Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian
karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia. Secara umum, graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul atau titik (vertex) dan hubungan antara objekobjek tersebut dalam bentuk garis atau sisi (edge).
Pada persoalan komunikasi misalnya, graf dapat memodelkan hubungan
sosial seseorang dengan seorang lainnya.
Mahasiswa bernama Ani berteman
dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Dodi dan Eka, sedangkan Dodi berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Ani
dan Eka, dan Eka hanya berteman dengan Budi. Hubungan sosial yang demikian
dapat direpresentasikan dalam graf tak berarah seperti pada gambar berikut:
Gambar 1.1. Representasi model hubungan sosial dengan graf tak berarah
Selain itu aplikasi graf juga telah digunakan dan sangat bermanfaat dalam
persoalan kehidupan lainnya, seperti pada persoalan transportasi, jaringan internet, jaringan listrik, pembuatan peta, ilmu komputer, penjadwalan dan lain
sebagainya. Saat ini, studi mengenai graf sedang berkembang pesat dan banyak
Universitas Sumatera Utara
2
dilakukan. Hal inilah yang menarik minat penulis untuk membahas scrambling
index sebagai bagian dari pengembangan teori graf itu sendiri.
Istilah scrambling index pertama kali diperkenalkan oleh Akelbek dan Kirkland pada tahun 2009. Apabila diketahui titik u, v, dan w serta sisi (u, w) dan
(v, w) termuat dalam sebuah graf G, maka titik w merupakan common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dari titik u dan v. Yang dinamakan scrambling index adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga setiap pasangan titik-titik dalam graf G memiliki tetangga persekutuan luar yang membentuk sisi-sisi dengan panjang k.
Gambar 1.2. Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Secara definisi, scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan
dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang
menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w
dengan panjang k.
Penelitian mengenai scrambling index pada graf primitif baik berarah maupun tak berarah telah banyak dilakukan. Namun, penelitian scrambling index
lebih banyak dilakukan pada kelas graf primitif berarah. Akelbek dan Kirkland
(2009a) memberikan batas atas scrambling index pada graf primitif berarah terkait
dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas
modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif.
Universitas Sumatera Utara
3
Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan
semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan
batas atasnya. Penelitian kemudian dilanjutkan Chen dan Liu (2010) yang membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif
simetris. Mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum.
Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) juga telah membahas mengenai scrambling index dari graf primitif berarah terdiri atas tepat dua lingkaran. Adapun
penelitian ini secara khusus akan membahas mengenai scrambling index dari graf
primitif tak berarah yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan Cst adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang
s dan t. Masalah yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah menentukan
bagaimana bentuk umum scrambling index dari Cst , dinotasikan dengan k(Cst ) untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran
s atau t adalah ganjil.
1.3 Batasan Masalah
Bentuk umum scrambling index yang dibahas dalam tulisan ini hanya dikhususkan
pada satu objek graf, yaitu pada graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran,
dinotasikan dengan k(Cst ). Adapun bentuk umum yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index untuk kedua lingkaran s dan
t adalah ganjil dan untuk salah satu dari s atau t adalah ganjil.
1.4 Tinjauan Pustaka
Pada tahun 2009, Akelbek dan Kirkland memperkenalkan istilah baru dalam graf
primitif yang dinamakan scrambling index. Scrambling index, dinotasikan dengan
k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik
Universitas Sumatera Utara
4
u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k.
Dalam penelitiannya, Akelbek dan Kirkland (2009a) membahas mengenai
scrambling index pada graf primitif berarah dan memberikan batas atas dari
scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang
kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas pada modulo terbesar kedua
dari nilai eigen sebuah matriks primitif. Order adalah jumlah titik dan girth
adalah panjang terpendek dari lingkaran pada graf primitif berarah.
Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth,
maka scrambling index k(D) ≤ K(n, s).
Gambar 1.3. Graf Berarah Ds,n
Jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1 di mana Ds,n merupakan graf berarah primitif
sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.3, maka K(n, s) = k(n, s) + n − s dan
(
s−1
n, untuk s ganjil
2
k(n, s) =
n−1
s, untuk s genap
2
Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan
semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan
batas atasnya. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik
dan s girth, dengan s genap. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan
Universitas Sumatera Utara
5
hanya jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1.
Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth,
dengan s genap dan s ≤ 3. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan
hanya jika gcd(n, s) = 1 dan D = Ds,n , atau D = Ds,n ∪ {n − r − ts + 1 →
−
n − r − ts + ms} untuk sebarang m ∈ N dan sebarang t ∈ {1, 2, ..., n−2r
s
1} sedemikian hingga
n+h
2
− t − 1 ≡ 0(modm).
Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (2010) membahas hubungan antara
scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Sebuah matriks
persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k
sedemikian hingga Ak > 0. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan
dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua
baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang
sama.
Eksponen dari matriks primitif A, dinotasikan dengan exp(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak = dimana menotasikan
1-matriks, yaitu matriks yang semua elemennya memuat 1. Dalam penelitiannya
dinyatakan bahwa untuk sebuah matriks primitif A berdasarkan definisi scrambling index dan definisi eksponen, dapat diketahui k(A) ≤ exp(A).
Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2
dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Maka
ku,v (D) ≤ ⌈
expD (u, v)
⌉
2
dan
exp(D)
⌉
2
dimana ⌈a⌉ menotasikan bilangan bulat positif terkecil yang tidak kurang dari a.
k(D) = ⌈
Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2
k
k
dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Jika u ↔1 v dan u ↔2 v dengan
k1 − k2 ≡ 1(mod 2), maka
expD (u, v) ≤ max{k1, k2} − 1
Universitas Sumatera Utara
6
Selain itu, mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris
sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum. Diberikan Sn (r)
adalah himpunan semua graf primitif dengan n titik yang memiliki lingkaran sepanjang r tetapi bukan lingkaran dengan panjang ganjil yang lebih kecil dari r.
Andaikan n dan m adalah bilangan bulat positif dengan n ≥ 2, r ≡
1(mod2) dan 1 ≤ r ≤ n, dan misalkan
(
1, untuk
r=1
δr =
r−1
, untuk r ≡ 1(mod 2) dan r ≥ 3
2
dan G adalah graf primitif di Sn (r), maka k(G) ≥ δr . Misalkan n adalah bilangan
bulat positif dengan n ≥ 2 dan r adalah bilangan bulat positif ganjil dengan
1 ≤ r ≤ n. Andaikan G adalah graf primitif di Sn (r) maka persamaan
k(G) ≤ n −
r+1
2
dipenuhi jika dan hanya jika:
(i) n ≥ 3 dan G isomorfis terhadap Gn,r
n−r , atau
(ii) n = 2 (r = 1)dan baik G isomorfis terhadap G2,1
1 atau G isomorfis terhadap
ditentukan dari G12,1 dengan menambahkan sebuah loop (titik yang diG2,1
′
hubungkan dengan sebuah sisi ke dirinya sendiri) pada titik lainnya.
Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling index dari graf berarah primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran dan
dalam penelitian ini secara khusus akan dibahas mengenai scrambling index dari
graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.5 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk umum scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Adapun bentuk umum
Universitas Sumatera Utara
7
yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index
dengan lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan bentuk umum scrambling index dengan salah satu lingkarans atau t adalah ganjil.
1.6 Manfaat Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk menambah pengetahuan serta memperkaya literatur mengenai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran sehingga dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya, baik dalam penyempurnaan teori seputar scrambling index ataupun aplikasi ilmunya.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian
Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian
karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia. Secara umum, graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul atau titik (vertex) dan hubungan antara objekobjek tersebut dalam bentuk garis atau sisi (edge).
Pada persoalan komunikasi misalnya, graf dapat memodelkan hubungan
sosial seseorang dengan seorang lainnya.
Mahasiswa bernama Ani berteman
dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Dodi dan Eka, sedangkan Dodi berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Ani
dan Eka, dan Eka hanya berteman dengan Budi. Hubungan sosial yang demikian
dapat direpresentasikan dalam graf tak berarah seperti pada gambar berikut:
Gambar 1.1. Representasi model hubungan sosial dengan graf tak berarah
Selain itu aplikasi graf juga telah digunakan dan sangat bermanfaat dalam
persoalan kehidupan lainnya, seperti pada persoalan transportasi, jaringan internet, jaringan listrik, pembuatan peta, ilmu komputer, penjadwalan dan lain
sebagainya. Saat ini, studi mengenai graf sedang berkembang pesat dan banyak
Universitas Sumatera Utara
2
dilakukan. Hal inilah yang menarik minat penulis untuk membahas scrambling
index sebagai bagian dari pengembangan teori graf itu sendiri.
Istilah scrambling index pertama kali diperkenalkan oleh Akelbek dan Kirkland pada tahun 2009. Apabila diketahui titik u, v, dan w serta sisi (u, w) dan
(v, w) termuat dalam sebuah graf G, maka titik w merupakan common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dari titik u dan v. Yang dinamakan scrambling index adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga setiap pasangan titik-titik dalam graf G memiliki tetangga persekutuan luar yang membentuk sisi-sisi dengan panjang k.
Gambar 1.2. Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Secara definisi, scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan
dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang
menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w
dengan panjang k.
Penelitian mengenai scrambling index pada graf primitif baik berarah maupun tak berarah telah banyak dilakukan. Namun, penelitian scrambling index
lebih banyak dilakukan pada kelas graf primitif berarah. Akelbek dan Kirkland
(2009a) memberikan batas atas scrambling index pada graf primitif berarah terkait
dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas
modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif.
Universitas Sumatera Utara
3
Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan
semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan
batas atasnya. Penelitian kemudian dilanjutkan Chen dan Liu (2010) yang membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif
simetris. Mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum.
Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) juga telah membahas mengenai scrambling index dari graf primitif berarah terdiri atas tepat dua lingkaran. Adapun
penelitian ini secara khusus akan membahas mengenai scrambling index dari graf
primitif tak berarah yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan Cst adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang
s dan t. Masalah yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah menentukan
bagaimana bentuk umum scrambling index dari Cst , dinotasikan dengan k(Cst ) untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran
s atau t adalah ganjil.
1.3 Batasan Masalah
Bentuk umum scrambling index yang dibahas dalam tulisan ini hanya dikhususkan
pada satu objek graf, yaitu pada graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran,
dinotasikan dengan k(Cst ). Adapun bentuk umum yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index untuk kedua lingkaran s dan
t adalah ganjil dan untuk salah satu dari s atau t adalah ganjil.
1.4 Tinjauan Pustaka
Pada tahun 2009, Akelbek dan Kirkland memperkenalkan istilah baru dalam graf
primitif yang dinamakan scrambling index. Scrambling index, dinotasikan dengan
k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik
Universitas Sumatera Utara
4
u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k.
Dalam penelitiannya, Akelbek dan Kirkland (2009a) membahas mengenai
scrambling index pada graf primitif berarah dan memberikan batas atas dari
scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang
kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas pada modulo terbesar kedua
dari nilai eigen sebuah matriks primitif. Order adalah jumlah titik dan girth
adalah panjang terpendek dari lingkaran pada graf primitif berarah.
Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth,
maka scrambling index k(D) ≤ K(n, s).
Gambar 1.3. Graf Berarah Ds,n
Jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1 di mana Ds,n merupakan graf berarah primitif
sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.3, maka K(n, s) = k(n, s) + n − s dan
(
s−1
n, untuk s ganjil
2
k(n, s) =
n−1
s, untuk s genap
2
Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan
semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan
batas atasnya. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik
dan s girth, dengan s genap. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan
Universitas Sumatera Utara
5
hanya jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1.
Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth,
dengan s genap dan s ≤ 3. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan
hanya jika gcd(n, s) = 1 dan D = Ds,n , atau D = Ds,n ∪ {n − r − ts + 1 →
−
n − r − ts + ms} untuk sebarang m ∈ N dan sebarang t ∈ {1, 2, ..., n−2r
s
1} sedemikian hingga
n+h
2
− t − 1 ≡ 0(modm).
Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (2010) membahas hubungan antara
scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Sebuah matriks
persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k
sedemikian hingga Ak > 0. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan
dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua
baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang
sama.
Eksponen dari matriks primitif A, dinotasikan dengan exp(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak = dimana menotasikan
1-matriks, yaitu matriks yang semua elemennya memuat 1. Dalam penelitiannya
dinyatakan bahwa untuk sebuah matriks primitif A berdasarkan definisi scrambling index dan definisi eksponen, dapat diketahui k(A) ≤ exp(A).
Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2
dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Maka
ku,v (D) ≤ ⌈
expD (u, v)
⌉
2
dan
exp(D)
⌉
2
dimana ⌈a⌉ menotasikan bilangan bulat positif terkecil yang tidak kurang dari a.
k(D) = ⌈
Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2
k
k
dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Jika u ↔1 v dan u ↔2 v dengan
k1 − k2 ≡ 1(mod 2), maka
expD (u, v) ≤ max{k1, k2} − 1
Universitas Sumatera Utara
6
Selain itu, mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris
sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum. Diberikan Sn (r)
adalah himpunan semua graf primitif dengan n titik yang memiliki lingkaran sepanjang r tetapi bukan lingkaran dengan panjang ganjil yang lebih kecil dari r.
Andaikan n dan m adalah bilangan bulat positif dengan n ≥ 2, r ≡
1(mod2) dan 1 ≤ r ≤ n, dan misalkan
(
1, untuk
r=1
δr =
r−1
, untuk r ≡ 1(mod 2) dan r ≥ 3
2
dan G adalah graf primitif di Sn (r), maka k(G) ≥ δr . Misalkan n adalah bilangan
bulat positif dengan n ≥ 2 dan r adalah bilangan bulat positif ganjil dengan
1 ≤ r ≤ n. Andaikan G adalah graf primitif di Sn (r) maka persamaan
k(G) ≤ n −
r+1
2
dipenuhi jika dan hanya jika:
(i) n ≥ 3 dan G isomorfis terhadap Gn,r
n−r , atau
(ii) n = 2 (r = 1)dan baik G isomorfis terhadap G2,1
1 atau G isomorfis terhadap
ditentukan dari G12,1 dengan menambahkan sebuah loop (titik yang diG2,1
′
hubungkan dengan sebuah sisi ke dirinya sendiri) pada titik lainnya.
Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling index dari graf berarah primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran dan
dalam penelitian ini secara khusus akan dibahas mengenai scrambling index dari
graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.5 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk umum scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Adapun bentuk umum
Universitas Sumatera Utara
7
yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index
dengan lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan bentuk umum scrambling index dengan salah satu lingkarans atau t adalah ganjil.
1.6 Manfaat Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk menambah pengetahuan serta memperkaya literatur mengenai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran sehingga dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya, baik dalam penyempurnaan teori seputar scrambling index ataupun aplikasi ilmunya.
Universitas Sumatera Utara