S5 : v,v ≥ 0 untuk sebarang v di dalam V dan v,v = 0, hanya jika
v = 0. Catatan bahwea sifat – sifat diatas mendefenisikan kurang profuct inner riil seuai
dengan sifat – sifat dari R
n
yang telah diperoleh di dalam 3.1.2.
3.3.2 Contoh Ruang Inner
Bila P
n
ruang vektor dari semua polinomial riil f x dengan derajat n dari suatu ruang dimensi n + 1. Suatu product inner dengan didefenisikan
sebagai :
∫
=
1
, dx
x g
x f
x g
x f
Kelinieran dari proses integrasi menjamin bahwa sifat S2 sampai s4 terpenuhi untuk product inner ini, karena fx
2
selalu 0 untuk sebarang x di dalam interval ≤x≤1, kita peroleh fx,fx ≥ 0 untuk semua fx di dalam P
n
. product inner fx,fx hanya untuk nol untuk polinomial yang identik nol di dalam 0
≤ x ≤ 1, untuk fx = 0. Di dalam R
n
, untuk n1, fx = 1 dan gx = 1 – 2x adalah contoh polinomia orthogonal dari product inner. Operasi product inner disini diusulkan
untuk P
n
yang bernialai tunggal. Product inner ini dapat didefenisikan sebagai :
∫
=
b a
dx x
g x
f K
x g
x f
,
di mana b a dan k adalah konstatan positif.
Suatu perkalian – perkalian inner dapat diidefenisikan sebagai jumlah dari perkalian – perkalian koefisien sesuai di dalam fx dan gx. devenisi dapat
dibuktikan dengn aksioma Sl sampai S5 sesuai dengan sifat – sifat dasar seperti
Universitas Sumatera Utara
persamaan Cauchy – Schwarz dan independen linier dari vektor – vektor orthogonal.
Bila S himpunan semua fungsi riil fx yang kontinu, difrensiabel dan periodik 2
πfx + 2π = fx untuk sebagai x. Jelaslah bahwa fx dan gx di dalam S. Juga fx + gx untuk sebarang bilangan riil a dan b. Dari atas, S adalah
ruang vektor riil. Kita definisikan peoduct inner di dalam S sebagai :
∫
−
=
π π
π
dx x
g x
f x
g x
f 1
,
Peroduct inner ini sesuai dengan aksioma S1 sampai S5. Himpunan fungsi tak berhingga :
2 1
, sin x, cos x, sin 2x, cos 2 x, ..., sin nx, … Adalah himpunan dari fungsi – fungsi saling orthogonal, sebab :
cos sin
= =
∫ ∫
− −
dx nx
dx nx
π π
π π
, untuk semua bilangan bulat.
dx mx
nx dx
mx nx
cos cos
sin sin
∫ ∫
− −
= =
π π
π π
, jika m ≠ n,
cos sin
=
∫
−
dx mx
nx
π π
, untuk semua m dan n bilangan bulat.
Terlihat bahwa setiap fungsi di dalam suatu himpunan adalah suatu vektor satuan untuk product inner kita.
3.3.3 Ruang Product Inner Kompleks
Untuk ruang – ruang vektor kompleks, aksioma S1. Sebagai S5 perlu diubah dan secara khusu S5 tidak sesuai. Sebagai contoh jika kita pikirkan C
2
, bagian – bagian ruang dari bilangan – bilangan kompleks dan mencoba ubntuk
Universitas Sumatera Utara
mendefenisikan suatu product skalar dalam C
2
, seperti di dalam seksi 3.1, kita
peroleh 1,i.1,i = 1 – 1 = 0. Perubahan untuk suatu ruang product inner
kompleks adalah : SC1 : v,w adalah skalar bilangan kompleks.
SC2 : v,w =
, v
w
, di mana
, v
w
menujukkan konjugat kompleks. SC3 : untuk sebarang bilangan kompleks
α, α v,w = α v,w = v, α w sesuai SC2.
SC4 : untuk sebarang vektor x, x, v + w = x,v + x,w. SC5 : v,v
≥ o dan v,v = 0, hanya jika v = 0. Catatan bahwa :
i. SC2 menjamin bahwa untuk setiap vektor di dalam ruang
kompleks dan ketidaksamaan SC5 berlaku. ii.
Jika kita membatasi skalar – skalar kita dengan bilangan – bilangan riil saja bukan kompleks, maka aksioma SC1 sampai SC5
berkurang ke S1 sampai S5. Biasanya didefenisikan dari suatu product inner di dalam C
n
didefenisikan : z,w = z
1
, z
2
, …, z
n
, w
1
, w
1
,w
2
, …., w
n
=
∑
= n
i i
i
w z
1
, kemuidan
z,z =
∑
= n
i i
i
z z
1
=
∑
= n
i i
z
1 2
, positif untuk semua z = 0.
3.4 Ruang Faktor Normal Normet Vektor Spaces
