Nilai Eigen, Vektor Eigen, Kebebasan Linear, dan Diagonalisasi

6

BAB II KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz, bifurkasi, teori center manifold, dan vektor eigen tergeneralisasi.

A. Nilai Eigen, Vektor Eigen, Kebebasan Linear, dan Diagonalisasi

Penentuan nilai eigen dan vektor eigen sangat diperlukan untuk mencari solusi dari suatu sistem dinamik linear. Nilai eigen dan vektor eigen juga diperlukan dalam menentukan sifat kestabilan dari suatu sistem dinamik. Definisi 2.1 Anton, 1995 : 277 Jika merupakan matriks yang berukuran , maka vektor taknol di dalam dinamakan vektor eigen dari jika memenuhi persamaan dengan adalah suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen eigenvalue dari dan dikatakan vektor eigen eigenvector yang bersesuaian dengan . 7 Nilai eigen dari matriks yang berukuran diperoleh dari atau dapat ditulis sebagai . Persamaan tersebut secara ekuivalen dapat ditulis kembali menjadi dengan adalah matriks identitas. Persamaan 2.2 mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika | | Persamaan 2.3 dinamakan persamaan karakteristik dari matriks . Contoh 2.1 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks berikut ini. [ ] Berdasarkan persamaan 2.3 maka diperoleh | | | | sehingga persamaan karakteristiknya adalah sehingga berdasarkan persamaan 2.4 diperoleh nilai eigen dari matriks yaitu , , dan Berdasarkan Definisi 2.1, vektor eigen dari matriks adalah penyelesaian taktrivial dari , yaitu 8 [ ] [ ] [ ] Untuk , maka 2.5 menjadi [ ] [ ] [ ] Sistem 2.6 ekuivalen dengan persamaan berikut : Berdasarkan 2.7 diperoleh penyelesaian dari sistem 2.6 adalah , dan . Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah [ ] Untuk , maka 2.5 menjadi [ ] [ ] [ ] Sistem 2.9 ekuivalen dengan persamaan berikut : Berdasarkan 2.10 diperoleh penyelesaian dari sistem 2.9 adalah dan . Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah [ ] 9 Untuk , maka 2.5 menjadi [ ] [ ] [ ] Sistem 2.12 ekuivalen dengan persamaan berikut : Berdasarkan 2.13 diperoleh penyelesaian dari sistem 2.12 adalah dan . Misalkan , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah [ ] Berdasarkan 2.8, 2.11, dan 2.14 maka vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah [ ], [ ], dan [ ]. Definisi 2.2 Anton, 1995:284 Matriks yang berukuran dikatakan dapat didiagonalisasi diagonalizable jika terdapat matriks yang mempunyai invers sedemikian sehingga adalah matriks diagonal, maka matriks dikatakan mendiagonalisasi matriks . Definisi 2.3 Anton, 1995:151 Jika adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor 10 mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, yaitu Jika 2.16 merupakan satu-satunya penyelesaian, maka dinamakan himpunan bebas linear linearly independent, sedangkan jika ada penyelesaian lain maka dinamakan himpunan takbebas linear linearly dependent. Teorema 2.1 Anton, 1995:285 Jika adalah matriks , maka kedua pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. a dapat didiagonalisasi b mempunyai vektor eigen bebas linear Bukti: a b. Karena dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang mempunyai invers. Misalkan [ ] sehingga adalah matriks diagonal, dimana [ ] maka, , yakni [ ] [ ] [ ] 11 Jika dimisalkan menyatakan vektor-vektor kolom , maka bentuk 2.17 kolom-kolom yang berurutan merupakan . Akan tetapi kolom-kolom dari hasil kali adalah , sehingga diperoleh Karena mempunyai invers, maka vektor-vektor kolomnya tidak bernilai nol, jadi berdasarkan Definisi 2.1, adalah nilai-nilai eigen , dan adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena mempunyai invers maka diperoleh bahwa bebas linear. Jadi memiliki vektor eigen bebas linear. b a. Karena memiliki vektor eigen bebas linear misalkan , maka terdapat nilai eigen yang bersesuaian yaitu , dan misalkan [ ] adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah . Karena merupakan vektor eigen dari matriks dan kolom-kolom dari hasil kali adalah maka 12 sehingga diperoleh [ ] [ ] [ ] dimana adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai eigen pada diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom dari bebas linear, maka mempunyai invers. Jadi 2.19 dapat dituliskan kembali sebagai dengan dapat didiagonalisasi. Contoh 2.2 Carilah matriks yang mendiagonalkan [ ] Dari contoh 2.1 nilai eigen dari adalah , , dan . Vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks adalah [ ], [ ], dan [ ]. Akan ditunjukkan bebas linear. Berdasarkan Definisi 2.3 substitusikan , , dan pada persamaan 2.15 sehingga diperoleh [ ] [ ] [ ] atau secara ekuivalen menjadi [ ] [ ] Jadi merupakan satu-satunya penyelesaian dari 2.20, sehingga bebas linear dan didapat 13 [ ] Akan dibuktikan adalah matriks diagonal [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Jadi, [ ] akan mendiagonalkan A.

B. Sistem Dinamik