17
dengan dan
merupakan laju pertumbuhan predator. Persamaan 2.24 menyatakan bahwa laju pertumbuhan predator bertambah karena adanya interaksi
dengan prey dan berkurang karena tidak ada prey. Kemudian berdasarkan persamaan 2.23 dan 2.24 diperoleh sistem predator-prey yang secara
matematis ditunjukkan pada sistem 2.25 berikut.
dengan , merupakan laju kelahiran dari prey dan merupakan laju
kematian alami dari predator, sedangkan merupakan parameter interaksi antara
prey dan predator, interaksi yang dimaksud yaitu prey akan dimangsa oleh predator dan
merupakan parameter interaksi antara predator dan prey, interaksi yang dimaksud yaitu predator akan memangsa prey. Persamaan 2.25 disebut
dengan persaman Lotka-Volterra Boyce dan Diprima, 2009:534.
D. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Definisi 2.5 Thomas dan Ross, 1996:672
Misalkan dapat diturunkan hingga kali pada , maka dapat
dinyatakan sebagau deret
18
Persamaan di atas disebut Deret Taylor dengan pusat atau disebut dengan
polinomial Taylor pada . Jika , maka persamaan di atas disebut Deret
Mac Laurin.
E. Sistem Linear
Menurut Perko 2001:1 sistem linear dinyatakan sebagai ̇
dengan ,
matriks berukuran dan
̇ [
] Solusi dari sistem 2.26 dengan nilai awal
adalah
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa solusi dari sistem 2.26 dengan nilai awal adalah
Bukti:
̇ dimana
didefinisikan oleh deret Taylor sebagai berikut
∑
sehingga
19
∑
∑
∑
∑
∑
̇ ̇
Definisi 2.6 Perko, 2001:33
Matriks dikatakan nilpotent order jika
dan .
Contoh 2.5
Diberikan matriks
20
Matriks tersebut merupakan matriks nilpotent order 2. Untuk memeriksanya,
harus ditunjukkan dan
sebagai berikut
Berdasarkan Definisi 2.5, adalah matriks nilpotent.
Berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks , bentuk dari
dibagi menjadi tiga, sebagai berikut:
1. Jika matriks
berukuran mempunyai sebanyak nilai eigen real yang berbeda maka bentuk
menjadi Perko, 2001:7 [
] dengan
adalah matriks yang mempunyai invers, dan adalah nilai eigen dari matriks
, dengan , dan
[ ] [
]
sehingga persamaan 2.27 menjadi [
] 2.
Jika matriks berukuran dengan blok sepanjang diagonal,
mempunyai sebanyak nilai eigen kompleks yang berbeda maka bentuk
menjadi Perko, 2001:29 {
[ ]}
21
dengan adalah matriks yang mempunyai invers,
dan nilai eigen dari matriks adalah
, dengan ,
sehingga persamaan 2.27 menjadi
{ [
]}
3. Jika matriks
berukuran mempunyai sebanyak nilai eigen kembar dengan
maka bentuk menjadi Perko, 2001:33
[ ]
dengan adalah matriks yang mempunyai invers, dan
adalah nilai eigen dari matriks , dan adalah matriks nilpotent
order dengan dan komutatif yaitu , dan
[ ]
sehingga persamaan 2.27 menjadi [
] 4.
Jika matriks berukuran mempunyai sebanyak nilai eigen kembar
maka bentuk menjadi Perko, 2001:33
[ ]
adalah matriks nilpotent order dengan dan komutatif yaitu
, dan [ ] sehingga persamaan 2.27 menjadi
[ ]
22
Contoh 2.6
Diberikan sistem dinamik linear ̇
̇
Akan dicari solusi sistem 2.28 Penyelesaian:
Sistem 2.28 dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
[ ̇
̇ ]
Dari persamaan 2.29 dimisalkan
Berdasarkan persamaan 2.3 maka diperoleh |
| sehingga persamaan karakteristiknya adalah
dan diperoleh nilai eigen dari matriks yaitu
. Kemudian berdasarkan nilai eigen tersebut diperoleh
23
dan
Untuk memeriksa adalah matriks nilpotent order 2, akan ditunjukkan
yaitu
diperoleh
[ ]
Jadi, solusi dari sistem 2.28 adalah [
]
F. Titik Ekuilibrium
