1.5 Kontribusi Penelitian
Dengan diketahuinya bagaimana cara mendapatkan keputusan dengan penaksir fuzzy pada multiple regresi, maka dapat dilihat sejauhmana koefisien multiple regresi
tersebut berada pada pengambilan keputusan. Disamping itu dengan memprediksi selang kepercayaan tersebut diharapkan sebagai dasar pembuatan
keputusanpemecahan persoalan ataupun untuk dasar penelitian lebih lanjut, untuk mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas yang tercakup dalam
persamaan terhadap variabel tak bebas.
1.6 Metode Penelitian
Membentuk persamaan multiple regresi dari jumlah deviasi kuadrat regresi kuadrat terkecil menggunakan matriks dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat.
Berdasarkan matriks tersebut dihitung selang kepercayaan untuk setiap koefisien pada multiple regresi yang kemudian digunakan sebagai penafsir fuzzy. Langkah terakhir
yaitu menghitung prediksi fuzzy pada multiple regresi dan mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang
tinggi, dan sebagainya. Pada himpunan orang tinggi, misalnya, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak. Anggap didefinisikan bahwa
“orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tinnginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang
tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa memang batas antara kelompok orang tinggi
dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai
keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0,1]. Fungsi ini disebut fungsi keanggotaan membership function dan nilai
fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan tak kosong tersebut, yang selanjutnya disebut himpunan fuzzy.
Universitas Sumatera Utara
Himpunan fuzzy fuzzy set adalah generalisasi dari konsep fungsi karakteristik. Dengan kata lain himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :
Jika Ω sebarang himpunan tak kosong, himpunan fuzzy pada Ω adalah suatu fungsi
yang didefinisikan pada himpunan Ω yang bernilai pada interval [0,1]. Yang
dinotasikan dengan → [0,1].
Nilai pada x menyatakan nilai keanggotaan dari x pada
Ω. Jika menyatakan nilai keanggotaan yang hanya mengambil dua nilai yaitu 0 dan 1 ;
Dengan untuk
untuk Maka fungsi seperti ini disebut fungsi karakteristik.
Secara matematis suatu himpunan fuzzy pada Ω dapat dinyatakam sebagai
himpunan pasangan terurut
Dimana adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur , yang merupakan suatu
pemetaan dari himpunan Ω ke selang tertutup [0,1]. Apabila himpunan Ω adalah
himpunan yang diskrit, maka fuzzy seringkali dinyatakan dengan
Dimana lambang ∑ disini tidak melambangkan operasi penjumlahan seperti yang
dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy .
Contoh 2.3 : Dalam himpunan Ω = { -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}, himpunan fuzzy
dapat dinyatakan sebagai
Universitas Sumatera Utara
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis dalam penyajian himpunan fuzzy diskrit.
2.1.1 Alpha- Cuts α-cuts
Suatu cara lain untuk menyatakan suatu himpunan fuzzy, yaitu dengan menggunakan alpha-cuts. Alpha-Cuts adalah suatu himpunan yang nilai keanggotaannya lebih besar
atau sama dengan α dari suatu elemen anggota [0,1]. Himpunan seperti ini dinotasikan dengan
. Dan didefinisikan sebagai berikut:
Sedangkan alpha-cuts kuat dari himpunan fuzzy yaitu
Contoh 2.1.1: pada contoh 2.1, alpha-cuts dari dengan α = 0.5 adalah
, sedangkan alpha-cuts kuatnya adalah .
Pada himpunan fuzzy dapat direpresentasikan melalui kurva-kurva berikut: a.
Representasi Linear Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan
sebagai suatu garis lurus. Ada dua keadaan himpunan fuzzy yang linear. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan
nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat kenggotaan lebih tinggi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1 Representasi Linear Naik Fungsi keanggotaan:
b. Representasi Kurva Segitiga
Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis linear seperti terlihat pada gambar 2.2
Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga Fungsi Keanggotaan :
Universitas Sumatera Utara
c. Representasi Kurva Trapesium
Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
Gambar 2.3 Kurva Trapesium Fungsi Keanggotaan:
2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy
Bentuk hubungan linear antara variable Y mempunayai hubungan dengan dua variable bebas
dan , maka model matematika multiple regresi fuzzy adalah :
Untuk dengan
merupakan bilangan fuzzy dan merupakan
bilangan real.
Universitas Sumatera Utara
adalah penaksir bilangan fuzzy untuk rata-rata dari EY diberikan untuk dengan notasi
. Nilai baru yang diperoleh untuk
untuk memprediksi nilai fuzzy yang baru untuk EY yaitu
Dan
Semua perhitungan fuzzy dilakukan menggunakan α-cuts dan interval aritmatik.
dan
Untuk semua dengan α-cuts adalah selang kepercayaan
.
2.2 Metode Analisis Regresi
Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variable yang hubungannya tidak dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis
regresi adalah sebuah teknik statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variable-variabel. Tahapan regresi terdiri dari 2 yaitu regresi sederhana dan
multiple regresi. Penerapannya dapat dijumpai secara luas di banyak bidang seperti teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi, ilmu-ilmu social, dan ilmu-ilmu
pertanian. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variable atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui
dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.
Universitas Sumatera Utara
2.2.1 Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variable dependent tunggal dengan
variable independent tunggal. Hubungan antara variable dependent dengan variable independent ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai
berikut: , untuk i = 1,2,…,n
Dengan : = variable terikat ke-i = variable bebas ke-i
a = intersep titik potong kurva terhadap sumbu Y b = kemiringan slope kurva linear
Diketahui hubungan antara dua atau lebih variable acak. Anggap kasus yang dipilih adalah hubungan antara berat dan tinggi orang, hubungan antara tekanan dan
suhu udara, dan lain-lain. Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variable X dan Y, mula-mula dikumpulkan data X,Y. Anggap X menyatakan tinggi dan Y berat
seorang pria dewasa, maka dipandang , masing-masing
pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama, yaitu kumpulan orang pria dewasa, yang sedang diselidiki.
2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode
Universitas Sumatera Utara
kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung , sedemikian sehingga
jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, maka dinyatakan sebagai berikut:
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung sedemikian rupa sehingga
= terkecil minimum. Caranya ialah dengan membuat turunan parsial partial differensial dari
mula-mula terhadap kemudian
terhadap dan menyamakannya dengan nol.
…2.1
…2.2 Persamaan 2.1 dibagi dengan n
Sehingga Masukkan
ke persamaan 2.2
Universitas Sumatera Utara
Sehingga
2.2.3 Regresi Kuadrat Terkecil
Metode ini didasarkan pada pemilihan sehingga meminimalkan jumlah
kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan. Jumlah dari kuadrat deviasi SSD dari garis adalah
…2.3 Kemudian akan dipilih taksir
sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan 2.3 maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan
mendeferensialkan persamaan 2.3 terhadap dengan menetapkan derivative
parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh …2.4
Dan karenanya …2.5
Dari persamaan 2.5, diperoleh …2.6
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 2.6 disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan 2.6 diperoleh
Dan , dimana dan adalah
dan .
dan yang
diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari dan
. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, ,
yang disebut persamaan prediksi kuadrat terkecil.
2.3 Selang Kepercayaan 2.3.1 Estimasi Tunggal
Suatu Estimasi tunggal pada sebuah parameter populasi adalah nilai tunggal numeric pada sebuah statistik yang berhubungan dengan parameter tersebut. Estimasi tunggal
adalah sebuah pemilihan yang tunggal untuk sebuah nialai parameter populasi yang tidak diketahui. Lebih jelasnya, jika X sebuah variable random dengan distribusi
probabilitas fx, mempunyai parameter θ yang tidak diketahui, dan jika
sebuah sampel random yang besarnya n dari X, maka statistic yang berhubunga dengan
θ disebut estimator θ. Perhatikan bahwa estiamator adalah sebuah variable random yaitu variable yang mempunyai harga dan probabilitas, karena
estimator tersebut merupakan sebuah fungsi data sampel. Setelah sampel dipilih, diperoleh berdasarkan nilai tertentu yang disebut perkiraan tunggal
θ.
Universitas Sumatera Utara
2.3.2 Estimasi Interval
Dalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan memperoleh lebih banyak pengetahuan mengenai populasi dari sampel besar relative dari pada sampel kecil.
Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarakselisih nilai penduga tersebut terhadap nilai
sebenarnya. Itulah sebabnya sering digunakan pendugaan interval selang, yaitu suatu pendugaan berupa interval yang dibatasi dua nilai, yang disebut nilai batas bawah dan
nilai batas atas.
Untuk mendapatkan ukuran ketepatan suatu penaksir a dan b parameter θ yang
diestimasi, yang tidak diketahui nilainya, dengan didasarkan pada informasi sampel, maka
Hal ini menunjukkan peluang selang a dan b memuat θ ialah 1-α. Penaksiran seperti
ini disebut panaksir selang interval estimation untuk θ dengan kepercayaan 1-α.
Misalnya θ adalah parameter yang akan diestimasi berdasarkan hasil penelitian
sampel. Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan, yang diberi symbol 1-
α. Besarnya nilai 1-
α, misalnya atau angka lainnya.
2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multipel Regresi
Untuk mendapatkan koefisien regresi, maka digunakan distribusi t yaitu:
Universitas Sumatera Utara
berdistribusi normal dengan mean dan varians .
merupakan suatu distribusi
dengan derajat kebebasan n-k. Sebab itu, dari definisi distribusi t diperoleh :
Persamaan diatas merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan n-k dimana adalah elemen diagonal dari suatu matriks
.
Untuk menguji hipotesis bahwa , ini menyatakan bahwa
tidak mempunyai hubungan linear terhadap Y, maka perhitungan uji statistiknya yaitu :
2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi
Salah satu tujuan dari estimasi hubungan pada multiple regresi yaitu memungkinkan membuat prediksi dari EY. Andaikan kita mengharapkan nilai X pada periode
n+1 ditunjukkan dengan vector kolom yaitu
Sehingga untuk memprediksi nilai harapan dari yakni
Universitas Sumatera Utara
Karena adalah predictor tak bias linear terbaik dari
. Jadi predictor titik tersebut yakni
karena Dan varians dari
adalah
Sehingga adalah berdistribusi normal yakni
Dengan distribusi t
Dimana
Merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan n-k. Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 1001-
α, maka selang kepercayaan untuk adalah
Dari nilai ramalan sebelumnya yaitu:
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan nilai sebenarnya adalah
Dimana menunjukkan nilai sebenarnya pada periode ramalan. Ketidaksesuaian
antara nilai ramalan dan nilai sebenarnya yaitu:
Sehingga didapat Ed = 0
Karena dan
Dan
Merupakan distribusi dengan derajat kebebasan n-k. Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 1001-
α, maka selang kepercayaan untuk yakni
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
3.1 Multipel Regresi
Multiple regresi adalah analisa regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel predictor atau lebih terhadap satu variabel kriterum. Dapat juga digunakan untuk
membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas X atau lebih dengan sebuah variabel terikat Y.
Bentuk persamaan umum multiple regresi adalah
Y persen
meter per sekon C
molar
42 80
27 89
37 80
27 88
37 75
25 90
28 62
24 87
18 62
22 87
18 62
23 87
19 62
24 93
20 62
24 93
15 58
23 87
14 58
18 80
Universitas Sumatera Utara
Keterangan: = Persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida dalam
persen = Aliran Udara dalam meter per sekon
= Suhu Air Pendingin dalam C
= Konsentrasi Asam dalam molar
Dengan metode ekspektasi kofaktor sepanjang kolom pertama dari A, maka diperoleh determinan A yaitu 6529439
Selanjutnya dihitung kofaktor-kofaktor dari matriks A sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
adalah adjA, sehingga
Untuk memperoleh nilai koefisien , maka
Universitas Sumatera Utara
Persamaan multiple regresinya adalah:
Maka persamaan multiple regresinya adalah:
Universitas Sumatera Utara
42 80
27 89
40.74 1.26
1.59 37
80 27
88 41.06
-4.06 16.44
37 75
25 90
33.64 3.36
11.29 28
62 24
87 21.84
6.16 37.90
18 62
22 87
19.52 -1.52
2.30 18
62 23
87 20.68
-2.68 7.19
19 62
24 93
19.94 -0.94
0.88 20
62 24
93 19.94
0.06 0.003
15 58
23 87
17.12 -2.12
4.47 14
58 18
80 13.53
0.47 0.22
∑ 661
237 881
248 0.00
82.316
Penaksir adalah
Dimana
Maka
Universitas Sumatera Utara
3.2 Penaksir fuzzy
Kategori