Defenisi Sifat – sifat Perkalian Skalar

BAB III PEMBAHASAN DAN HASIL

Telah dioperasikan didefenisikan penjumlahan dan perkalian dengan sebuah bilangan sklar riil untuk vektor – vektor di dalam ruang n dimensi R n . Defenisi ini analog dengan yang berada di dalam ruang vektor 3 dimensi biasa, yang telah kita kenal dan kita pelajari dalam geometri 3 dimensi atau mekanika. Tetapi ada dua operasi aljabar yang dapat dilakukan pada vektor – vektor ruang tiga dimensi atau mekanika. Operasi ini dalam perkalian sklar a.b dari dua vektor a dan b dan diberikan operasi perkalian vektor silang a×b. 3.1 Perkalian Skalar Di Dalam R n

3.1.1 Defenisi

Jika a dan b vektor – vektor di dalam ruang vektor 3 dimensi biasa, perkalian sklar a.b biasanya di tuliskan bilangan riil |a||b|cos θ , di mana |a| dan |b| adalah panjang dari vektor a dan b dan θ adalah sudut antara kedua vektor. Dari defenisi ini, diperoleh ekspresi alternatif a.b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n , di mana a dan b adalah relatif diberikan suatu himpunan dari sumbu tegak koordinat. Ekspresi kedua ini merupakan motivasi untuk mendefenisikan perkalian skalar di dalam R n , yaitu mendefenisikan perkalian skalar di dalam R n , yaitu : Universitas Sumatera Utara v.w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + … + v n w n = v t w 3.1 Dari persamaan 3.1 yang didefenisikan perkalian skalar, kita dapat menurunkan defenisi untuk panjang dan sudut di dalam R n. Gambar 3.1 Panjang atau madulus dari v didefenisikan sebagai : 2 2 2 2 1 .... . n V v v v v v + + + = = 3.2 Catatan adalah sama dengan notasi yang digunakan untuk panjang di sisi adalah sama dengan notasi yang digunakan dalam modulus bilangan riil, sehingga hal ini tidak membingungkan, karena modulus bilangan riil α = |α| = 2 α , sama dengan panjang dari vektor α di dalam R 1 . Sudut antara vektor – vektor tidak nol v dan w di dalam R n adalah diperoleh dari persamaan : w v w v ⋅ = θ cos 3.3

3.1.2 Sifat – sifat Perkalian Skalar

Dari defenisi, sesuai dengan sifat-sifat dasar, perkalian skalar di dalam R n dapat disimpulkan. Pembuktiannya adalah suatu contoh sederhana. Untuk setiap faktor v , w di dalam R n . S1 : perkalian v.w adalah suatu bilangan riil. S2 : v.w = w.v sifat simetri. θ a b Universitas Sumatera Utara S3 : untuk semua bilangan riil α, αv.w = αv.w. S4 : untuk semua vektor x, v + w.x = v.x + w.x. S5 : v.w ≥ 0 untuk setiap v di dalam R n dan v.w = 0, hanya jika v = 0. Dari simetri S2 dan sifat – sifat S3 dan S4 kita peroleh : S3 : untuk semua bilangan riil α, αv.w = αv.w. S4 : untuk semua vektor x, v + w.x = v.x + w.x. Sifat – sifat ini, S3 dan S4, juga disebut sifat-sifat linier ganda bilinier properties dari perkalian skalar. Mereka mendifinisikan macam hubungan perkalian skalar dengan operasi – operasi ruang vektor dari penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Teori 3.1 Pertidaksamaan Cauchy – Schawrz Untuk setiap vektor v, w di dalam R n , w v w v ⋅ ≤ ⋅ di mana w v ⋅ dinamakan modulus dari bilangan riil v.w. Bukti: Untuk setiap bilangan riil θ, vektor v dan w adalah suatu vektor dalam R n , dari S5 bahwa v.w ≥ 0 , maka : 2 2 2 2 2 w w v v w v + ⋅ − ⋅ ≤ θ θ 3.4 Jika, v = 0, pertidaksamaan Cauchy – schwarz jelas dipenuhi. Dengan cara lain, masalah 2 1 v = θ di dalam 3.4, ini memberikan : 2 2 2 2 1 2 1 w w v v v w v + ⋅ − ⋅ ≤ atau setelah menyelesaikan dan menyederhanakan , Universitas Sumatera Utara 2 2 2 w v w v ≤ ⋅ Dari atas, dengan mengambil akar akan diperoleh ketidaksamaan Cauchy – Schwarz yaitu : 2 2 w v w v ⋅ ≤ ⋅ 3.5 Catatan bawah : I Pertidaksamaan 3.5 menjamin bahwa untuk setiap vektor tidak nol di dalam R n persamaan 3.3 didevenisikan suatu sebagai suatu sudut biasa. II Subsitusi θ = 2 1 v , ke dalam baris kedua dari bukti di atas menujukkan bahwa pertidaksamaan menjadi persamaan jika w = v v w v 2 . ; hal itu terjadi bila v dan w vektor yang sejajar. a = 1,2,-1,3 ; b = 2,-2,2,3,1 ; c = -3,1,1,1 dan vektor-vektor di dalam R 4 . Buktikan bahwa : a.b + c = a. b + a.c Penyelesaian : b + c = 2, -2, 3, 1 + -3,1,2,1 = -1,-1,5,2 maka, a b+a = 1.2,-1,3’.-1,-1,5,2’ = -1 – 2 – 5 +6 = -2 a.b = 1,2,-1,3.2,-2,3,1 = -2 a.c = 1,2,-,3.-3,1,2,1 = 0 maka, a.b + c = a.b + a.c Catatan bahwa a dan c dari vektor orthogonal karena cauchy-schwarz a.c = 0 yang akan dibicarakan di dalam di dalam seksi berikut. Pertidaksamaan segi tiga, disimpulkan dari pertidaksamaan Cauchy – Schwarz , bahwa : Universitas Sumatera Utara