Bila u
l,
u
2
, ….., u
n
suatu basis orthonormal dari R
n
. Kemudian jika,
∑
=
=
n i
i i
u v
1
α . adalah vektor di dalam R
n
, perkalian skalar dengan u
j
diberikan v.u
j =
α
j
u
j
.u
j
. Karena |u
j
| = 1, kita peroleh α
j
= v.u
j
. Tunjukkan bahwa vektor – vektor v
l
= 1,0,-1 ; v
2
= 1.0.1 ; v
3
= 0,1,0
adalah saling orthonormal dari R
3
dan nyatakan v = 1,2,3 di dalam bentuk dari basis ini.
Penyelesaian : Jelaskan v
1
.v
2
= v
1
.v
3
= v
2
.v
3
= 0, bukti keorthogonalan. Setiap vektor satuan
i
uˆ diberikan sebagai :
i i
i
v v
u ⋅
= 1
ˆ .
Jadi,
1 ,
, 1
2 1
1
− ⋅
= u
,
1 ,
, 1
2 1
2
⋅ =
u
, ,
1 ,
3
= u
Jika, v = α
1.
u
l
+ α
2
u
2
+ α
3
u
3
, kemudian, α
1
= v.u
1
= -2 ; α
2
= v.u
2
= 2 √2 ;
α
3
= v.u
3
= 2 Maka,
, 1
, 2
1 ,
, 1
2 2
2 1
, ,
1 2
2 +
+ −
− =
v atau
1,2,3 = - 1,0,-1 + 20,1, 0,
3.2.2 Algoritma Gram – Schmildt
Contoh di atas menunjukkan bahwa basis orthonormal lebih disukai di dalam hal dari pada vektor-vektor basis yang tidak orthonormal. Algoritma Gram
– Schmidt memberikan metode sederhana untuk memperoleh suatu basis orthonormal dari suatu sebarang basis dari sub ruang s dari R
n
.
Universitas Sumatera Utara
Bila b
1
, …,b
k
suatu basis dari S. Bila V
1
= b
1
, didefenisikan vektor satuan u
1
sebagai :
1 1
1
1 ˆ
v v
u ⋅
=
Bila v
2 =
b
2
– u
1
.b
2
u
1
, definisi
2 2
2
1 ˆ
v v
u ⋅
=
catatan bahwa v
2
dapat menjadi nol hanya jika b
1
dan b
2
dependen linier . Kemudian vektor – vektor u
1
dan u
2
adalah vektor – vektor satuan yang saling orthogonal yang menghasilan sub ruang sama, yaitu b
1
dan b
2
. Algoritma akan berlaku terus bila didefenisikan vektor – vektor orgonal berturut
– turut u
1
, u
2
, …. , u
n
Pada tiap-tiap tingkatan,
∑
− =
⋅ −
=
1 1
i j
j j
i i
i
u u
b b
v
dan
i i
i
v v
u ⋅
= 1
u
1
, u
2
, ..., u
i
adalah dependen linier dar b
1
, b
2
, ..., b
i
dan sebaliknya. Akhirnya kita peroleh basis orthonormal u
1
, u
2
, ..., u
k
dari S. Tentukan basis orthonormal dari sub ruang dari R
n
yang dihasilkan oleh vektor – vektor independen linier a
1
= 1,1,-1,1 ; a
2
= 1,2,0,1 ; a
3
= 1,0,0,1 Penyelesaian
Menggunakan algoritma Gram – Schmidt diberikan : u
1
=
1 ,
1 ,
1 ,
1 2
1 −
v
2
= a
2
– a
2
.u
1
u
1
= 1,2,0,1 – 2½,½,-½,½ = 0,1,1,0,
Universitas Sumatera Utara
u
2
=
2 2
1 v
v
= -
, 1
, 1
, 2
1
v
3
= a
3
– a
3
.u
1
u
1
– a
3
.u
2
= 1,0,0,1 – ½,½,-½,½ – 0.u
2
= ½,- ½,½,½ u
3
=
3 3
1 v
v ⋅ = ½,-½,½,½
Basis yang dikehendaki adalah :
1 ,
1 ,
1 ,
1 2
1 ;
, 1
, 1
, 2
1 ;
1 ,
1 ,
1 ,
1 2
1
3 2
1
− =
= −
= b
b b
3.2.3 Mengubah basis Orthonormal
Seperti didefenisikan dalam 3.1, perkalian skalar memberikan hubungan tertutup terhadap basis utama e
1,
e
2
, …., e
n
dari R
n ,
karena perkalian skalar didefenisikan dalam bentuk koefisien – koefisien dari vektor – vektor
untuk basis ini. Menganggap u
1
,u
2
, ..., u
n
adalah alternatif basis orthonormal dari R
n
. dan bahwa a =
∑
= n
i i
i
u
1
α , b =
∑
= n
j j
j
u
1
β adalah vektor – vektor di dalam R
n.
kemudian sifat dari perkalian skalar basis orthonormal, kita peroleh : a.b =
∑ ∑
= =
⋅
n j
j j
n i
i i
u u
1 1
β α
=
∑
=
⋅
n j
i j
i j
i
u u
1 ,
β α
, Karena u
i
•u
j
= 1
=
∑
= n
j i
j i
1 ,
β α
Atas perkalian sklar dapat dihitung dengan mengambil dari perkalian koefisien – koefisien basis orthonormal, dan dengan defenisi tidak menyinggung dependen
Universitas Sumatera Utara
atas basis elementer e
1
, …, e
n
. Catatan bahwa matriks P yang menggambarkan perubahan dari basis e
1
, …, e
n
ke u
i
, …, u
n
mempunyai vektor – vektor kolom yang berbentuk suatu hitungan orthonormal. Matriks demikian dimaksud
orthogonal yang mempunyai sifat P’P = I. Matriks orthogonal adalah suatu yang penting di dalam geometri dan masalah –
masalah fisika di dalam R
3 ,
karena dasar dari perubahan itu hanya bersesuaian dengan matriks – matriks orthogonal.
3.3 Ruang Produk Inner 3.3.1 Defenisi
