Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf Primitif

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Sebuah graf terhubung G adalah primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k
k

sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ←→ v.
Bilangan bulat positif terkecil k dikatakan sebagai eksponen dari G, dinotasikan
exp(G) (Kim et al., 2007).
Penelitian tentang graf primitif telah banyak dilakukan. Pada tahun 1990,
Liu et al. (1990) melakukan penelitian tentang eksponen dari graf primitif. Liu et
al. (1990) memperkenalkan batas atas eksponen dari graf primitif sederhana.
Fuyi et al. (1999) meneliti tentang graf primitif ganjil. Setiap graf primitif
ganjil harus memiliki dua titik yang disjoint dengan cycle ganjil. Fuyi et al. (1999)
juga menggolongkan family dari graf primitif ganjil yang eksponennya mencapai
batas atas.
Kim et al. (2007) menemukan nilai minimum sisi, h(n, k), dari graf primitif
G pada n titik dengan eksponen k dan menggolongkan graf primitif yang memiliki
sisi, h(n, k), dengan k berjumlah tiga atau genap.
Akelbek dan Kirkland (2009a) memperkenalkan gagasan Scrambling index
dari graf primitif G, dinotasikan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k,

sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v di G terdapat titik w
k

k

sedemikian sehingga terdapat jalan u ←→ w dan v ←→ w. Untuk pasangan titik
berbeda u dan v di G, scrambling index lokal u dan v adalah ku,v (G) = minw∈V {k :
k

k

u ←→ w, v ←→ w}.
Karena scrambling index lokal u, v dari graf primitif G adalah ku,v (G), maka
untuk bilangan bulat positif ℓ ≥ ku,v (G) terdapat w′ sedemikian hingga ada jalan
ℓ

ℓ

u ←→ w′ dan v ←→ w′ , yang dapat dinyatakan dengan k(G) = maxu,v∈G {ku,v (G)}.

4

Universitas Sumatera Utara

5
Pada tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) menemukan batas atas
untuk Scrambling index dari graf primitif yaitu:
1. Andaikan G adalah graf primitif, dan misalkan s1 , s2 adalah cycle dengan
panjang berbeda di G. Andaikan gcd(s1 , s2 ) = 1, dengan s1 dan s2 adalah
bilangan bulat 2 ≤ s2 < s1 ≤ n, maka
k(G) ≤ min{⌊

s1
s2
⌋s2 , ⌊ ⌋s1 } + maxu,v {lu,v }
2
2

dengan u 6= v, lu,v = max{l(u, w), l(v, w)}, w ∈ V (G). l(u, w) dan l(v, w)
adalah panjang jalan berarah dari u ke w dan v ke w yang bertemu dengan

cycle sepanjang s1 dan s2 .
2. Misalkan G adalah graf primitif dengan n titik dan cycle Hamilton, dan
misalkan lilitan (girth) dari G adalah s, dengan s adalah bilangan bulat
1 ≤ s ≤ n − 1. Jika gcd(n, s) = 1, maka

k(G) ≤ n − s +

 s−1
 ( 2 )n,

)s,
 ( n−l
2

dengan s ganjil,
dengan s genap

3. Andaikan G adalah graf primitif dengan n titik maka
k(G) ≤ ⌈

(n − 1)2 + 1
⌉
2

Persamaan terpenuhi jika dan hanya jika G = Gn−1,n .
Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (2010) melakukan penelitian mengenai
scrambling index. Chen dan Liu (2010) menuliskan hubungan antara Scrambling
index dan eksponen pada graf primitif yaitu:


expG (u, v)
ku,v (G) ≤
2
dan




exp(G)
k(G) =

.
2
Chen dan Liu (2010) juga menjelaskan himpunan scrambling index pada graf

primitif yaitu himpunan Sn (s) dan Hn (l), serta menuliskan batas atas scrambling
index dari graf primitif untuk masing-masing himpunan.
Universitas Sumatera Utara

6
Sn (s) adalah himpunan semua n titik dari graf primitif yang mempunyai
cycle sepanjang s tetapi bukan cycle ganjil yang lebih kecil dari s. Sedangkan
Hn (l) adalah himpunan semua n titik dari graf primitif yang mempunyai l loop
dengan loop merupakan suatu sisi yang menghubungkan titik yang sama, dan n, l,
s adalah bilangan bulat dengan n ≥ 2, 0 ≤ l ≤ n, 1 ≤ s ≤ n dan s ≡ 1 (mod 2).
Batas atas scrambling index dari graf primitif di Hn (l), yaitu:

k(G) ≤

 n−1
 ⌈ 2 ⌉,

jika n − ⌈ n−1
⌉ ≤ l ≤ n,
2

⌉
 n − l jika 2 ≤ l ≤ n − ⌈ n−1
2

Sedangkan batas atas scrambling index dari graf primitif di Sn (s) dengan n ≤ 2,
1 ≤ s ≤ n, yaitu k(G) ≤ n − (s + 1)/2. Persamaan terpenuhi jika dan hanya jika
(i) n ≤ 3 dan G isomorfik dengan Gn−s
n,s , atau
(ii) n = 2 (dan sehingga s = 1) dan G juga isomorfik dengan G12,1 atau G isomorfik
dengan graf G′2,1 yang diperoleh dari G12,1 dengan menjumlahkan loop ke titik
lainnya.
Dua graf G1 = (V1 , E1 ) dan G2 = (V2 , E2) dengan V adalah himpunan titik
V = V (G) dan E himpunan sisi E = E(G), dikatakan isomorfik, dituliskan
G1 ≃ G2 , jika terdapat suatu fungsi bijektif (1-1 dan pada) α : V1 → V2 sedemikian sehingga untuk setiap u, v ∈ V1 berlaku {u, v} ∈ E1 jika dan hanya
jika {α(u), α(v)} ∈ E2. Suatu fungsi yang demikian dinamakan isomorfisma

(isomorphism).

Universitas Sumatera Utara