terdapat sebuah jalan dari u ke
w dan sebuah jalan dari v ke w dengan panjang k. Untuk dua vertex u dan v yang
berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v (G)
yang didefinisikan sebagai,
k
k
ku,v (G) = min{k : u ↔ w dan v ↔ w}
w∈V
Dari definisi, k(G) dan ku,v (G) diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v (G). Lebih
lanjut perhatikan bahwa karena G adalah terhubung, maka untuk setiap bilangan
bulat l ≥ ku,v (G) dapat ditemukan sebuah vertex w0 sehingga terdapat u ↔ w0 dan
v ↔ w0 dengan panjang l. Hal ini berakibat,
k(G) = max{ku,v (G)}
u6=v
1
Universitas Sumatera Utara
2
Akelbek dan Kirkland (2009a) mengemukakan tentang batas atas pada scrambling index dari digraf primitif D dengan n vertex dan s girth. Maka k(D) ≤ K(n, s)
jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1, di mana Ds,n subgraf yang isomorfik dengan D,
K(n, s) = k(n, s) + n − s dan,
s−1
n, jika s ganjil
2
k(n, s) =
n − 1 s, jika s genap
2
Lebih lanjut Akelbek dan Kirkland (2009b) juga mengemukakan tentang karakteristik dari semua digraf primitif sehingga scrambling index sama dengan batas
atas pada scrambling index digraf primitif D. Misal D digraf primitif dengan n
vertex, s ≥ 2, dan k(D) = K(n, s). Maka,
1. Tidak ada lingkaran dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1.
2. D memuat subgraf Ds,n dan gcd(s, n) = 1.
Chen dan Liu (2009) mendiskusikan tentang hubungan antara eksponen dan scrambling index dari digraf primitif simetri dengan n ≥ 2. Untuk digraf yang demikian maka k(D) = d exp(D)
e. Himpunan scrambling index dari kelas Sn (r) adalah
2
K(n, r) = {δr , δr + 1, · · · , n − r+1
} dimana n ≥ 2, r bilangan ganjil 1 ≤ r ≤ n,
2
K(n, r) = {k(G)|G ∈ Sn (r)}, dan
δr =
1,
jika r = 1
r − 1 , jika r ≡ 1(mod2) dan r ≥ 3
2
Untuk n ≥ 3, 2 ≤ l ≤ n, dan K ∗ (n, l) = {k(G)|G ∈ Hn (l)} maka himpunan
scrambling index dari kelas Hn (l) adalah,
e maka K ∗ (n, l) = {1, 2, · · · , n − l}.
1. Jika 2 ≤ l ≤ n − d n−1
2
2. Jika n − d n−1
e ≤ l ≤ n maka K ∗ (n, l) = {1, 2, · · · , d n−1
e}.
2
2
di mana Sn (r) merupakan himpunan digraf primitif simetri orde n yang mempunyai
lingkaran dengan panjang r tetapi tidak ada lingkaran lain dengan panjang ganjil
Universitas Sumatera Utara
3
yang lebih kecil dari r, sedangkan Hn (l) himpunan digraf primitif simetri orde n dan
mempunyai l loop.
Chen dan Liu juga mendiskusikan tentang karakteristik digraf primitif simetri yang
scrambling index sama dengan nilai maksimum dari scrambling index digraf primitif
yang demikian. Untuk n, r, m, l, dan h bilangan bulat, maka
1. k(G0n,r ) =
r−1
,
2
2. k(Gm
n,r ) = m +
dari Sn (r).
r ≡ 1(mod 2), 3 ≤ r ≤ n, G0n,r subgraf dari Sn (r).
r−1
,
2
r ≡ 1(mod 2), 1 ≤ r ≤ n − 1, 1 ≤ m ≤ n − r, Gm
n,r subgraf
3. k(G) = d n−1
e, n ≥ 3, n − d n−1
e ≤ l ≤ n, G subgraf dari Hn (l, n − 1).
2
2
, n ≥ 3, n ≡ 1(mod 2), n − d n−1
e ≤ l ≤ n, G subgraf dari
4. k(G) = n−1
2
2
Hn (l, n − 2).
5. k(G) = n − l, n ≥ 3, 2 ≤ l ≤ n − d n−1
e, G subgraf dari Hnn−l (l, ∗).
2
6. k(G) = n − l = 2, 4 ≤ n ≤ 5, l = n − 2, G subgraf dari Hn0 (n − 2).
7. k(Γhn,l ) = h, 2 ≤ l ≤ n − d n−1
e, 1 ≤ h ≤ n − l, Γhn,l subgraf dari Hn (l).
2
8. k(Πhn,l ) = h, n ≥ 3, n − d n−1
e ≤ l ≤ n, 1 ≤ h ≤ d n−1
e, Πhn,l subgraf dari Hn (l).
2
2
Liu dan Huang (2010) mendiskusikan tentang beberapa batas atas baru pada scrambling index digraf primitif dengan d loop, yaitu
1. k(D) ≤ n − d d2 e, n dan d bilangan bulat, n ≥ 2, 1 ≤ d ≤ n, D ∈ Pn (d), dengan
Pn (d) merupakan himpunan digraf primitif dengan n vertex dan d loop.
2. k(D) ≤ n − 1, D memuat loop.
Lebih lanjut Liu dan Huang mengemukakan beberapa batas atas baru untuk beberapa digraf khusus sebagai berikut:
1. Untuk D ∈ DSn , n ≥ 2 maka
n
jika n genap
,
2
k(D) ≤ n − 1
, jika n ganjil
2
dengan DSn merupakan himpunan digraf primitif simetri orde n.
Universitas Sumatera Utara
4
2. Untuk D ∈ M Sn , n ≥ 3 maka
2n − 3, jika n ganjil
k(D) ≤
2n − 4, jika n genap
dengan M Sn merupakan himpunan digraf primitif micro-symmetric orde n.
Pada umumnya peneliti terdahulu mengkaji tentang graf-graf dengan scrambling index besar. Dengan demikian, penulis mengkaji tentang graf-graf dengan scrambling
index terkecil yakni scrambling index 1.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan G adalah suatu graf primitif jarang atas n vertex dan tanpa loop. Masalah penelitian ini adalah menentukan graf mana yang memiliki scrambling index 1.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif
jarang G memiliki scrambling index 1. Kemudian menentukan bentuk umum dari
graf primitif dengan scrambling index 1.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk menambah literatur mengenai scrambling index dari graf primitif jarang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
GRAF PRIMITIF
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema
yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan
dengan definisi graf, terhubung kuat, primitifitas, graf primitif jarang, dan scrambling
index.
2.1 Definisi Graf
Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang graf serta notasi-notasi yang akan
dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
Secara sederhana, graf dinotasikan dengan G merupakan himpunan tak kosong
dari titik-titik selanjutnya disebut vertex yang dihubungkan oleh garis selanjutnya
disebut edge dari graf G tersebut. Secara matematika, sebuah graf G terdiri dari
dua himpunan, yaitu:
1. Himpunan vertex yang dinotasikan dengan V = {v1 , v2 , · · · , vn } dengan i adalah bilangan bulat positif dan vi adalah elemen dari himpunan V dan n(V ) 6= 0.
2. Himpunan edge dari graf G yang dinotasikan dengan E merupakan himpunan
bagian dari pasangan tak berurut dari elemen-elemen di V .
Jika diberikan notasi e = (v1 , v2 ) adalah sebuah edge dari graf G, maka v1
disebut sebagai vertex awal dan v2 sebagai vertex akhir.
Contoh 2.1 Perhatikan himpunan vertex V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } bersama dengan
himpunan bagian pasangan tak berurut E = {{v1 , v2 }, {v1 , v3 }, {v1 , v4 }, {v1 , v5 },
{v2 , v3 }, {v4 , v5 }}. Pasangan G(V, E) adalah sebuah graf dengan 5 vertex dan 6 edge
dan direpresentasikan seperti pada Gambar 2.1.
5
Universitas Sumatera Utara
6
Gambar 2.1 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Andaikan G sebuah graf. Misalkan u dan v adalah vertex di G. Sebuah jalan
dengan panjang m dari u ke v adalah sebuag barisan m edge dalam bentuk
u = v0 ↔ v1 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v
Dengan m ≥ 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka jalan tersebut dikatakan
jalan tertutup dan jika u 6= v maka jalan tersebut dikatakan jalan terbuka. Sebuah
lintasan adalah sebuah jalan tanpa perulangan vertex kecuali mungkin kedua vertex
ujungnya. Jika kedua vertex ujungnya sama maka dinamakan lintasan tertutup atau
lebih dikenal dengan sebuah lingkaran. Loop adalah lingkarang yang panjangnya
satu. Dengan menggunakan graf pada Contoh 2.1 akan dijelaskan beberapa definisi
diatas.
1. Barisan edge v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 ↔ v4 ↔ v5 adalah sebuah jalan yang
menghubungkan v1 dengan v5 , tetapi bukan sebuah lintasan karena ada perulangan vertex v1 .
2. Barisan edge v3 ↔ v1 ↔ v4 adalah sebuah lintasan dari v3 ke v4 .
3. Barisan edege v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 adalah sebuah lingkaran.
2.2 Matriks Ketetanggan dari Graf
Sebuah graf G atas n vertex dapat direpresentasikan dalam (0,1)-matriks, yaitu
matriks yang entrinya 0 atau 1. Matriks yang demikian disebut dengan matriks
ketetanggaan.
Universitas Sumatera Utara
7
Sebuah matriks ketetanggaan dari graf G atas n vertex adalah matriks berorde
n, A(G) = [aij ] dengan
1, jika terdapat edge dari vi ke vj di G
aij =
0, vertex lainnya
Contoh 2.2 Perhatikan graf G pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.2 : Graf dengan 6 vertex dan 7 edge
Matriks ketetanggaan dari graf di atas adalah sebagai berikut.
A(D) =
0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
2.3 Primitifitas dari Graf Terhubung
Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di
G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya graf G dikatakan tidak
Universitas Sumatera Utara
8
terhubung jika terdapat sebarang satu vertex atau lebih sehingga tidak terdapat
jalan dari u dan v.
Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung.
Gambar 2.3 : (a) Graf terhubung dan (b) graf tidak terhubung
Gambar 2.3(a) menunjukan graf terhubung karena terdapat jalan dari setiap pasangan vertex di G, dan gambar 2.3(b) menunjukan graf yang tidak terhubung karena
tidak terdapat jalan yang menghubungkan v5 dengan vertex lainnya.
Berikut diberikan syarat perlu dan cukup agar satu graf terhubung G adalah
graf primitif.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah suatu graf. Graf G dikatakan primitif jika dan
hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran ganjil.
Bukti. Andaikan G adalah suatu graf. Andaikan graf G adalah primitif, maka
terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan vertex
v di G terdapat jalan dari vertex u ke vertex v di G dengan panjang k. Hal ini
berakibat G adalah terhubung. Perhatikan bahwa untuk setiap pasangan vertex u
dan vertex v di G terdapat jalan dengan panjang m untuk semua bilangan m > k.
Andaikan m adalah ganjil. Untuk setiap vertex u dan v di G dapat dibentuk jalan
dengan panjang ganjil. Andaikan u ↔ u adalah jalan yang menghubungkan vertex
u ke dirinya sendiri. Misalkan puv adalah lintasan yang menghubungkan vertex u ke
vertex v. Jalan u ↔ v dapat dibentuk dari vertex u ke vertex v melalui lintasan puv
Universitas Sumatera Utara
9
dan kembali ke vertex u melalui lintasan puv yang sama. Andaikan l(wuu ) adalah
panjang jalan dari vertex u ke u. Perhatikan bahwa l(wuu ) adalah genap. Agar wuu
mempunyai panjang ganjil maka wuu hrus melewati satu lingkaran ganjil disebarang
vertex, misalnya vertex x. Jalan wuu yang terdiri dari lintasan pux , lintasan pxx , dan
lintasan pxu adalah suatu jalan wuu dengan panjang ganjil. Sehingga untuk setiap
vertex u dan v di G haruslah mempunyai lingkaran ganjil.
Contoh 2.4 Berikut contoh graf primitif
Gambar 2.4 : Contoh graf primitif
Graf diatas merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil
yakni lingkaran v1 → v2 → v3 → v1 dengan panjang 3.
Sebuah graf primitif dikatakan graf primitif jarang bila graf primitif tersebut
dibentuk dengan jumlah edge yang minimum.
Universitas Sumatera Utara
10
Contoh 2.5 Berikut contoh graf primitif jarang
Gambar 2.5 : Graf dengan 5 vertex dan 6 edge
Gambar 2.6 : Graf dengan 5 vertex dan 7 edge
Kedua graf diatas merupakan graf dengan 5 vertex dan scrambling index 1. Gambar
2.5 dibentuk dengan 6 edge, sedangkan Gambar 2.6 dibentuk dengan 7 edge sehingga graf pada Gambar 2.5 merupakan graf primitif jarang karena dibentuk dengan
jumlah edge yang minimum dibandingkan dengan graf pada Gambar 2.6.
2.4 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah mariks yang setiap entri aij dari A adalah
bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri aij dari matriks A adalah
bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan
dua buah matriks berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
11
0 3 5
P =
7
5
9
8 1 0
matriks
13
Q=
17
9
tak negatif
5 5
5 1
11 10
matriks positif
2.5 Scrambling Index Graf Primitif
2.5.1 Scrambling Index Lokal Graf Primitif
Untuk u, v ∈ V (G)(u 6= v), scrambling index lokal dari setiap pasangan dua
vertex berbeda di G didefinisikan sebagai,
k
k
ku,v (G) =min{k : u ↔ w dan v ↔ w untuk semua w ∈ V (G)}
2.5.2 Scrambling Index Graf Primitif
Scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah
bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan dua vertex u dan v
yang berbeda terdapat sebuah vertex w dengan sifat terdapat sebuah jalan dari u
ke w dan sebuah jalan dari v ke w dengan panjang k,
atau
k(G) = max {ku,v (G)}
u,v∈V (G)
Dari definisi diperoleh hubungan ku,v (G) ≤ k(G).
Universitas Sumatera Utara
12
Contoh 2.6 Perhatikan Contoh 2.2 Menurut definisi, diperoleh scrambling index
lokal dari graf primitif di atas sebagai berikut,
kv1 ,v2 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv1 ,v3 (G) =min{2, 1, 2, 3, 4, 3} = 1
kv1 ,v4 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv1 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2
kv1 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv2 ,v3 (G) =min{1, 2, 2, 4, 4, 3} = 1
kv2 ,v4 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv2 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 3, 4, 3} = 2
kv2 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 3, 2} = 1
kv3 ,v4 (G) =min{2, 2, 3, 4, 4, 4} = 2
kv3 ,v5 (G) =min{3, 3, 2, 1, 2, 1} = 1
kv3 ,v6 (G) =min{2, 2, 3, 4, 5, 4} = 2
kv4 ,v5 (G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3
kv4 ,v6 (G) =min{2, 2, 1, 2, 1, 2} = 1
kv5 ,v6 (G) =min{3, 3, 4, 5, 6, 5} = 3
Dari definisi diperoleh k(G) = max {ku,v (G)} = 3
u,v∈V (G)
Scrambling index dari graf primitif G dapat dicari menggunakan matriks ketetanggaan A(G). Jika untuk setiap dua baris pada A(G)k terdapat sedikitnya satu
entri yang nilainya positif pada kolom yang sama maka k merupakan scrambling
index dari graf primitif G.
Universitas Sumatera Utara
13
Contoh 2.7 Perhatikan Contoh 2.2
1. Untuk k = 1, diperoleh
1
A =
0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 1, karena setidaknya
ada dua baris pada matriks A1 , yaitu baris pertama dan baris kelima tidak
memiliki entri positif pada kolom yang sama.
2. Untuk k = 2, diperoleh
2
A =
2 1 1 1 0 1
1 2 1 1 0 1
1 1 4 0 2 0
1 1 0 2 0 2
0 0 2 0 2 0
1 1 0 2 0 2
Graf pada Contoh 2.2 tidak memiliki scrambling index 2, karena setidaknya ada
2 baris pada matriks A2 , yaitu baris keempat dan baris kelima tidak memiliki
entri positif pada kolom yang sama.
3. Untuk k = 3, diperoleh
3
A =
2 3 5 1 2 1
3 2 5 1 2 1
5 5 2 6 0 6
1 1 6 0 4 0
2 2 0 4 0 4
1 1 6 0 4 0
Universitas Sumatera Utara
14
Graf pada Contoh 2.2 memiliki scrambling index 3, karena untuk setiap 2 baris
pada matriks A3 setidaknya terdapat satu entri positif pada kolom yang sama.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Untuk menentukan scrambling index dari sebuah kelas graf primitif yang tidak memuat loop, akan dilakukan dalam beberapa langkah pendekatan sebagai berikut:
1. Komputasi Nilai Scrambling Index. Dengan menggunakan program yang ditulis dalam MATLAB akan diperoleh sebuah bilangan bulat positif terkecil k
yang merupakan scrambling index dari suatu graf primitif. Berikut algoritma
untuk mencari scrambling index dari graf primitif G dengan n ≥ 3.
(a) Menginput matriks ketetanggaan dari graf primitif G.
(b) Mengecek primitifitas graf primitif.
(c) Jika untuk dua baris pada Ak sedikitnya terdapat satu elemen yang nilainya positif pada kolom yang sama maka k merupakan scrambling index
dari graf primitif G.
2. Menentukan syarat perlu dan cukup agar sebuah graf primitif G memiliki
scrambling index 1 dan pembuktiannya.
3. Menentukan bentuk umum graf primitif jarang dengan scrambling index 1 dan
pembuktiannya.
15
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diperlihatkan hasil dari penelitian ini, yaitu syarat perlu dan
cukup agar sebuah graf primitif memiliki scrambling index 1 dan bentuk umum dari
graf primitif dengan scrambling index 1.
4.1 Syarat Perlu dan Cukup
Lemma 4.1 Andaikan G adalah sebuah graf primitif dengan n ≥ 3 vertex dan tanpa
loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi berikut.
1. Setiap vertex dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk setiap dua vertex u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda,
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.
Bukti. Andaikan k(G) = 1, dan misalkan u adalah sebarang vertex di G. Karena
G terhubung, maka terdapat sebuah vertex v di G sehingga {u, v} adalah sebuah
edge di G. Karena k(G) = 1, terdapat sebuah vertex w sehingga {u, w} dan {v, w}
masing-masing adalah sebuah edge dari graf G. Akibatnya, edge {u, v}, {u, w} dan
{v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. Jadi setiap vertex di G terletak
pada sebuah segitiga. Andaikan x dan y adalah dua vertex di graf G yang terletak
pada sebuah segitiga berbeda. Karena k(G) = 1, maka terdapat sebuah vertex z
di G sehingga {x, z} dan {y, z} masing-masing adalah sebuah edge pada graf G.
Akibatnya jalan x ↔ z ↔ y adalah sebuah jalan yang menghubungkan x dan y
dengan panjang 2.
Sekarang misalkan G adalah primitif dan memenuhi kondisi (1) dan kondisi
(2) pada Lemma 4.1. Untuk setiap dua vertex u dan v yang berbeda diperlihatkan
bahwa ku,v (G) = 1. Jika u dan v terletak pada sebuah segitiga, maka terdapat vertex
1
1
w pada segitiga sehingga ada jalan u ↔ w dan v ↔ w. Jadi ku,v (G) = 1. Jika u
dan v berada pada dua segitiga yang berbeda, maka kondisi (2) menjamin bahwa
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Hal ini berakibat
1
1
terdapat vertex w di graf G sehingga ada jalan u ↔ w dan v ↔ w. Jadi ku,v (G) = 1.
Oleh definisi k(G) = max{ku,v (G)} = 1.
u6=v
16
Universitas Sumatera Utara
17
Berikut ini diperlihatkan bahwa syarat graf tanpa loop pada Lemma 4.1 adalah
diperlukan. Perhatikan graf Ln atas n vertex dengan himpunan edge {{v1 , v1 }} ∪
{{v1 , vi } : i = 1, 2, . . . , n} . Graf Ln adalah sebuah graf primitif dengan scrambling
index 1, tetapi Ln tidak memuat segitiga. Sehingga Ln tidak memenuhi kondisi (1)
pada Lemma 4.1, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 : Graf memuat loop yang memiliki scrambling index 1
4.2 Graf Primitif Jarang
Pada bagian ini didiskusikan kelas graf primitif atas n vertex dengan scrambling
index 1 dan mempunyai jumlah edge minimum. Untuk bilangan bulat positif n ≥ 3,
didefinisikan Sn sebagai sebuah graf primitif atas n vertex dengan k(Sn ) = 1 dan
banyak edge minimum.
Teorema 4.1 Andaikan Sn adalah graf primitif atas n ≥ 3 vertex tanpa loop dan
k(Sn ) = 1. Minimum banyaknya edge dari Sn adalah 3n−3
bila n adalah ganjil dan
2
3n−2
bila n adalah genap.
2
Bukti. Andaikan Sn adalah graf primitif tanpa loop dengan k(Sn ) = 1. Dari Lemma
4.1 diperoleh bahwa graf S3 dengan edge minimum adalah graf segitiga dengan 3
vertex dan 3 edge, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.2.
Universitas Sumatera Utara
18
Gambar 4.2 : Graf dengan k(S3 ) = 1
Andaikan ditambahkan sebuah edge yang menggabungkan v4 ke S3 pada v1 sehingga
membentuk S4 , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.3 : Graf dengan k(S4 ) 6= 1
Dari Lemma 4.1(1) diketahui bahwa S4 tidak mempunyai scrambling index 1 karena v4 tidak berada pada sebuah segitiga. Karena penambahan satu vertex dan
satu edge pada S3 tidak membentuk graf primitif dengan scrambling index 1, maka
ditambahkan lagi sebuah edge yaitu sebuah edge yang menghubungkan v3 dengan
v4 , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.4, sehingga minimum banyaknya edge
dari S4 adalah 5.
Universitas Sumatera Utara
19
Gambar 4.4 : Graf dengan k(S4 ) = 1
Kemudian v5 ditambahkan pada S4 . Jika v5 dan sebuah edge ditambahkan pada S4 ,
maka graf tersebut tidak memiliki scrambling index 1 karena v5 tidak berada pada
sebuah segitiga, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 : Graf dengan k(S5 ) 6= 1
Oleh karena itu, perlu ditambahkan lagi sebuah edge yaitu edge yang menghubungkan v4 dan v5 , seperti yang diperlikatkan pada Gambar 4.6.
Universitas Sumatera Utara
20
Gambar 4.6 : Graf 5 vertex dengan scrambling index 1 dan tidak memiliki banyak
edge yang minimum
Tetapi Gambar 4.6 tidak memiliki banyak edge yang minimum, maka S5 dapat dibentuk dengan menggabungkan sebuah limtasan v1 ↔ v4 ↔ v5 ↔ v1 pada S3 , sehingga
diperoleh S5 dengan minimum banyaknya edge adalah 6, seperti yang diperlihatkan
pada Gambar 4.7.
Gambar 4.7 : Graf dengan k(S5 ) = 1
Untuk membentuk S6 dengan banyak edge yang minimum dilakukan dengan cara
menggabungkan sebuah segitiga dengan lintasan v1 ↔ v5 ↔ v6 ↔ v1 pada S4 ,
seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.8, sehingga minimum banyaknya edge
dari S6 adalah 8.
Universitas Sumatera Utara
21
Gambar 4.8 : Graf dengan k(S6 ) = 1
Untuk membentuk S7 dilakukan dengan cara menggabungkan sebuah segitiga pada S5 , dan S8 dilakukan dengan menggabungkan sebuah segitiga pada S6 . Secara umum untuk i ≥ 5, Si dapat dibentuk dengan menggabungkan sebuah segitiga pada Si−2 . Minimum banyaknya edge dari Sn jika n ≥ 3 dan n ganjil adalah
3, 6, 9, 12, · · · , 3n−3
, dan minimum banyaknya edge dari Sn jika n ≥ 4 dan n genap
2
. Dari proses tersebut diperoleh graf seperti yang diperadalah 5, 8, 11, 14, · · · , 3n−2
2
lihatkan pada Gambar 4.9 untuk n ganjil vertex dan Gambar 4.10 untuk n genap
vertex.
Gambar 4.9 : Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n ganjil vertex dan
3n−3
2
edge yang minimum
Universitas Sumatera Utara
22
Gambar 4.10 : Graf dengan dengan scrambling index 1 memuat n genap vertex dan
3n−2
2
edge yang minimum
Perhatikan graf Sn di atas. Terdapat dua jenis edge pada graf tersebut, yaitu
edge yang insiden dengan v1 dan edge yang tidak insiden dengan v1 . Jika salah
satu edge dihilangkan pada sebarang graf Sn , maka k(Sn ) 6= 1 karena Sn tidak
memenuhi Lemma 4.1(1). Jadi, terbukti bahwa Sn merupakan graf primitif jarang
karena dibentuk dengan jumlah edge yang minimum.
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Penelitian ini memperlihatkan syarat perlu dan cukup bagi graf primitif dengan
scrambling index 1. Andaikan G adalah suatu graf primitif dengan n ≥ 3 vertex dan
tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi
berikut.
1. Setiap vertex dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk setiap dua vertex u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda,
terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.
Selanjutnya diperlihatkan bahwa sebuah graf primitif atas n vertex dengan scrambling index 1 memiliki sedikitnya 3n−3
bila n adalah ganjil dan 3n−2
bila n adalah
2
2
genap.
5.2 Saran
Penelitian ini hanya membicarakan syarat perlu dan cukup serta banyak edge minimum bagi graf primitif dengan scrambling index 1. Diperlukan penelitian lebih
lanjut untuk mencari syarat perlu dan cukup serta banyak edge minimum bagi digraf primitif dengan scrambling index 1.
23
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Akelbek, M. and Kirkland, S. 2009. Coefficient of Ergodicity and The Scrambling
Index. Linear Algebra Appl. 430:1111-1130.
Akelbek, M. and Kirkland, S. 2009. Primitive Digraphs with The Largest Scrambling
Index. Linear Algebra Appl. 430:1099-1110.
Brualdi, R.A. and Ryser, H.J. 1991. Combinatorial Matrix Theory. Cambridge: Cambridge University Press.
Chen, S and Liu, B. 2010.The Scrambling Index of Symetric Primitive Matrices.
Linear Algebra Appl. 433:1110-1126.
Fuyi, W., Maoquan, C. and Jianzhong, W. 1999. On Odd Primitive Graphs. Australasian Journal of Combinatorics. 19:11-15.
Liu, B. and Huang, Y. 2010. The Scrambling Index of Primitive Digraphs. Computers
and Mathematics with Applications. 60:706-721.
Kim, B.M., Song, B.C. and Hwang, W. 2005. Nonnegative Primitive Matrices with
Exponent 2. Linear Algebra Appl. 407:162-168.
Kim, B.M., Song, B.C. and Hwang, W. 2007. Primitive Graphs with Given Exponents
and Minimum Number of Edges. Linear Algebra Appl. 420:648-662.
24
Universitas Sumatera Utara