Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf Primitif
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Andaikan G = (V, E) notasi graf dengan himpunan titik V = V (G) dan himpunan
sisi E = E(G). Jika u dan v adalah titik di G, maka sebuah jalan dengan panjang
t yang menghubungkan titik u dan v di G adalah barisan t sisi dalam bentuk
{u = v0, v1}, {v1, v2}, {v2, v3}, ..., {vt−1, vt = v}, juga dapat dinotasikan dengan
u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v. Secara sederhana, sebuah jalan dengan
t
panjang t yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u ←→ v. Dalam
sebuah jalan, titik dan sisi tidak harus berbeda. Sebuah jalan dikatakan terbuka
bila u 6= v dan dikatakan tertutup bila u = v. Jalan tanpa perulangan titik, kecuali
u = v disebut sebagai lintasan. Sebuah lintasan tertutup disebut sebagai cycle.
Jarak u dan v, d(u, v), adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan
u dan v. Untuk sembarang himpunan X ⊆ V dan sebuah titik u ∈
/ X, jarak
antara u dan X didefinisikan sebagai d(u, X) = min{d(u, x) : x ∈ X}. Jika u ∈ X
didefinisikan d(u, X) = 0.
Sebuah graf G dikatakan terhubung, jika untuk setiap pasangan titik u dan
v di G terdapat jalan yang menghubungkan titik u dan v. Sebuah graf terhubung
G merupakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga
k
untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ←→ v. Bilangan bulat
positif terkecil k dikatakan sebagai eksponen dari G, dinotasikan exp(G). Jadi, graf
G primitif jika dan hanya jika G memiliki cycle dengan panjang ganjil. Beberapa
hasil eksponen dari graf primitif G dapat ditemukan di Fuyi et al. (1999), Kim et
al. (2006), Kim et al. (2007).
Akelbek dan Kirkland (2009a) memperkenalkan gagasan Scrambling index
dari graf. Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan k(G) merupakan
bilangan bulat positif terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda
k
u dan v di G terdapat titik w sedemikian sehingga terdapat jalan u ←→ w dan
k
v ←→ w. Untuk pasangan titik berbeda u dan v di G, scrambling index lokal u
k
k
dan v adalah ku,v (G) = minw∈V {k : u ←→ w, v ←→ w}.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Karena scrambling index lokal u dan v dari graf primitif G adalah ku,v (G),
maka untuk bilangan bulat positif ℓ ≥ ku,v (G) terdapat w′ sedemikian hingga ada
ℓ
ℓ
jalan u ←→ w′ dan v ←→ w′ , yang dapat dinyatakan dengan
k(G) = maxu,v∈G {ku,v (G)}.
Chen dan Liu (2010) memperlihatkan bahwa untuk graf primitif G pada n
titik dengan cycle sepanjang s, k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s). Batas ini hanya dapat
dicapai satu tipe graf primitif, yaitu graf primitif G dengan cycle ganjil Cs , dan
maxv∈V {d(v, Cs )} = n − s, seperti Gambar 1.1.
Gambar 1.1 Contoh graf dengan maxv∈V {d(v, Cs)} = n − s
Namun, untuk tipe graf primitif lainnya, dengan maxv∈V {d(v, Cs)} < n − s,
maka batas k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s) tidak dapat dicapai. Tujuan dari tulisan ini
adalah menemukan batas atas scrambling index dari graf primitif G dengan cycle
ganjil Cs sepanjang s dan maxv∈V {d(v, Cs )} ≤ n − s. Tulisan ini juga membahas
family dari graf primitif yang scrambling index mencapai batas atas yang telah
ditemukan.
1.2 Perumusan Masalah
Untuk graf primitif, batas atas scrambling index k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s) hanya
dapat dicapai satu tipe graf, tetapi tidak dapat dicapai tipe graf lainnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menemukan batas atas yang tidak hanya dapat
dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah ditemukannya batas atas baru yang tidak hanya
dapat dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya, sehingga
penerapan batas atas scrambling index dapat diperluas untuk graf-graf primitif
tertentu lainnya. Penelitian ini juga bermamfaat bagi peneliti lain yang ingin
meneliti dengan masalah dan konsep yang sama dan untuk memperkaya literatur
dibidang graf.
1.5 Metode Penelitian
Batas atas baru untuk scrambling index dari graf primitif diperoleh dengan mengaitkan pada parameter maxv∈V {d(v, Cs )} dengan Cs adalah cycle ganjil terkecil
di G yaitu:
1. Untuk setiap u, v ∈ V diperlihatkan terdapat lintasan dengan panjang
(s − 1) + 2 maxv∈V {d(v, Cs )}.
2. Untuk graf primitif G cukup adanya jalan genap ≤ (s−1) + 2 maxv∈V {d(v, Cs )}.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Andaikan G = (V, E) notasi graf dengan himpunan titik V = V (G) dan himpunan
sisi E = E(G). Jika u dan v adalah titik di G, maka sebuah jalan dengan panjang
t yang menghubungkan titik u dan v di G adalah barisan t sisi dalam bentuk
{u = v0, v1}, {v1, v2}, {v2, v3}, ..., {vt−1, vt = v}, juga dapat dinotasikan dengan
u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v. Secara sederhana, sebuah jalan dengan
t
panjang t yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u ←→ v. Dalam
sebuah jalan, titik dan sisi tidak harus berbeda. Sebuah jalan dikatakan terbuka
bila u 6= v dan dikatakan tertutup bila u = v. Jalan tanpa perulangan titik, kecuali
u = v disebut sebagai lintasan. Sebuah lintasan tertutup disebut sebagai cycle.
Jarak u dan v, d(u, v), adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan
u dan v. Untuk sembarang himpunan X ⊆ V dan sebuah titik u ∈
/ X, jarak
antara u dan X didefinisikan sebagai d(u, X) = min{d(u, x) : x ∈ X}. Jika u ∈ X
didefinisikan d(u, X) = 0.
Sebuah graf G dikatakan terhubung, jika untuk setiap pasangan titik u dan
v di G terdapat jalan yang menghubungkan titik u dan v. Sebuah graf terhubung
G merupakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga
k
untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ←→ v. Bilangan bulat
positif terkecil k dikatakan sebagai eksponen dari G, dinotasikan exp(G). Jadi, graf
G primitif jika dan hanya jika G memiliki cycle dengan panjang ganjil. Beberapa
hasil eksponen dari graf primitif G dapat ditemukan di Fuyi et al. (1999), Kim et
al. (2006), Kim et al. (2007).
Akelbek dan Kirkland (2009a) memperkenalkan gagasan Scrambling index
dari graf. Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan k(G) merupakan
bilangan bulat positif terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda
k
u dan v di G terdapat titik w sedemikian sehingga terdapat jalan u ←→ w dan
k
v ←→ w. Untuk pasangan titik berbeda u dan v di G, scrambling index lokal u
k
k
dan v adalah ku,v (G) = minw∈V {k : u ←→ w, v ←→ w}.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Karena scrambling index lokal u dan v dari graf primitif G adalah ku,v (G),
maka untuk bilangan bulat positif ℓ ≥ ku,v (G) terdapat w′ sedemikian hingga ada
ℓ
ℓ
jalan u ←→ w′ dan v ←→ w′ , yang dapat dinyatakan dengan
k(G) = maxu,v∈G {ku,v (G)}.
Chen dan Liu (2010) memperlihatkan bahwa untuk graf primitif G pada n
titik dengan cycle sepanjang s, k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s). Batas ini hanya dapat
dicapai satu tipe graf primitif, yaitu graf primitif G dengan cycle ganjil Cs , dan
maxv∈V {d(v, Cs )} = n − s, seperti Gambar 1.1.
Gambar 1.1 Contoh graf dengan maxv∈V {d(v, Cs)} = n − s
Namun, untuk tipe graf primitif lainnya, dengan maxv∈V {d(v, Cs)} < n − s,
maka batas k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s) tidak dapat dicapai. Tujuan dari tulisan ini
adalah menemukan batas atas scrambling index dari graf primitif G dengan cycle
ganjil Cs sepanjang s dan maxv∈V {d(v, Cs )} ≤ n − s. Tulisan ini juga membahas
family dari graf primitif yang scrambling index mencapai batas atas yang telah
ditemukan.
1.2 Perumusan Masalah
Untuk graf primitif, batas atas scrambling index k(G) ≤ (s − 1)/2 + (n − s) hanya
dapat dicapai satu tipe graf, tetapi tidak dapat dicapai tipe graf lainnya.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menemukan batas atas yang tidak hanya dapat
dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya.
Universitas Sumatera Utara
3
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah ditemukannya batas atas baru yang tidak hanya
dapat dicapai satu tipe graf, tetapi juga dapat dicapai tipe graf lainnya, sehingga
penerapan batas atas scrambling index dapat diperluas untuk graf-graf primitif
tertentu lainnya. Penelitian ini juga bermamfaat bagi peneliti lain yang ingin
meneliti dengan masalah dan konsep yang sama dan untuk memperkaya literatur
dibidang graf.
1.5 Metode Penelitian
Batas atas baru untuk scrambling index dari graf primitif diperoleh dengan mengaitkan pada parameter maxv∈V {d(v, Cs )} dengan Cs adalah cycle ganjil terkecil
di G yaitu:
1. Untuk setiap u, v ∈ V diperlihatkan terdapat lintasan dengan panjang
(s − 1) + 2 maxv∈V {d(v, Cs )}.
2. Untuk graf primitif G cukup adanya jalan genap ≤ (s−1) + 2 maxv∈V {d(v, Cs )}.
Universitas Sumatera Utara