38
BAB III PEMBAHASAN
A. Model Matematis Predator-Prey dengan Dua Predator
1. Asumsi Dasar
Asumsi dasar yang digunakan untuk membentuk model matematis predator-prey dengan dua predator adalah sebagai berikut:
1. Populasi pada model matematis predator-prey dengan dua predator dibagi
menjadi tiga jenis yaitu populasi prey , populasi predator jenis I, dan populasi predator jenis II.
2. Laju pertumbuhan populasi prey dipengaruhi oleh laju kelahiran dan laju
kematian karena adanya interaksi dengan predator jenis I atau predator jenis II.
3. Laju pertumbuhan populasi predator jenis I dan predator jenis II
dipengaruhi oleh kematian alami predator dan interaksi antar predator. 4.
Persediaan makanan untuk prey terbatas, sehingga ada persaingan antar prey untuk memperebutkan makanan.
5. Persediaan makanan untuk populasi predator jenis I bergantung pada
populasi prey, karena dalam model ini predator jenis I hanya memangsa prey.
39
6. Persediaan makanan untuk predator jenis II bergantung pada populasi
predator jenis I dan prey karena dalam model ini predator jenis II dapat memangsa predator jenis I dan prey .
7. Interaksi antarspesies dapat terjadi setiap saat sehingga tingkat populasi
masing-masing spesies dapat berubah dalam waktu yang relatif singkat. Berikut diberikan Tabel 3.1 definisi variabel dan parameter yang digunakan
dalam model matematis predator-prey dengan dua predator.
Tabel 3.1 Definisi Variabel dan Parameter
Variabel dan Parameter
Definisi Syarat
Waktu Banyaknya polulasi prey.
Banyaknya polulasi predator jenis I. Banyaknya polulasi predator jenis II.
Laju kelahiran prey per satuan waktu. Laju kematian alami predator jenis I per
satuan waktu. Laju kematian alami predator jenis II per
satuan waktu. Parameter interaksi antara prey dengan
sesama jenisnya per satuan waktu. Parameter interaksi antara prey dengan
predator jenis I per satuan waktu. Interaksi
40
yang dimaksud yaitu prey akan dimangsa oleh predator jenis I.
Parameter interaksi antara prey dengan predator jenis II per satuan waktu.
Interaksi yang dimaksud yaitu prey akan dimangsa oleh predator jenis II.
Parameter interaksi antara predator jenis I dengan prey per satuan waktu. Interaksi
yang dimaksud yaitu predator jenis I akan memangsa prey.
Parameter interaksi antara predator jenis I dengan predator jenis II per satuan waktu.
Interaksi yang dimaksud yaitu predator jenis I akan dimangsa oleh predator jenis
II. Parameter interaksi antara predator jenis II
dengan prey per satuan waktu. Interaksi yang dimaksud yaitu predator jenis II akan
memangsa prey. Parameter interaksi antara predator jenis II
dengan predator jenis I per satuan waktu. Interaksi yang dimaksud yaitu predator
jenis II akan memangsa predator jenis I.
41
2. Pembentukan Model Matematis Predator-Prey
Berdasarkan asumsi-asumsi dan parameter yang digunakan maka dapat dikonstruksi model matematis predator-prey.
a. Model Matematis Prey
Laju pertambahan populasi prey karena adanya kelahiran dengan laju sebesar
adalah sebesar . Namun, pertumbuhan populasi prey akan berkurang
karena prey lain yang sejenis yang besarnya pengurangan adalah . Selain
itu, pertumbuhan populasi prey juga akan berkurang karena adanya interaksi predator jenis I dan predator jenis II. Besarnya pengurangan populasi prey karena
adanya predator jenis I adalah sebesar , sedangkan besarnya pengurangan
populasi karena adanya predator jenis II adalah sebesar . Dengan
demikian, model dinamika pertumbuhan populasi prey ditulis sebagai berikut
Persamaan 3.1 menyatakan bahwa populasi prey mengalami pertumbuhan, akan tetapi laju pertumbuhan populasinya dihambat karena adanya interaksi antara prey
tersebut dengan sesama jenisnya maupun dengan predator jenis I dan predator jenis II .
b. Model Matematis Predator Jenis I
Pertumbuhan populasi predator jenis I karena tidak adanya prey akan berkurang. Besarnya pengurangan tersebut adalah
, dengan adalah laju
kematian alami predator jenis I. Namun, pertumbuhan populasi predator jenis I akan bertambah karena adanya prey dan besarnya pertambahan tersebut adalah
. Di sisi lain, pertumbuhan populasi predator jenis I akan berkurang
42
karena adanya predator jenis II dan besarnya pengurangan adalah sebesar . Dengan demikian, model dinamika pertumbuhan populasi predator
jenis I ditulis sebagai berikut
Persamaan 3.2 menyatakan bahwa pertumbuhan predator jenis I akan bertambah karena adanya prey dan berkurang karena adanya predator jenis II
maupun karena tidak adanya prey.
c. Model Matematis Predator Jenis II
Pertumbuhan populasi predator jenis II karena tidak adanya prey dan predator jenis II akan berkurang. Besarnya pengurangan tersebut adalah
, dengan
adalah laju kematian alami predator jenis II. Namun, pertumbuhan populasi predator jenis II akan bertambah karena adanya prey dan besarnya
pertambahan tersebut adalah . Di sisi lain, pertumbuhan populasi
predator jenis I juga akan bertambah karena adanya predator jenis I dan besarnya penambahan adalah sebesar
. Dengan demikian, model dinamika
pertumbuhan populasi predator jenis I ditulis sebagai berikut
Persamaan 3.13 menyatakan bahwa laju pertumbuhan predator jenis II bertambah karena adanya prey maupun predator jenis I, dan berkurang karena
tidak adanya prey dan predator jenis I.
43
Dari persamaan 3.1 – 3.3 di atas, diperoleh model matematis predator-
prey dengan dua predator berupa sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut.
Sistem 3.4 ekuivalen dengan sistem 3.5 sebagai berikut.
B. Titik Ekuilibrium Model Predator-Prey dengan Dua Predator
Kategori