Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran
BAB 2
GRAF PRIMITIF
Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori
yang menjadi acuan dalam penelitian ini. Akan dijelaskan pula beberapa terminologi serta notasi-notasi yang akan digunakan pada pembahasan berikutnya.
2.1 Definisi Graf
Secara umum graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul/titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut
dalam bentuk garis/sisi (edge). Sederhananya, graf dapat digambarkan sebagai
kumpulan titik yang dihubungkan dengan garis. Secara matematika graf didefinisikan sebagai pasangan tak berurut yang terdiri dari dua himpunan berikut:
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0 , v1 , · · · , vm }, dinotasikan dengan
V (G). Elemen-elemen dari himpunan V ini disebut verteks atau titik dari
graf G.
2. Himpunan sisi yang dinotasikan dengan E(G), yaitu pasangan tak berurut
dari elemen-elemen V (G) dalam bentuk E = {(v0 , v1 ); (v1 , v2 ); ·; (vm−1 , vm )}.
Elemen-elemen dari himpunan E ini disebut edge atau sisi dari graf G.
Sebuah graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E dinotasikan
dengan G(V, E). Banyaknya elemen di V disebut order dari G, dinotasikan dengan
|V | dan banyaknya elemen di E disebut size dari G, dinotasikan dengan |E|. Berdasarkan definisi, dapat diketahui bahwa himpunan V tidak bisa kosong sedangkan himpunan E bisa saja kosong. Artinya, suatu graf dimungkinkan untuk tidak
mempunyai sisi sama sekali, tetapi harus mempunyai setidaknya sebuah titik.
Universitas Sumatera Utara
9
Suatu graf dengan size 0 dinamakan graf kosong (null graph) sedangkan
graf dengan order 1 tanpa sebuah sisi sama sekali dinamakan graf trivial.
Contoh 2.1 Berikut adalah graf G(V, E) dengan himpunan titik V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
dan himpunan sisi E = {v1 ↔v2 , v2 ↔v3 , v3 ↔v4 , v4 ↔v5 , v3 ↔v5 , v5 ↔v1 }. Representasi graf tersebut diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Contoh representasi graf G(V, E)
Graf G(V, E) pada gambar 2.1 mempunyai 5 titik dan 6 sisi sehingga order dari
G adalah |V | = 5 dan size dari G adalah |E| = 6.
Apabila diketahui sisi e = (u, v) termuat dalam graf G, maka titik-titik u
dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Titik u merupakan titik awal dan
titik v merupakan titik akhir dalam graf G. Titik u dan v dikatakan bertemu
dengan sisi e dan sebaliknya sisi e dikatakan bertemu dengan titik u dan v. Derajat dari sebuah titik u, dinotasikan dengan deg(u) adalah banyaknya sisi-sisi yang
bertemu dengan titik u.
Suatu sisi (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u ↔ v, yaitu sisi yang
menghubungkan titik u dan titik v. Sisi-sisi yang mempunyai titik ujung sama
dinamakan sisi ganda (parallel edges atau multiple edges) dan suatu sisi yang
menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri dinamakan loop.
Universitas Sumatera Utara
10
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) yang menghubungkan
titik u dan titik v di G dengan panjang m adalah sebuah barisan m sisi dengan
bentuk
{u = v0 , v1 }, {v1 , v2 }, , {vm−1) , vm = v}
Jalan yang menghubungkan titik u dan titik v dengan panjang m ini dinotasikan
dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm = v yang selanjutnya disingkat dengan
m
penulisan u ↔ v.
Sebuah jalan yang menghubungkan u dan v dikatakan terbuka apabila
u 6= v dan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah jalan tanpa perulangan
titik kecuali mungkin titik-titik ujungnya disebut dengan lintasan (path). Titik
awal dan titik akhir dari suatu lintasan bisa saja merupakan titik yang sama, lintasan yang demikian disebut lintasan tertutup (close path) dan merupakan sebuah
lingkaran (cycle).
Suatu lingkaran-s (s-cycle) adalah lingkaran dengan panjang s dan dinotasikan dengan Cs . Jarak (distance) dari titik u menuju titik v, dinotasikan dengan
d(u, v) adalah panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan titik u dan v.
Adapun diameter dari suatu graf G merupakan maksimum jarak yang dapat ditemukan antara titik-titik pada graf G.
Dengan menggunakan graf pada gambar 2.1 akan dijelaskan beberapa terminologi tersebut di atas.
a. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v1 ↔v5 ↔v4 adalah sebuah jalan tetapi bukan lintasan
karena ada perulangan titik v1 . Karena titik awal dan titik akhirnya berbeda,
jalan ini disebut jalan terbuka.
b. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v3 ↔v4 ↔v5 adalah sebuah lintasan terbuka.
c. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v3 ↔v4 ↔v5 ↔v1 adalah sebuah lintasan tertutup dan
disebut juga dengan lingkaran. Lingkaran ini dapat juga disebut dengan
lingkaran-5 yaitu lingkaran dengan panjang 5.
Universitas Sumatera Utara
11
d. Jarak d(v1 , v5 ) adalah jarak dengan panjang ganjil dan jarak d(v1 , v3 ) adalah
jarak dengan panjang genap.
e. Jarak maksimum dari graf G adalah 2, yaitu antara d(v1 , v3 ), d(v1 , v4 ),
d(v2 , v4 ), ataupun d(v2 , v5 ). Maka diameter graf G adalah 2.
2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency (matriks ketetanggaan) adalah (0, 1)-matriks, yaitu sebuah
matriks yang hanya memuat elemen 0 atau 1. Matriks ini digunakan untuk
menyatakan graf G atas n titik. Matriks adjacency dari sebuah graf G atas n
titik v1 , v2 , · · · , vn adalah sebuah matriks bujursangkar A = [aij ] dengan ordo n
yang setiap elemennya didefinsikan dengan ketentuan berikut:
(
1, jika {vi, vj} ∈ E(G)
aij =
0, jika {vi, vj} ∈
/ E(G)
Berdasarkan definisi dapat diketahui bahwa aij = aji untuk semua 1 ≤ i, j ≤ n.
Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari graf G merupakan sebuah matriks simetrik.
Contoh 2.2 Graf G(V, E) pada gambar 2.1 dapat direpresentasikan dalam bentuk
matriks adjacency A(G) = [aij ] sebagai
0
1
A(G) = 0
1
berikut:
1 0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1 1
0
0
1
1
0
Pada contoh 2.2 terlihat bahwa setiap baris atau kolom ke- i = 1, 2, 3, 4, 5
dari matriks adjacency A(G) bersesuaian dengan titik vi dengan i = 1, 2, 3, 4, 5.
Elemen a12 = 1 menyatakan bahwa terdapat sisi yang menghubungkan titik v1
dengan titik v2 , yakni sisi {1, 2} dan elemen a13 = 0 menyatakan bahwa tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v1 dengan titik v3 . Banyaknya kemunculan
Universitas Sumatera Utara
12
angka 1 pada baris pertama dari A(G) menyatakan derajat dari titik v1 .
Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij ) adalah sebuah matriks adjacency dari G. Misalkan akij adalah elemen (i, j) dari matriks Ak . Maka
akij menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i
dengan titik j.
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi atas k. Asumsikan
bahwa elemen akij dari Ak menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang
menghubungkan titik i dengan titik j. Apabila k = 1, maka elemen a1ij = aij dari
A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i
dengan titik j. Karena Ak+1 = Ak A, maka
ak+1
ij
=
n
X
akil alj
l=1
untuk l = 1, 2, · · · , n. Berdasarkan prinsip perkalian, ekspresi akil alj adalah
banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang melalui titik vl . Sehingga oleh prinsip
penjumlahan, ak+1
adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghuij
bungkan titik i dengan titik j.
2.3 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan suatu matriks dengan aij ≥ 0, artinya setiap
elemen-elemen aij dari matriks A memuat bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya
jika setiap elemen-elemen dari matriks A memuat bilangan bulat positif, yaitu
aij > 0 maka matriks tersebut disebut matriks positif. Berikut diberikan dua
buah matriks.
1
3
N =
4
3
3 0 7
2 1 5
0 2 0
2 0 0
Universitas Sumatera Utara
13
7
3
M =
1
4
3 9 2
1 2 4
4 1 1
8 3 1
Matriks N adalah matriks tak negatif dan matriks M adalah matriks positif.
2.4
Graf Terhubung
Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya
graf G dikatakan tidak terhubung apabila tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik u ke titik v.
Dua titik terhubung pada suatu graf bersifat refleksif, artinya apabila u
dan v adalah dua titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan dengan bergerak mundur akan diperoleh sebuah jalan yang
menghubungkan v dengan u. Maka dua titik terhubung pada suatu graf juga
bersifat simetrik.
Gambar 2.2. Graf terhubung dan tidak terhubung
Gambar 2.2 menunjukkan bahwa (a) adalah graf terhubung karena terdapat jalan
yang menghubungkan satu titik ke titik lainnya, sedangkan (b) adalah graf tidak
terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghungkan titik v1 , v2 dan v3 ke
titik v4 dan v5 . Berikut akan diperlihatkan sebuah cara untuk mengetahui keter-
Universitas Sumatera Utara
14
hubungan dari suatu graf.
Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2 + · · · +
An−1 mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif.
Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A2 +
· · · + An−1 . Telah diketahui bahwa G mempunyai n titik dan pada suatu lintasan
tidak terdapat titik berulang kecuali u = v. Apabila u 6= v, maka terdapat suatu
lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan u dengan v.
Hal ini mengakibatkan untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda,
terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga elemen
akij > 0. Artinya, semua elemen di luar elemen diagonal dari matriks B adalah
positif. Apabila u = v, maka terdapat sebuah lingkaran dengan panjang 2 yang
memuat titik u sehingga elemen a2uu > 0 untuk semua u = 1, 2, · · · , n. Maka
diagonal dari matriks B adalah positif sehingga dapat disimpulkan bahwa semua
elemen dari matriks B = A + A2 + · · · + An−1 adalah positif.
Akibatnya, untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah bilangan
positif k dengan 1 ≤ k ≤ n −1 sehingga akij > 0. Hal ini menyatakan bahwa untuk
setiap pasangan titik u dan v di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang
menghubungkan titik u dan v, artinya G adalah sebuah graf terhubung.
Berikut adalah proposisi yang menjelaskan beberapa sifat dari jalan yang
menghubungkan titik u dan titik v yang dirujuk dari Harleni (2014).
Proposisi 2.1 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u dan v. Setiap
t
t+2m
jalan u ↔ v dapat dikembangkan menjadi sebuah jalan u ↔ v, untuk sebarang
bilangan bulat positif m.
Bukti. Misalkan titik u dan v termuat dalam graf G dan misalkan W : u =
t
v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v merupakan jalan u ↔ v di G. Maka jalan
Universitas Sumatera Utara
15
′
W yang dimulai dari titik u berpindah ke titik v sepanjang jalan W kemudian
berpindah m kali mengelilingi lingkaran v ↔ vt−1 ↔ v merupakan sebuah jalan
t+2m
u ↔ v.
Proposisi 2.2 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u,v dan w. Tert
2t
t
dapat jalan u ↔ w dan jalan v ↔ w di G jika dan hanya jika terdapat jalan u ↔ v
di G.
t
t
Bukti. Andaikan terdapat jalan u ↔ w dan jalan v ↔ w di G. Maka dapat
dinyatakan bahwa jalan yang dimulai dari u yang berpindah ke w sepanjang jalan
t
2t
t
u ↔ w kemudian berpindah ke v sepanjang jalan v ↔ w, merupakan jalan u ↔ v.
Asumsikan bahwa W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ v2t−1 ↔ v2t = v merupakan
2t
t
t
jalan u ↔ v di G. Jika w = vt , maka terdapat u ↔ w dan jalan v ↔ w di G.
Syahmarani dan Suwilo (2012) juga memberikan Lemma mengenai graf
terhubung sebagai berikut.
Lemma 2.1 Andaikan G adalah graf terhubung maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
Bukti. Ambil sebarang titik v di G. Karena G terhubung, maka terdapat suatu sisi yang menghubungkan titik v ke suatu titik u. Akibatnya, akan diperoleh
suatu lintasan tertutup di G yang dibentuk oleh sisi dari titik u ke titik v dan
lintasan dari titik v ke titik u di G. Oleh definisi, diketahui bahwa lintasan tertutup merupakan suatu lingkaran. Karena titik v adalah sebarang titik di G,
maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
2.5 Primitifitas Graf
Suatu graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat sebuah bilangan posik
tif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ↔ v.
Sebuah graf G adalah graf primitif jika dan hanya jika graf G terhubung dan
memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil.
Universitas Sumatera Utara
16
Graf G(V, E) yang ditunjukkan pada gambar 2.1 sebelumnya adalah salah
satu contoh graf primitif. Berikut akan diperlihatkan graf primitif dan tidak primitif.
Gambar 2.3. Graf primitif dan tidak primitif
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa (a) merupakan graf primitif karena graf
tersebut memuat lingkaran v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 dengan panjang 3, sehingga syarat
memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil telah dipenuhi.
Gambar (b) merupakan graf tidak primitif karena tidak memuat lingkaran ganjil
sama sekali.
Primitifitas suatu graf juga dapat dilihat melalui representasi matriksnya.
Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan
bulat positif k sedemikian hingga Ak > 0. Berikut adalah representasi matriks
dari graf primitif pada gambar 2.3 bagian (a).
0
1
A=
1
1
1 1 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
3
1
A2 =
2
1
1 2 1
2 1 2
1 3 1
2 1 2
Universitas Sumatera Utara
17
Karena terdapat k = 2 sedemikian hingga setiap elemen-elemen pada A2 memuat
bilangan bulat positif, maka diketahui bahwa untuk matriks A dari graf tersebut,
terdapat A2 > 0. Sehingga terbukti bahwa graf tersebut adalah graf primitif.
2.6 Scrambling Index
Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan
bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda,
k
k
terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔ w dan v ↔ w. Adapun untuk dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah
bilangan bulat positif ku,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k
k
ku,v (G) = min{k : u ↔ w dan v ↔ w}
w∈V
Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v (G)
diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v (G). Karena G adalah graf terhubung, maka
′
untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v (G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga
l
′
l
′
terdapat u ↔ w dan v ↔ w . Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang
juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai
scrambling index lokal ku,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max{ku,v (G)}
u6=v
Contoh 2.3 Dengan menggunakan graf G(V, E) pada gambar 2.1, nilai scrambling index dari graf tersebut dapat ditentukan. Terlebih dahulu ditentukan nilainilai scrambling index lokal-nya sebagai berikut:
ku,v (G) = min {4, 4, 3, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,w (G) = min {5, 1, 3, 1, 2} = 1
u,v,w,x,y
ku,x (G) = min {5, 3, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,y (G) = min {4, 3, 2, 1, 3} = 1
u,v,w,x,y
kv,w (G) = min {3, 4, 3, 2, 2} = 2
u,v,w,x,y
kv,x (G) = min {3, 5, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
Universitas Sumatera Utara
18
kv,y (G) = min {1, 4, 2, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,x (G) = min {1, 3, 3, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,y (G) = min {1, 3, 4, 2, 5} = 1
u,v,w,x,y
kx,y (G) = min {1, 2, 3, 4, 5} = 1
u,v,w,x,y
Maka scrambling index dari graf tersebut adalah maksimum dari semua scrambling index lokal yang diperoleh, yaitu k(G) = max{2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1} = 2.
Karena graf dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency, nilai scrambling index dapat pula ditentukan dari matriks primitif. Scrambling index dari
matriks primitif A, dinotasikan dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil
k sehingga untuk setiap dua baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif
pada posisi kolom yang sama.
Dengan mempresentasikan graf G(V, E) pada gambar 2.1 dalam bentuk
matriks adjacency A sebagai berikut, nilai scrambling index graf tersebut juga
dapat diketahui.
0
1
A = 0
1
1 0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1 1
2
0
A2 = 2
0
1
0
0
1
1
0
0 2 0 1
2 0 2 1
0 3 1 1
2 1 3 1
1 1 1 2
Dapat dilihat bahwa pada matriks A2 terdapat sebuah kolom (kolom ke-5) yang
semua barisnya memuat elemen positif. Artinya, untuk setiap dua baris pada
Ak untuk k = 2 terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang
Universitas Sumatera Utara
19
sama telah dipenuhi. Sehingga diketahui nilai scrambling index dari graf tersebut
adalah 2.
2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil
Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling
index dari lingkaran ganjil. Scrambling index dari sebuah lingkaran atas n titik
ganjil
Cn : v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 ↔ vn ↔ v1
didefinisikan sebagai berikut:
Lemma 2.2 Andaikan Cn adalah sebuah lingkaran atas n titik ganjil, maka
k(Cn ) =
(n−1)
2
Bukti. Jalan dengan panjang genap terpendek yang menghubungkan vn dengan
vn−1 adalah jalan Wvn ,vn−1 : vn ↔ v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 dengan panjang n − 1.
Hal ini berakibat Kvn ,vn−1 (Cn ) =
(n−1)
2
sehingga k(G) ≥
(n−1)
.
2
Gambar 2.4. Lingkaran dengan panjang ganjil
Untuk dua titik vi dan vj yang berbeda, telah diperlihatkan bahwa terdapat
jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap t ≤ n − 1. Hal ini
berakibat untuk dua titik vi dan vj yang berbeda terdapat sebuah jalan yang
menghubungkan vi dan vj dengan panjang tepat n−1. Sehingga diperoleh k(Cn ) ≤
(n−1)
.
2
Maka terbukti k(Cn ) =
(n−1)
.
2
Universitas Sumatera Utara
GRAF PRIMITIF
Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori
yang menjadi acuan dalam penelitian ini. Akan dijelaskan pula beberapa terminologi serta notasi-notasi yang akan digunakan pada pembahasan berikutnya.
2.1 Definisi Graf
Secara umum graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul/titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut
dalam bentuk garis/sisi (edge). Sederhananya, graf dapat digambarkan sebagai
kumpulan titik yang dihubungkan dengan garis. Secara matematika graf didefinisikan sebagai pasangan tak berurut yang terdiri dari dua himpunan berikut:
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0 , v1 , · · · , vm }, dinotasikan dengan
V (G). Elemen-elemen dari himpunan V ini disebut verteks atau titik dari
graf G.
2. Himpunan sisi yang dinotasikan dengan E(G), yaitu pasangan tak berurut
dari elemen-elemen V (G) dalam bentuk E = {(v0 , v1 ); (v1 , v2 ); ·; (vm−1 , vm )}.
Elemen-elemen dari himpunan E ini disebut edge atau sisi dari graf G.
Sebuah graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E dinotasikan
dengan G(V, E). Banyaknya elemen di V disebut order dari G, dinotasikan dengan
|V | dan banyaknya elemen di E disebut size dari G, dinotasikan dengan |E|. Berdasarkan definisi, dapat diketahui bahwa himpunan V tidak bisa kosong sedangkan himpunan E bisa saja kosong. Artinya, suatu graf dimungkinkan untuk tidak
mempunyai sisi sama sekali, tetapi harus mempunyai setidaknya sebuah titik.
Universitas Sumatera Utara
9
Suatu graf dengan size 0 dinamakan graf kosong (null graph) sedangkan
graf dengan order 1 tanpa sebuah sisi sama sekali dinamakan graf trivial.
Contoh 2.1 Berikut adalah graf G(V, E) dengan himpunan titik V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
dan himpunan sisi E = {v1 ↔v2 , v2 ↔v3 , v3 ↔v4 , v4 ↔v5 , v3 ↔v5 , v5 ↔v1 }. Representasi graf tersebut diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Contoh representasi graf G(V, E)
Graf G(V, E) pada gambar 2.1 mempunyai 5 titik dan 6 sisi sehingga order dari
G adalah |V | = 5 dan size dari G adalah |E| = 6.
Apabila diketahui sisi e = (u, v) termuat dalam graf G, maka titik-titik u
dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Titik u merupakan titik awal dan
titik v merupakan titik akhir dalam graf G. Titik u dan v dikatakan bertemu
dengan sisi e dan sebaliknya sisi e dikatakan bertemu dengan titik u dan v. Derajat dari sebuah titik u, dinotasikan dengan deg(u) adalah banyaknya sisi-sisi yang
bertemu dengan titik u.
Suatu sisi (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u ↔ v, yaitu sisi yang
menghubungkan titik u dan titik v. Sisi-sisi yang mempunyai titik ujung sama
dinamakan sisi ganda (parallel edges atau multiple edges) dan suatu sisi yang
menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri dinamakan loop.
Universitas Sumatera Utara
10
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) yang menghubungkan
titik u dan titik v di G dengan panjang m adalah sebuah barisan m sisi dengan
bentuk
{u = v0 , v1 }, {v1 , v2 }, , {vm−1) , vm = v}
Jalan yang menghubungkan titik u dan titik v dengan panjang m ini dinotasikan
dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm = v yang selanjutnya disingkat dengan
m
penulisan u ↔ v.
Sebuah jalan yang menghubungkan u dan v dikatakan terbuka apabila
u 6= v dan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah jalan tanpa perulangan
titik kecuali mungkin titik-titik ujungnya disebut dengan lintasan (path). Titik
awal dan titik akhir dari suatu lintasan bisa saja merupakan titik yang sama, lintasan yang demikian disebut lintasan tertutup (close path) dan merupakan sebuah
lingkaran (cycle).
Suatu lingkaran-s (s-cycle) adalah lingkaran dengan panjang s dan dinotasikan dengan Cs . Jarak (distance) dari titik u menuju titik v, dinotasikan dengan
d(u, v) adalah panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan titik u dan v.
Adapun diameter dari suatu graf G merupakan maksimum jarak yang dapat ditemukan antara titik-titik pada graf G.
Dengan menggunakan graf pada gambar 2.1 akan dijelaskan beberapa terminologi tersebut di atas.
a. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v1 ↔v5 ↔v4 adalah sebuah jalan tetapi bukan lintasan
karena ada perulangan titik v1 . Karena titik awal dan titik akhirnya berbeda,
jalan ini disebut jalan terbuka.
b. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v3 ↔v4 ↔v5 adalah sebuah lintasan terbuka.
c. Barisan sisi v1 ↔v2 ↔v3 ↔v4 ↔v5 ↔v1 adalah sebuah lintasan tertutup dan
disebut juga dengan lingkaran. Lingkaran ini dapat juga disebut dengan
lingkaran-5 yaitu lingkaran dengan panjang 5.
Universitas Sumatera Utara
11
d. Jarak d(v1 , v5 ) adalah jarak dengan panjang ganjil dan jarak d(v1 , v3 ) adalah
jarak dengan panjang genap.
e. Jarak maksimum dari graf G adalah 2, yaitu antara d(v1 , v3 ), d(v1 , v4 ),
d(v2 , v4 ), ataupun d(v2 , v5 ). Maka diameter graf G adalah 2.
2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency (matriks ketetanggaan) adalah (0, 1)-matriks, yaitu sebuah
matriks yang hanya memuat elemen 0 atau 1. Matriks ini digunakan untuk
menyatakan graf G atas n titik. Matriks adjacency dari sebuah graf G atas n
titik v1 , v2 , · · · , vn adalah sebuah matriks bujursangkar A = [aij ] dengan ordo n
yang setiap elemennya didefinsikan dengan ketentuan berikut:
(
1, jika {vi, vj} ∈ E(G)
aij =
0, jika {vi, vj} ∈
/ E(G)
Berdasarkan definisi dapat diketahui bahwa aij = aji untuk semua 1 ≤ i, j ≤ n.
Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari graf G merupakan sebuah matriks simetrik.
Contoh 2.2 Graf G(V, E) pada gambar 2.1 dapat direpresentasikan dalam bentuk
matriks adjacency A(G) = [aij ] sebagai
0
1
A(G) = 0
1
berikut:
1 0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1 1
0
0
1
1
0
Pada contoh 2.2 terlihat bahwa setiap baris atau kolom ke- i = 1, 2, 3, 4, 5
dari matriks adjacency A(G) bersesuaian dengan titik vi dengan i = 1, 2, 3, 4, 5.
Elemen a12 = 1 menyatakan bahwa terdapat sisi yang menghubungkan titik v1
dengan titik v2 , yakni sisi {1, 2} dan elemen a13 = 0 menyatakan bahwa tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v1 dengan titik v3 . Banyaknya kemunculan
Universitas Sumatera Utara
12
angka 1 pada baris pertama dari A(G) menyatakan derajat dari titik v1 .
Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij ) adalah sebuah matriks adjacency dari G. Misalkan akij adalah elemen (i, j) dari matriks Ak . Maka
akij menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i
dengan titik j.
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi atas k. Asumsikan
bahwa elemen akij dari Ak menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang
menghubungkan titik i dengan titik j. Apabila k = 1, maka elemen a1ij = aij dari
A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i
dengan titik j. Karena Ak+1 = Ak A, maka
ak+1
ij
=
n
X
akil alj
l=1
untuk l = 1, 2, · · · , n. Berdasarkan prinsip perkalian, ekspresi akil alj adalah
banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang melalui titik vl . Sehingga oleh prinsip
penjumlahan, ak+1
adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghuij
bungkan titik i dengan titik j.
2.3 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan suatu matriks dengan aij ≥ 0, artinya setiap
elemen-elemen aij dari matriks A memuat bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya
jika setiap elemen-elemen dari matriks A memuat bilangan bulat positif, yaitu
aij > 0 maka matriks tersebut disebut matriks positif. Berikut diberikan dua
buah matriks.
1
3
N =
4
3
3 0 7
2 1 5
0 2 0
2 0 0
Universitas Sumatera Utara
13
7
3
M =
1
4
3 9 2
1 2 4
4 1 1
8 3 1
Matriks N adalah matriks tak negatif dan matriks M adalah matriks positif.
2.4
Graf Terhubung
Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya
graf G dikatakan tidak terhubung apabila tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik u ke titik v.
Dua titik terhubung pada suatu graf bersifat refleksif, artinya apabila u
dan v adalah dua titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan dengan bergerak mundur akan diperoleh sebuah jalan yang
menghubungkan v dengan u. Maka dua titik terhubung pada suatu graf juga
bersifat simetrik.
Gambar 2.2. Graf terhubung dan tidak terhubung
Gambar 2.2 menunjukkan bahwa (a) adalah graf terhubung karena terdapat jalan
yang menghubungkan satu titik ke titik lainnya, sedangkan (b) adalah graf tidak
terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghungkan titik v1 , v2 dan v3 ke
titik v4 dan v5 . Berikut akan diperlihatkan sebuah cara untuk mengetahui keter-
Universitas Sumatera Utara
14
hubungan dari suatu graf.
Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2 + · · · +
An−1 mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif.
Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A2 +
· · · + An−1 . Telah diketahui bahwa G mempunyai n titik dan pada suatu lintasan
tidak terdapat titik berulang kecuali u = v. Apabila u 6= v, maka terdapat suatu
lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan u dengan v.
Hal ini mengakibatkan untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda,
terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga elemen
akij > 0. Artinya, semua elemen di luar elemen diagonal dari matriks B adalah
positif. Apabila u = v, maka terdapat sebuah lingkaran dengan panjang 2 yang
memuat titik u sehingga elemen a2uu > 0 untuk semua u = 1, 2, · · · , n. Maka
diagonal dari matriks B adalah positif sehingga dapat disimpulkan bahwa semua
elemen dari matriks B = A + A2 + · · · + An−1 adalah positif.
Akibatnya, untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah bilangan
positif k dengan 1 ≤ k ≤ n −1 sehingga akij > 0. Hal ini menyatakan bahwa untuk
setiap pasangan titik u dan v di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang
menghubungkan titik u dan v, artinya G adalah sebuah graf terhubung.
Berikut adalah proposisi yang menjelaskan beberapa sifat dari jalan yang
menghubungkan titik u dan titik v yang dirujuk dari Harleni (2014).
Proposisi 2.1 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u dan v. Setiap
t
t+2m
jalan u ↔ v dapat dikembangkan menjadi sebuah jalan u ↔ v, untuk sebarang
bilangan bulat positif m.
Bukti. Misalkan titik u dan v termuat dalam graf G dan misalkan W : u =
t
v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v merupakan jalan u ↔ v di G. Maka jalan
Universitas Sumatera Utara
15
′
W yang dimulai dari titik u berpindah ke titik v sepanjang jalan W kemudian
berpindah m kali mengelilingi lingkaran v ↔ vt−1 ↔ v merupakan sebuah jalan
t+2m
u ↔ v.
Proposisi 2.2 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u,v dan w. Tert
2t
t
dapat jalan u ↔ w dan jalan v ↔ w di G jika dan hanya jika terdapat jalan u ↔ v
di G.
t
t
Bukti. Andaikan terdapat jalan u ↔ w dan jalan v ↔ w di G. Maka dapat
dinyatakan bahwa jalan yang dimulai dari u yang berpindah ke w sepanjang jalan
t
2t
t
u ↔ w kemudian berpindah ke v sepanjang jalan v ↔ w, merupakan jalan u ↔ v.
Asumsikan bahwa W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ v2t−1 ↔ v2t = v merupakan
2t
t
t
jalan u ↔ v di G. Jika w = vt , maka terdapat u ↔ w dan jalan v ↔ w di G.
Syahmarani dan Suwilo (2012) juga memberikan Lemma mengenai graf
terhubung sebagai berikut.
Lemma 2.1 Andaikan G adalah graf terhubung maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
Bukti. Ambil sebarang titik v di G. Karena G terhubung, maka terdapat suatu sisi yang menghubungkan titik v ke suatu titik u. Akibatnya, akan diperoleh
suatu lintasan tertutup di G yang dibentuk oleh sisi dari titik u ke titik v dan
lintasan dari titik v ke titik u di G. Oleh definisi, diketahui bahwa lintasan tertutup merupakan suatu lingkaran. Karena titik v adalah sebarang titik di G,
maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
2.5 Primitifitas Graf
Suatu graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat sebuah bilangan posik
tif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ↔ v.
Sebuah graf G adalah graf primitif jika dan hanya jika graf G terhubung dan
memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil.
Universitas Sumatera Utara
16
Graf G(V, E) yang ditunjukkan pada gambar 2.1 sebelumnya adalah salah
satu contoh graf primitif. Berikut akan diperlihatkan graf primitif dan tidak primitif.
Gambar 2.3. Graf primitif dan tidak primitif
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa (a) merupakan graf primitif karena graf
tersebut memuat lingkaran v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 dengan panjang 3, sehingga syarat
memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil telah dipenuhi.
Gambar (b) merupakan graf tidak primitif karena tidak memuat lingkaran ganjil
sama sekali.
Primitifitas suatu graf juga dapat dilihat melalui representasi matriksnya.
Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan
bulat positif k sedemikian hingga Ak > 0. Berikut adalah representasi matriks
dari graf primitif pada gambar 2.3 bagian (a).
0
1
A=
1
1
1 1 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
3
1
A2 =
2
1
1 2 1
2 1 2
1 3 1
2 1 2
Universitas Sumatera Utara
17
Karena terdapat k = 2 sedemikian hingga setiap elemen-elemen pada A2 memuat
bilangan bulat positif, maka diketahui bahwa untuk matriks A dari graf tersebut,
terdapat A2 > 0. Sehingga terbukti bahwa graf tersebut adalah graf primitif.
2.6 Scrambling Index
Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan
bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda,
k
k
terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔ w dan v ↔ w. Adapun untuk dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah
bilangan bulat positif ku,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k
k
ku,v (G) = min{k : u ↔ w dan v ↔ w}
w∈V
Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v (G)
diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v (G). Karena G adalah graf terhubung, maka
′
untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v (G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga
l
′
l
′
terdapat u ↔ w dan v ↔ w . Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang
juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai
scrambling index lokal ku,v (G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max{ku,v (G)}
u6=v
Contoh 2.3 Dengan menggunakan graf G(V, E) pada gambar 2.1, nilai scrambling index dari graf tersebut dapat ditentukan. Terlebih dahulu ditentukan nilainilai scrambling index lokal-nya sebagai berikut:
ku,v (G) = min {4, 4, 3, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,w (G) = min {5, 1, 3, 1, 2} = 1
u,v,w,x,y
ku,x (G) = min {5, 3, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,y (G) = min {4, 3, 2, 1, 3} = 1
u,v,w,x,y
kv,w (G) = min {3, 4, 3, 2, 2} = 2
u,v,w,x,y
kv,x (G) = min {3, 5, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
Universitas Sumatera Utara
18
kv,y (G) = min {1, 4, 2, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,x (G) = min {1, 3, 3, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,y (G) = min {1, 3, 4, 2, 5} = 1
u,v,w,x,y
kx,y (G) = min {1, 2, 3, 4, 5} = 1
u,v,w,x,y
Maka scrambling index dari graf tersebut adalah maksimum dari semua scrambling index lokal yang diperoleh, yaitu k(G) = max{2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1} = 2.
Karena graf dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency, nilai scrambling index dapat pula ditentukan dari matriks primitif. Scrambling index dari
matriks primitif A, dinotasikan dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil
k sehingga untuk setiap dua baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif
pada posisi kolom yang sama.
Dengan mempresentasikan graf G(V, E) pada gambar 2.1 dalam bentuk
matriks adjacency A sebagai berikut, nilai scrambling index graf tersebut juga
dapat diketahui.
0
1
A = 0
1
1 0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1 1
2
0
A2 = 2
0
1
0
0
1
1
0
0 2 0 1
2 0 2 1
0 3 1 1
2 1 3 1
1 1 1 2
Dapat dilihat bahwa pada matriks A2 terdapat sebuah kolom (kolom ke-5) yang
semua barisnya memuat elemen positif. Artinya, untuk setiap dua baris pada
Ak untuk k = 2 terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang
Universitas Sumatera Utara
19
sama telah dipenuhi. Sehingga diketahui nilai scrambling index dari graf tersebut
adalah 2.
2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil
Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling
index dari lingkaran ganjil. Scrambling index dari sebuah lingkaran atas n titik
ganjil
Cn : v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 ↔ vn ↔ v1
didefinisikan sebagai berikut:
Lemma 2.2 Andaikan Cn adalah sebuah lingkaran atas n titik ganjil, maka
k(Cn ) =
(n−1)
2
Bukti. Jalan dengan panjang genap terpendek yang menghubungkan vn dengan
vn−1 adalah jalan Wvn ,vn−1 : vn ↔ v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 dengan panjang n − 1.
Hal ini berakibat Kvn ,vn−1 (Cn ) =
(n−1)
2
sehingga k(G) ≥
(n−1)
.
2
Gambar 2.4. Lingkaran dengan panjang ganjil
Untuk dua titik vi dan vj yang berbeda, telah diperlihatkan bahwa terdapat
jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap t ≤ n − 1. Hal ini
berakibat untuk dua titik vi dan vj yang berbeda terdapat sebuah jalan yang
menghubungkan vi dan vj dengan panjang tepat n−1. Sehingga diperoleh k(Cn ) ≤
(n−1)
.
2
Maka terbukti k(Cn ) =
(n−1)
.
2
Universitas Sumatera Utara