Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf Primitif
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
TESIS
Oleh
SILVIA HARLENI
127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SILVIA HARLENI
127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
Nama Mahasiswa : Silvia Harleni
Nomor Pokok
: 127021010
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Dr. Mardiningsih, M.Si)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 5 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Anggota :
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
1. Dr. Mardiningsih, M.Si
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF
PRIMITIF
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 5 Juni 2014
Penulis,
Silvia Harleni
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Scrambling index dari graf primitif G, k(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k,
sehingga untuk setiap pasangan titik u, v terdapat titik w sedemikian sehingga terk
k
dapat jalan u ←→ w dan v ←→ w. Untuk graf primitif G dengan n titik dan cycle
ganjil terkecil Cs sepanjang s diketahui bahwa k(G) ≤ (s−1)/2+(n−s). Andaikan
d{v, Cs } merupakan jarak dari titik v ke cycle Cs , maka maxv∈V d{v, Cs } ≤ n − s.
Tulisan ini memperlihatkan bahwa k(G) ≤ (s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }. Tulisan
ini juga membahas family dari graf primitif yang scrambling indexnya merupakan
(s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }.
Kata kunci: Batas atas, Graf primitif, Scrambling index
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive graph G, k(G), is the least positive integer
k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with
k
k
the property that there are u ←→ w and v ←→ w walk. For a primitive graph
G with n vertices and smallest odd cycle of length s it is known that k(G) ≤
(s − 1)/2 + (n − s). Let d{v, Cs } be the distance of the vertex v to the cycle Cs , so
maxv∈V d{v, Cs } ≤ n− s. This paper show that k(G) ≤ (s − 1)/2+ maxv∈V d{v, Cs }.
This paper also discuss family of primitive graphs whose scrambling index are
(s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }.
Keyword: Upper bound, Primitive graph, Scrambling index
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha
Kuasa yang telah memberikan berkah serta kesempatan sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis yang berjudul ”Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf
Primitif”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada
Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa dari awal hingga selesainya penulisan tesis ini,
penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku pembanding yang banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis
ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2012 ganjil yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
ibunda tercinta Hj. Halimah Hanum, S.Pd dan ayahanda Drs. H. Pahmi
Efendi, M.Pd serta saudari penulis yang penulis sayangi Sofia Harlena Nasution,
S.Pd, Dewi Harni Nasution, dan Aninda Aminah Nasution yang telah memberikan
dorongan dan doa dalam menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis mengucapkan
terima kasih kepada sahabat-sahabat serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat
disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa
yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih banyak kekurangan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat
bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, 5 Juni 2014
Penulis,
Silvia Harleni
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Silvia Harleni dilahirkan di Aek Mual pada tanggal 26 Agustus 1989 dari
pasangan Bapak Drs. H. Pahmi Efendi, M.Pd & Ibu Hj. Halimah Hanum, S.Pd.
Tamat dari pendidikan Sekolah Dasar Negeri 142594 Sipolu-polu, Mandailing Natal
pada tahun 2002. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Panyabungan, Mandailing
Natal pada tahun 2005. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Panyabungan,
Mandailing Natal tahun 2008. Tahun 2008 memasuki Perguruan Tinggi Universitas
Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (SI) dan lulus tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada
Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
7
3.1 Graf
7
3.2 Jalan
8
3.3 Primitifitas dan Eksponen
9
3.4 Scrambling Index
10
BAB 4 BATAS ATAS SCRAMBLING INDEX
19
4.1 Batas Atas Scrambling Index dari Graf Primitif
vii
19
Universitas Sumatera Utara
4.2 Family Graf Primitif Memenuhi Batas Atas
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
23
26
5.1 Kesimpulan
26
5.2 Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
28
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Contoh graf dengan maxv∈V {d(v, Cs )} = n − s
2
3.1
Contoh graf
8
3.2
G0n,s , s ≡ 1(mod 2)dan 3 ≥ s ≥ n
14
3.3
Gm
n,s , s ≡ 1(mod 2), 1 ≤ s ≤ n − 1 dan 1 ≤ m ≤ n − s
15
4.1
Contoh graf primitif dengan k(G) ≤ (s − 1)/2 + maxv∈V {d(v, Cs)} 20
4.2
Contoh graf Lollipop dengan s = 3
22
4.3
Contoh graf Lollipop dengan s = 1
22
4.4
Contoh Special path pada graf primitif
23
4.5
Contoh graf primitif yang memiliki special path
24
4.6
Contoh graf primitif yang memiliki cycle tunggal
24
4.7
Gm
n,s .s ≡ 1(mod2), 1 ≤ s ≤ n − 1, 1 ≤ m ≤ n − s
25
ix
Universitas Sumatera Utara
GRAF PRIMITIF
TESIS
Oleh
SILVIA HARLENI
127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
SILVIA HARLENI
127021010/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI
GRAF PRIMITIF
Nama Mahasiswa : Silvia Harleni
Nomor Pokok
: 127021010
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Dr. Mardiningsih, M.Si)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 5 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Anggota :
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
1. Dr. Mardiningsih, M.Si
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF
PRIMITIF
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 5 Juni 2014
Penulis,
Silvia Harleni
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Scrambling index dari graf primitif G, k(G), adalah bilangan bulat positif terkecil k,
sehingga untuk setiap pasangan titik u, v terdapat titik w sedemikian sehingga terk
k
dapat jalan u ←→ w dan v ←→ w. Untuk graf primitif G dengan n titik dan cycle
ganjil terkecil Cs sepanjang s diketahui bahwa k(G) ≤ (s−1)/2+(n−s). Andaikan
d{v, Cs } merupakan jarak dari titik v ke cycle Cs , maka maxv∈V d{v, Cs } ≤ n − s.
Tulisan ini memperlihatkan bahwa k(G) ≤ (s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }. Tulisan
ini juga membahas family dari graf primitif yang scrambling indexnya merupakan
(s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }.
Kata kunci: Batas atas, Graf primitif, Scrambling index
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive graph G, k(G), is the least positive integer
k such that for each pair of distinct vertices u and v there is a vertex w with
k
k
the property that there are u ←→ w and v ←→ w walk. For a primitive graph
G with n vertices and smallest odd cycle of length s it is known that k(G) ≤
(s − 1)/2 + (n − s). Let d{v, Cs } be the distance of the vertex v to the cycle Cs , so
maxv∈V d{v, Cs } ≤ n− s. This paper show that k(G) ≤ (s − 1)/2+ maxv∈V d{v, Cs }.
This paper also discuss family of primitive graphs whose scrambling index are
(s − 1)/2 + maxv∈V d{v, Cs }.
Keyword: Upper bound, Primitive graph, Scrambling index
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha
Kuasa yang telah memberikan berkah serta kesempatan sehingga penulis dapat
menyelesaikan tesis yang berjudul ”Batas Atas Untuk Scrambling Index Dari Graf
Primitif”. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada
Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari bahwa dari awal hingga selesainya penulisan tesis ini,
penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku pembanding yang banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis
ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2012 ganjil yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada
penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada
ibunda tercinta Hj. Halimah Hanum, S.Pd dan ayahanda Drs. H. Pahmi
Efendi, M.Pd serta saudari penulis yang penulis sayangi Sofia Harlena Nasution,
S.Pd, Dewi Harni Nasution, dan Aninda Aminah Nasution yang telah memberikan
dorongan dan doa dalam menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis mengucapkan
terima kasih kepada sahabat-sahabat serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat
disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa
yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih banyak kekurangan, untuk itu penulis
mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat
bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, 5 Juni 2014
Penulis,
Silvia Harleni
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Silvia Harleni dilahirkan di Aek Mual pada tanggal 26 Agustus 1989 dari
pasangan Bapak Drs. H. Pahmi Efendi, M.Pd & Ibu Hj. Halimah Hanum, S.Pd.
Tamat dari pendidikan Sekolah Dasar Negeri 142594 Sipolu-polu, Mandailing Natal
pada tahun 2002. Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Panyabungan, Mandailing
Natal pada tahun 2005. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Panyabungan,
Mandailing Natal tahun 2008. Tahun 2008 memasuki Perguruan Tinggi Universitas
Sumatera Utara (USU) fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (SI) dan lulus tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada
Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
7
3.1 Graf
7
3.2 Jalan
8
3.3 Primitifitas dan Eksponen
9
3.4 Scrambling Index
10
BAB 4 BATAS ATAS SCRAMBLING INDEX
19
4.1 Batas Atas Scrambling Index dari Graf Primitif
vii
19
Universitas Sumatera Utara
4.2 Family Graf Primitif Memenuhi Batas Atas
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
23
26
5.1 Kesimpulan
26
5.2 Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
28
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
1.1
Contoh graf dengan maxv∈V {d(v, Cs )} = n − s
2
3.1
Contoh graf
8
3.2
G0n,s , s ≡ 1(mod 2)dan 3 ≥ s ≥ n
14
3.3
Gm
n,s , s ≡ 1(mod 2), 1 ≤ s ≤ n − 1 dan 1 ≤ m ≤ n − s
15
4.1
Contoh graf primitif dengan k(G) ≤ (s − 1)/2 + maxv∈V {d(v, Cs)} 20
4.2
Contoh graf Lollipop dengan s = 3
22
4.3
Contoh graf Lollipop dengan s = 1
22
4.4
Contoh Special path pada graf primitif
23
4.5
Contoh graf primitif yang memiliki special path
24
4.6
Contoh graf primitif yang memiliki cycle tunggal
24
4.7
Gm
n,s .s ≡ 1(mod2), 1 ≤ s ≤ n − 1, 1 ≤ m ≤ n − s
25
ix
Universitas Sumatera Utara