49
3. Jika
, , dan
maka diperoleh titik ekuilibrium yaitu keadaan dimana populasi prey dan predator
jenis II ada, sementara predator jenis I tidak ada. 4.
Jika ,
, dan maka diperoleh titik ekuilibrium
yaitu keadaan dimana populasi prey ada, sementara predator jenis I dan predator jenis II tidak ada.
5. Jika
, , dan
maka diperoleh titik ekuilibrium dimana
yaitu keadaan dimana populasi prey, dan predator jenis I, dan predator jenis II ada.
C. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Sistem 3.5 merupakan sistem nonlinear, sehingga untuk menentukan kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium diperlukan matriks Jacobian dan
nilai eigen. Misalkan
50
maka
Berdasarkan 3.22, 3.23, 3.24, 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, dan 3.30 diperoleh matriks Jacobian dari model matematis sistem predator-prey
dengan dua predator adalah sebagai berikut :
[ ]
Kestabilan pada setiap titik ekuilibrium akan diperiksa sebagai berikut :
1. Kestabilan titik ekuilibrium
Untuk titik ekuilibrium diperoleh matriks Jacobian
51
[ ]
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari Berdasarkan persamaan 2.3, maka diperoleh
| |
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Berdasarkan 3.32 diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
Karena merupakan parameter yang bernilai positif, maka titik
tidak stabil karena
.
2. Kestabilan titik ekuilibrium
Untuk titik ekuilibrium diperoleh matriks
Jacobian
52
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari Berdasarkan persamaan 2.3, maka diperoleh
| |
| |
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Berdasarkan 3.34 diperoleh nilai eigen sebagai berikut
√
Nilai eigen ,
, dan dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-
nilai parameter-parameterrnya. Nilai eigen bernilai negatif jika
Sedangkan nilai eigen mempunyai bagian real negatif jika
[ ]
53
Karena dan
selalu bernilai positif, maka nilai eigen mempunyai
bagian real negatif jika
3. Kestabilan titik ekuilibrium
Untuk titik ekuilibrium diperoleh matriks
Jacobian
[ ]
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari Berdasarkan persamaan 2.3, maka diperoleh
| |
| |
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Berdasarkan 3.36 diperoleh nilai eigen sebagai berikut
54
√
Nilai eigen ,
, dan dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-
nilai parameter-parameterernya. Nilai eigen bernilai negatif jika
Sedangkan nilai eigen mempunyai bagian real negatif jika
[ ]
Karena dan
selalu bernilai positif, maka nilai eigen mempunyai
bagian real negatif jika
4. Kestabilan titik ekuilibrium
Untuk titik ekuilibrium diperoleh matriks Jacobian
[ ]
Berdasarkan persamaan 2.3, maka diperoleh
| |
| |
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
55
Berdasarkan 3.38 diperoleh nilai eigen sebagai berikut
Nilai eigen
selalu bernilai negatif karena , sedangkan nilai eigen
dan dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-nilai parameternya. Titik
stabil jika semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik ekuilibrium stabil jika
dan .
5. Kestabilan titik ekuilibrium
Untuk titik ekuilibrium diperoleh matriks Jacobian
dengan
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari Berdasarkan persamaan 2.3, maka diperoleh
56
| |
| |
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
Persamaan 3.40 dapat dimisalkan sebagai berikut
sehingga diperoleh persamaan karakteristik baru sebagai berikut
Dengan menggunakan kriteria Routh Hurwitz, maka berdasarkan persamaan 3.42 diperoleh
Berdasarkan 3.43 dapat disusun tabel Routh Hurwitz sebagai berikut
57
Tabel 3.2 Tabel Routh-Hurwitz untuk Titik Ekuilibrium
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, sistem 3.5 stabil pada , jika dan hanya
jika pada kolom pertama setiap entrinya bernilai negatif, dengan syarat ,
, .
D. Sistem dengan Dua Parameter Bebas
