43
Dari persamaan 3.1 – 3.3 di atas, diperoleh model matematis predator-
prey dengan dua predator berupa sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut.
Sistem 3.4 ekuivalen dengan sistem 3.5 sebagai berikut.
B. Titik Ekuilibrium Model Predator-Prey dengan Dua Predator
Ada beberapa kemungkinan yang terjadi untuk masing-masing jenis populasi, sehingga ada beberapa kemungkinan titik ekuilibrium berdasarkan
keadaan populasinya. Berdasarkan Definisi 2.7, titik ekuilibrium pada model
matematis predator-prey dengan dua predator diperoleh jika ,
, dan
. Jika
, maka menurut persamaan 3.5a menjadi
sehingga diperoleh
44
atau
Jika , maka menurut persamaan 3.5b menjadi
sehingga diperoleh
atau
Jika , maka menurut persamaan 3.5c menjadi
sehingga diperoleh
atau
Berdasarkan persamaan 3.6, 3.8, dan 3.10 maka diperoleh titik ekuilibrium
adalah
Selanjutnya akan dikaji untuk Berdasarkan persamaan 3.10, persamaan 3.9 menjadi
sehingga diperoleh
45
Kemudian persamaan 3.10 dan 3.12 disubstitusi ke dalam persamaan 3.7 menjadi
dan diperoleh
Berdasarkan persamaan 3.10, 3.12, dan 3.13, maka diperoleh titik ekuilibrium
adalah
Kemudian akan dikaji untuk Berdasarkan persamaan 3.8, maka persamaan 3.11 menjadi
sehingga diperoleh
Kemudian persamaan 3.8 dan 3.14 disubstitusi ke dalam persamaan 3.7 menjadi
dan diperoleh
46
Berdasarkan persamaan 3.8, 3.14, dan 3.15, maka diperoleh titik ekuilibrium
adalah
Selanjutnya akan dikaji untuk dan
Berdasarkan persamaan 3.8 dan 3.10, persamaan 3.7 menjadi
sehingga diperoleh
Berdasarkan persamaan 3.8, 3.10, dan 3.16, maka diperoleh titik ekuilibrium
adalah
Kemudian untuk menentukan titik ekuilibrium dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut. Persamaan 3.9 dapat ditulis kembali menjadi
sehingga diperoleh
Selanjutnya, persamaan 3.11 dapat ditulis kembali menjadi
sehingga diperoleh
47
Substitusi persamaan 3.17 dan 3.18 ke persamaan 3.7 sehingga diperoleh
atau
Persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
Dari persamaan di atas diperoleh
Substitusi persamaan 3.19 ke persamaan 3.9 sehingga diperoleh
atau
Dari persamaan di atas diperoleh
Substitusi persamaan 3.19 ke dalam persamaan 3.11 sehingga diperoleh
48
atau
Dari persamaan di atas diperoleh
Berdasarkan persamaan 3.19, 3.20, dan 3.21 diperoleh bahwa titik ekuilibrium
adalah dengan
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium model matematis predator-prey dengan dua predator diperoleh sebagai berikut.
1. , yaitu keadaan dimana populasi prey tidak ada, sehingga
populasi predator jenis I dan predator jenis II akan musnah karena tidak ada makanan.
2. Jika
, , dan
maka diperoleh titik ekuilibrium yaitu keadaan dimana populasi prey dan predator
jenis I ada, sementara predator jenis II tidak ada.
49
3. Jika
, , dan
maka diperoleh titik ekuilibrium yaitu keadaan dimana populasi prey dan predator
jenis II ada, sementara predator jenis I tidak ada. 4.
Jika ,
, dan maka diperoleh titik ekuilibrium
yaitu keadaan dimana populasi prey ada, sementara predator jenis I dan predator jenis II tidak ada.
5. Jika
, , dan
maka diperoleh titik ekuilibrium dimana
yaitu keadaan dimana populasi prey, dan predator jenis I, dan predator jenis II ada.
C. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium