10
BAB II KAJIAN TEORI
Kajian teori pada bab ini membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan degan pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan
konkaf, separable programming dan lagrange multiplier, teknik penarikan sampel, saham, teori portofolio, dan kinerja portofolio. Kajian teori dalam penelitian ini
akan digunakan pada bab pembahasan selanjutnya.
A. Pemrograman Linear
Manusia selalu dihadapkan pada pilihan dan pengambilan keputusan. Pada penyelesaian masalah dan pengambilan keputusan banyak sekali yang
berkaitan dengan optimalisasi. Optimalisasi dalam kehidupan manusia memiliki tujuan pada setiap usahanya yaitu memperoleh hasil yang optimum
dengan modal sekecil mungkin B Susanta, 1994:7. Riset operasi digunakan untuk mengalokasikan sumber daya maupun sumber dana yang jumlahnya
terbatas sehingga lebih efektif dan efisien. Pemrograman linear merupakan salah satu teknik yang terdapat pada riset operasi dalam memecahkan
permasalahan untuk mengalokasikan sumber daya yang ada menjadi seoptimal mungkin. Model permasalahan linear secara umum terdiri dari fungsi tujuan
yang berupa persamaan linear atau hasil yang akan dicapai dan beberapa fungsi kendala berupa persedian sumber daya yang ada. Berikut diberikan definisi dari
fungsi dan fungsi linear.
11
Definisi 2.1. Fungsi Purcell, 1987:48. Sebuah fungsi f adalah suatu aturan
korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal fx dari himpunan ke dua.
Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.
Ilustrasi fungsi diberikan pada Gambar 2.1 di bawah ini:
Gambar 2. 1 Fungsi : →
Contoh 2.1
Jika adalah fungsi dengan aturan =
+ dan jika daerah asal dirinci sebagai {-1, 0, 1, 2, 3}, maka daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}.
Definisi 2.2. Fungsi Linear Winston, 2004:52. Fungsi
, , … , merupakan fungsi linear jika dan hanya jika fungsi f dapat dituliskan
, , … , =
+ + … +
dengan , , … , merupakan
konstanta. Masalah pemrograman linear pada dasarnya memiliki ketentuan-
ketentuan berikut ini Winston, 2004:53: 1.
Masalah pemrograman linear berkaitan dengan upaya memaksimumkan pada umumnya keuntungan atau meminimumkan pada umumnya biaya
1 2
3
a b
c
12 yang disebut sebagai fungsi tujuan dari pemrograman linear. Fungsi tujuan
ini terdiri dari variabel-variabel keputusan. 2.
Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaian tujuan yang dirumuskan dalam pemrograman linear. Kendala-kendala ini
dirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala yang terdiri dari variabel-variabel keputusan yang menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas.
3. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk
sebarang , pembatasan tanda menentukan harus non negatif .
4. Memiliki sifat linearitas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan dan
fungsi-fungsi kendala. Pencapaian hasil yang optimal diselesaikan dengan penyelesaian
persoalan secara matematis. Pemecahan persoalan secara matematis tersebut harus memenuhi kriteria sebagai berikut Zulian, 1991:1:
1. Variabel keputusan non-negative
2. Adanya fungsi tujuan objective function dari variabel keputusan dan dapat
digambarkan dalam satu set fungsi linear. 3.
Terdapat kendala atau keterbatasan sumber daya maupun sumber dana yang dapat digambarkan dalam satu set fungsi linear.
Pemrograman linear merupakan salah satu teknik atau metode riset operasi yang digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Hasil tersebut
dapat berbentuk memaksimumkan maupun meminimumkan suatu fungsi tujuan dengan kendala-kendala berupa fungsi linear.
13 Secara umum, masalah pemrograman linear dapat didefinisikan sebagai
berikut Susanta, 1994:6: Mencari
, , … ,
yang memaksimumkanmeminimumkan =
+ + … + 2.1
dengan kendala +
+ … + , =,
2.2a +
+ … + , =,
2.2b
+ + … +
, =, 2.2c
, , … ,
. 2.2d
Masalah pemrograman linear 2.1 dan 2.2 dapat dituliskan ulang sebagai berikut
Mencari , , … ,
yang memaksimumkanmeminimumkan , , … ,
= ∑
=
2.3 dengan kendala
, , … , = ∑
=
, =, , ∀ , = , , … , 2.4a
14 , ∀ , = , , … , .
2.4b Fungsi
pada permasalahan pemrograman linear sebagai fungsi tujuan yang akan dioptimalkan. Persamaan maupun pertidaksamaan kendala
yang menjadi batasan pencapaian fungsi tujuan disebut fungsi kendala utama. Sedangkan syarat nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan
nol disebut kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat
berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan =, lebih kecil atau sama dengan , lebih besar atau
sama dengan , atau kombinasi diantaranya sebagian fungsi kendala bertanda
dan sebagian lainnya bertanda . Penyelesaian masalah
pemrograman linear saat ini dapat diperoleh dengan beberapa metode di antaranya yaitu metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan
menggunakan perangkat lunak komputer QSB, excel, dan matlab.
B. Pemrograman Nonlinear
Kategori