mendefenisikan suatu product skalar dalam C
2
, seperti di dalam seksi 3.1, kita
peroleh 1,i.1,i = 1 – 1 = 0. Perubahan untuk suatu ruang product inner
kompleks adalah : SC1 : v,w adalah skalar bilangan kompleks.
SC2 : v,w =
, v
w
, di mana
, v
w
menujukkan konjugat kompleks. SC3 : untuk sebarang bilangan kompleks
α, α v,w = α v,w = v, α w sesuai SC2.
SC4 : untuk sebarang vektor x, x, v + w = x,v + x,w. SC5 : v,v
≥ o dan v,v = 0, hanya jika v = 0. Catatan bahwa :
i. SC2 menjamin bahwa untuk setiap vektor di dalam ruang
kompleks dan ketidaksamaan SC5 berlaku. ii.
Jika kita membatasi skalar – skalar kita dengan bilangan – bilangan riil saja bukan kompleks, maka aksioma SC1 sampai SC5
berkurang ke S1 sampai S5. Biasanya didefenisikan dari suatu product inner di dalam C
n
didefenisikan : z,w = z
1
, z
2
, …, z
n
, w
1
, w
1
,w
2
, …., w
n
=
∑
= n
i i
i
w z
1
, kemuidan
z,z =
∑
= n
i i
i
z z
1
=
∑
= n
i i
z
1 2
, positif untuk semua z = 0.
3.4 Ruang Faktor Normal Normet Vektor Spaces
3.4.1 Defenisi
Bila V suatu ruang vektor, sehingga untuk setiap x di dalam sifat-sifat :
Universitas Sumatera Utara
N1 : || αx|| = |α||x| untuk sebarang skalar α
N2 : ||x|| 0 dan || x || = 0, hanya jika x = 0 N3 : ||x + v||
≤ ||x|| + ||v|| untuk sebarang x, v di dalam V. V dikatakan ruang vektor norma dengan norm x .
Sifat-sifat dari product inner menjamin bahwa setiap ruang product inner adalah juga suatu ruang norma dengan norm || x || =
, x
x . Secara khusus
untuk ruang dimensi tak berhingga, norm ini biasanya dinamakan sebagai norm euclidean, dan ditulis sebagi || x || .
3.4.2 Contoh-contoh dari Ruang Vektor Norma
Bila R
n
ruang vektor riil n dimensi, panjang dari R
n
yang merupakan perhitungan sederhana juga disebut panjang unsur maksimum.
Bila x = x
1
, x
2
, …, x
n
suatu vektor di dalam R
n
, didefenisikan || x||
M
= max | x
i
|, i = 1,2, …, n. Kemudian || αx ||
M
= max |x
i
+ y
i
| = max |x
i
|, dan || x||
M
= 0, hanya jika max |x
i
| = 0 untuk x = 0 ; i = 1, 2, …, n Untuk vektor-vektor tersebut di dalam R
n
, Norm Euclidean dan norma unsur maksimum mempunyai perbedaan nilai numerik tetapi keduanya akan
berbeda antara vektor – vektor “besar” dan “kecil”. Sebagai contoh, di dalam R
3
jika : a = 12,5,0, b = 0.1;0, 001;0,02,
maka : || a ||
E
= 13 ||a||
M
= 12 || b ||
E
= 0,1025 ||b||
M
= 0,1 Contoh 2
Universitas Sumatera Utara
Misalkan R
n
ruang vektor kita, maka dapat kita defenisikan kelompok norma tak terhingga di dalam bentuk norma 1
p
untuk sebarang p 1 didefenisikan:
||x||
p
=
p n
i p
i
x
1
∑
=
Ini berarti bahwa 1
p
juga sesuai aksioma Nl sampai N2 sehingga membentuk R
n
suatu ruang norma untuk sebarang nilai p. Kelompok norma ini berisi dua contoh kita terdahulu, karena ||x||
E
=
∑
= n
i i
x
1 2
= ||x||
2
dan karena ini dapat ditunjukkan bahwa :
p n
i p
i p
x
∑
= ∞
→ 1
lim
= max ||x
i
||, ||x||
M
, secara formal ||x||
M
identik. Dengan |x|, dan norma unsur maksimum biasanya dinyatakan sebagai norma tak
terhingga.
3.4.3 Ruang Metrik
Di dalam sebarang ruang vektor normal V, kita dapat mendefinisikan jarak antara 2 vektor x dan v sebagai dx,y = ||x – y||. dx.y adalah suatu bilangan
positif yang sama dengan nol hanya jika x = y. dx,y mempunyai sifat-sifat penjumlahan :
i. d x,y = d y, x, dan
ii. dx,y
≤ dx,y + dx,y untuk setiap z di dalam V pertidaksamaan ini dalam segitiga yang sesuai dengan N3.
Universitas Sumatera Utara
Setiap ruang dengan sesuatu jarak atau fungsi metrik yang mempunyai sifat – sifat ini disebut ruang metrik. Di dalam ruang metrik, konsep tentang
fungsi kontinu dan deret konvergen dapat memberikan suatu arti yang benar. 3.5 Bentuk Kuadrat
Suatu fungsi kuadrat homogen dengan variabel – variabel suatu bilangan, biasanya dinyatakan dalam bentuk :
Q x
1
,x
2
, . . . . . . . ., x
n
= a
11
x
1 2
+ a
22
x
2 2
+ . . . + a
nn
x
n 2
+ 2a
12
x
1
x
2
+ ... + 2a
nn-1
x
n
x
n-1
Jika koefisien – koefisiennya riil, maka pernyataan dapat diasosiasikan dengan suatu vektor di dalam R
n
dan sifat – sifat dari bentuk kuadrat adalah sama di dalam berbagai cara untuk suatu product inner.
3.5.1 Defenisi
Q x
1
,x
2
, . . . . . . . ., x
n
= a
11
x
1 2
+ … + a
nn
x
n 2
+ 2a
12
x
1
x
2
+ … + 2a
n-1n
x
n-1
x
n
disebut bentuk kuadrat dengan variabel x
1
, …,
Xn
. Jika koefisien a
11
, …, a
n-1n
semua bilangan riil, Q disebut bentuk kuadrat riil, karena :
Qx
1
, …, x
n
= x
1
, ..., x
n
n
x x
1 nn
n2 n1
2n 22
21 1n
12 11
a a
a a
a a
a a
a = x
t
Ax
Di mana A adalah matriks simetri riil A
t
= A, setiap bentuk dengan variabel dapat diasosiasikan dengan matriks simetri n×n. Rank Q,n, akan terdapat vektor
– vektor x tidak nol untuk Ax = 0, dari hubungan nilai x
1
, …, x
n
Qx
1
, …, x
n
akan menjadi nol. Bentuk kuadrat Q dikatakan positif jika untuk semua x
1
,…x
n
≠ 0,…0, Qx
1
,…..x
n Qx
1
,…,x
n akan menjadi nol.
Universitas Sumatera Utara
Suatu matriks kuadrat Q dikatakan positif jika diasosiasikan ke dalam bentuk kuadrat yang positif.
Tunjukkan bahwa : Q
1
x
1,
x
2
,x
3
= x
1 2
+ 2x
2 2
+ 6x
3 2
+ x
1
x
2
– 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
Merupakan bentuk kuadrat positif. Bagaimana bila diasosiasikan kedalam matriks
positif ? Penyelesaian :
Persamaan lengkap pada semua anggota x
1
kita peroleh Q
1
x
1,
x
2
,x
3
= x
1 2
+ 2x
1
x
2
– 2x
1
x
3
+ 2x
2 2
+ 6x
3 2
+ 2x
2
x
3
= x
1 2
+ 2x
1
x
2
– 2x
1
x
3
+ x
2 2
+ x
3 2
+ x
2 2
+ 4x
2
x
3
+ 5x
3 2
= x
1
+ x
2
– x
3 2
+ x
2
+2x
3 2
+ x
3 2
Jadi Q adalah bentuk kuadrat didefenisikan positif, karena x
1
+ x
2
– x
3,
x
2
+ 2x
3
dan x
3
hanya dapat nol jika x
1
= x
2
= x
3
= 0. Q
1
difinit positif, maka :
matriks A =
−
−
6 1
1 1
2 1
1 1
1 adalah matriks positif.
Tunjukkan bahwa : Q
2
x
1
,x
2
,x
3
= x
1 2
+ 3x
2 2
+ 9x
3 2
+ 4x
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 10x
2
x
3,
bukan merupakan bentuk kuadrat definit positif. Penyelesaian :
Persamaan lengkap diatas diberikan : Q
2
x
1
,x
2
,x
3
= x
1
+ 2x
2
+ 3x
3 2
– 2x
2
x
3
= x
1
+ 2x
2
+ 3x
3 2
– x
2
+ x
3 2
+ x
3 2
Universitas Sumatera Utara
Q
2
dapat memberian nilai positif atau negatif, niai di atas tergantung dari x
1
,x
2
,x
3
. Sebagai contoh x
1
= 2, x
2
= -1, x
3
= 0 memberikan Q
2
= -1, x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 0 memberikan Q
2
=1.
Matriks A =
9
5 3
5 3
2 3
2 1
dikatakan sebagai tak tentu.
3.5.2 Bentuk Kuadrat Definit Positif
