Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
NURUL IZZATI
100803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
NURUL IZZATI
100803026
DEPARTEMEN STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas
Dua Lingkaran
Kategori
: Skripsi
Nama
: Nurul Izzati
Nomor Induk Mahasiswa : 100803026
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS
DUA LINGKARAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2014
NURUL IZZATI
100803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur penulis
kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagiNya yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk penulis, sehingga penyusunan
skripsi dengan judul Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran
ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada
Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang
mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Prof. Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si
selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.
Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di
FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu
Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU,
serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi
yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibunda Inong Yasrida,
Ayahanda Hidayat Bakhtiar, Kakanda Afdi Alfian, serta Adinda Rizky Ichwan,
Nurul Agri, dan Saktira Surahiddin atas doa dan dukungan yang senantiasa
diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.
Teruntuk Kesebelasan (Ade, Imel, Kak Eti, Vela, Mila, Yundi, Mbak
Wen, Mbak Nita, Sarah, dan Lita), sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM 3 , serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu
menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.
iii
Universitas Sumatera Utara
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini.
Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi
perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan
penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.
Medan, Juli 2014
Penulis
Nurul Izzati
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan
yang menghubungkan titik u dan v dengan panjang k. Scrambling index
dari suatu graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah bilangan bulat
positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda
terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik
u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang
k.
Pada tulisan ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari
graf primitif G terdiri atas tepat dua lingkaran dengan panjang s dan t,
dinotasikan dengan
k(Cst ).)Apabila s dan t keduanya adalah ganjil, maka
(
k(Cst ) = max
(s−1) (t−1)
2 , 2
ganjil, maka k(Cst ) =
dan apabila salah satu dari s atau t adalah
(s+t−1)
.
2
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index
v
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX OF PRIMITIVE GRAPHS
CONSISTING OF EXACTLY TWO CYCLES
ABSTRACT
A connected graphs is called primitive if there is positive integer k that for
each pair of vertices u and v there is a walk that connecting vertex u and v
of lenght k. Scrambling index of primitive graph G, denoted by k(G) is the
smallest positive integer k such that for each pair of vertices u and v, there
is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k.
In this paper, we discuss about scrambling index of primitive graph G consisting of exactly two cycles of lenght s and t, denoted by k(C(st ). If s and )
t,
both of them are cycle with odd vertices, then k(Cst ) = max
(s−1) (t−1)
2 , 2
and if one of s or t is a cycle with odd vertices, then k(Cst ) =
(s+t−1)
.
2
Key words : connected, primitive graphs, scrambling index
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
viii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
1.2 Masalah Penelitian
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1
3
3
3
6
7
BAB 2 GRAF PRIMITIF
2.1 Definisi Graf
2.2 Matriks Adjacency
2.3 Matriks Tak Negatif
2.4 Graf Terhubung
2.5 Primitifitas Graf
2.6 Scrambling Index
2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil
8
11
12
13
15
17
19
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Menentukan Nilai Scrambling Index
3.2 Menentukan Bentuk Umum Scrambling Index
3.3 Membuktikan Bentuk Umum Scrambling Index
20
20
21
BAB 4 SCRAMBLING INDEX Cst
4.1 Scrambling index Cst untuk s dan t ganjil
4.2 Scrambling index Cst untuk s atau t ganjil
23
25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
27
27
DAFTAR PUSTAKA
28
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
4.1
4.2
4.3
Judul
Halaman
Representasi Hubungan Sosial dengan Graf tak Berarah
Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Graf Berarah Ds,n
Contoh representasi graf G(V, E)
Graf terhubung dan tidak terhubung
Graf primitif dan tidak primitif
Lingkaran dengan panjang ganjil
Graf primitif terdiri atas dua lingkaran
Graf Cst dengan s dan t keduanya ganjil
Graf Cst dengan salah satu s atau t adalah ganjil
viii
Universitas Sumatera Utara
1
2
4
9
13
16
19
22
23
25
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
NURUL IZZATI
100803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
NURUL IZZATI
100803026
DEPARTEMEN STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
: Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas
Dua Lingkaran
Kategori
: Skripsi
Nama
: Nurul Izzati
Nomor Induk Mahasiswa : 100803026
Program Studi
: Sarjana (S1) Matematika
Departemen
: Matematika
Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan,
Juli 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si
NIP.19630405 198811 2 001
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
NIP.19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS
DUA LINGKARAN
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2014
NURUL IZZATI
100803026
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur penulis
kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagiNya yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk penulis, sehingga penyusunan
skripsi dengan judul Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran
ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada
Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang
mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Prof. Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga
kepada Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si
selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.
Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr.
Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di
FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu
Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU,
serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi
yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibunda Inong Yasrida,
Ayahanda Hidayat Bakhtiar, Kakanda Afdi Alfian, serta Adinda Rizky Ichwan,
Nurul Agri, dan Saktira Surahiddin atas doa dan dukungan yang senantiasa
diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.
Teruntuk Kesebelasan (Ade, Imel, Kak Eti, Vela, Mila, Yundi, Mbak
Wen, Mbak Nita, Sarah, dan Lita), sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM 3 , serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu
menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.
iii
Universitas Sumatera Utara
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini.
Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi
perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan
penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.
Medan, Juli 2014
Penulis
Nurul Izzati
iv
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
ABSTRAK
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan
yang menghubungkan titik u dan v dengan panjang k. Scrambling index
dari suatu graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah bilangan bulat
positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda
terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik
u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang
k.
Pada tulisan ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari
graf primitif G terdiri atas tepat dua lingkaran dengan panjang s dan t,
dinotasikan dengan
k(Cst ).)Apabila s dan t keduanya adalah ganjil, maka
(
k(Cst ) = max
(s−1) (t−1)
2 , 2
ganjil, maka k(Cst ) =
dan apabila salah satu dari s atau t adalah
(s+t−1)
.
2
Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index
v
Universitas Sumatera Utara
SCRAMBLING INDEX OF PRIMITIVE GRAPHS
CONSISTING OF EXACTLY TWO CYCLES
ABSTRACT
A connected graphs is called primitive if there is positive integer k that for
each pair of vertices u and v there is a walk that connecting vertex u and v
of lenght k. Scrambling index of primitive graph G, denoted by k(G) is the
smallest positive integer k such that for each pair of vertices u and v, there
is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k.
In this paper, we discuss about scrambling index of primitive graph G consisting of exactly two cycles of lenght s and t, denoted by k(C(st ). If s and )
t,
both of them are cycle with odd vertices, then k(Cst ) = max
(s−1) (t−1)
2 , 2
and if one of s or t is a cycle with odd vertices, then k(Cst ) =
(s+t−1)
.
2
Key words : connected, primitive graphs, scrambling index
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi
vii
viii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
1.2 Masalah Penelitian
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tinjauan Pustaka
1.5 Tujuan Penelitian
1.6 Manfaat Penelitian
1
3
3
3
6
7
BAB 2 GRAF PRIMITIF
2.1 Definisi Graf
2.2 Matriks Adjacency
2.3 Matriks Tak Negatif
2.4 Graf Terhubung
2.5 Primitifitas Graf
2.6 Scrambling Index
2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil
8
11
12
13
15
17
19
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Menentukan Nilai Scrambling Index
3.2 Menentukan Bentuk Umum Scrambling Index
3.3 Membuktikan Bentuk Umum Scrambling Index
20
20
21
BAB 4 SCRAMBLING INDEX Cst
4.1 Scrambling index Cst untuk s dan t ganjil
4.2 Scrambling index Cst untuk s atau t ganjil
23
25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
27
27
DAFTAR PUSTAKA
28
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
4.1
4.2
4.3
Judul
Halaman
Representasi Hubungan Sosial dengan Graf tak Berarah
Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Graf Berarah Ds,n
Contoh representasi graf G(V, E)
Graf terhubung dan tidak terhubung
Graf primitif dan tidak primitif
Lingkaran dengan panjang ganjil
Graf primitif terdiri atas dua lingkaran
Graf Cst dengan s dan t keduanya ganjil
Graf Cst dengan salah satu s atau t adalah ganjil
viii
Universitas Sumatera Utara
1
2
4
9
13
16
19
22
23
25