32 Jika adalah himpunan konveks ,
: → adalah fungsi konkaf dan ̅ adalah titik maksimum lokal untuk masalah optimalisasi maka
̅ adalah titik maksimum global dari
pada himpunan . Misalkan
̅ bukan titik maksimum global atau ̅ titik maksimum lokal, maka terdapat
yang memenuhi ̅ . Sebut saja
= ̅ + −
yang merupakan kombinasi konveks dari ̅ dan , untuk [ , ]. Hal
ini mengakibatan , untuk [ , ].
̅ adalah fungsi konkaf dan berdasarkan Definisi 2.6 maka berlaku =
̅ + −
̅ + −
̅ + −
̅ =
̅
untuk setiap [ , ]. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ̅ adalah
maksimum lokal. Dengan demikian haruslah ̅ merupakan titik maksimum
global. Fungsi lagrange merupakan metode penyelesaian masalah optimalisasi
dalam penentuan harga ekstrem, dengan batasan-batasan constrains tertentu Purcell, 1987:303.
1. Satu Pengali Lagrange
Prinsip dalam metode ini adalah mencari harga ekstrem optimal suatu fungsi objektif
, dengan batasan-batasan tertentu yang harus dipenuhi, yaitu
, =
33 Cara penyelesaian:
Membentuk fungsi Lagrange , ,
= ,
+ , .
2.30 Dengan syarat ekstrem:
� �
= ,
� �
= ,
� ��
= . 2.31
Parameter inilah yang disebut pengali Lagrange.
Contoh 2.4
Tentukan nilai minimum dari = + + dengan batasan fungsi
kendala volume =
. Penyelesaian dengan membentuk fungsi lagrange sebagai berikut:
= + +
+ −
Syarat ekstrem yang diperoleh,
� �
= + + = ⇔ =
− +
2.32a
� �
= + + = ⇔ =
− +
2.32b
� �
= + + = ⇔ =
− +
2.32c
Mencari nilai titik kritis, Menggunakan Persamaan 2.32a dan Persamaan 2.32b, diperoleh
− +
=
− +
⇔ +
= +
⇔ = .
34 Selanjutnya dari Persamaan 2.32a dan Persamaan 2.32c, diperoleh
− + =
− +
⇔ +
= +
⇔ = .
Hasil yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke fungsi kendala, sehingga diperoleh:
= ⇔
= ⇔ = ⟹ = dan z = .
2. Lebih dari Satu Pengali Lagrange
Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi , atau
parameter yang lain.
Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrem , , dengan kendala
, , = dan ℎ , ,
= . Cara penyelesaian:
Membentuk fungsi Lagrange , , , ,
= , , +
, , + , , .
2.33 Dengan syarat ekstrem:
� �
= ,
� �
= ,
� �
= ,
� ��
= ,
� ��
= . 2.34
Metode ini dapat diperluas untuk variabel , , … ,
2.35 dengan kendala
∅ , , … ,
, ∅ , , … ,
, … , ∅ , , … ,
. 2.36 Sebagai fungsi Lagrangenya adalah:
35 , , … , , , , … ,
= + ∅ + ∅ + + ∅ . 2.37 Dengan cara penyelesaiannya adalah:
� �
= ,
� �
= , … ,
� �
�
= ,
� � �
= , … ,
� � �
= . 2.38 Dengan
,
,…,
adalah pengali Lagrange.
Fungsi lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan fungsi yang hendak dioptimalkan terhadap hasil kali dengan fungsi kendala, hasilnya
tetap sama. Penyelesaian lagrange multiplier mempunyai kondisi yang harus dipenuhi untuk mendapatkan penyelesaian optimal. Jika masalah maksimalisasi
maka fungsi objektif harus dalam bentuk konkaf dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks, sedangkan jika masalah minimalisasi maka
fungsi objektif harus dalam bentuk konveks dan setiap fungsi kendala berupa
fungsi linear yang konveks Winston, 2004:685. F.
Teknik Penarikan Sampel
Penggunaan metode sampling bertujuan untuk membuat penarikan sampel lebih efisien Cochran, 1977. Teknik penarikan sampel yang paling
sering digunakan adalah teknik penarikan Non-Probability Sampling. Non- Probability Sampling adalah suatu prosedur penarikan sampel yang setiap
anggota populasi tidak memiliki peluang atau kesempatan sama bagi setiap unsur anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel. Sedangkan menurut
Sarwoko 2007 Non-Probability Sampling adalah teknik pengambilan sampel dengan elemen-elemen dalam populasi tidak memilki probalitas-probalitas
36 yang melekat padanya sebagai dasar pengambilan sampel.
Pengambilan sampel didasarkan pada kriteria tertentu.
Salah satu teknik penarikan sampel Non-probability Sampling yaitu dengan menggunakan purposive sampling. Purposive sampling adalah teknik
pengambilan sampel sumber data dengan pertimbangan tertentu Sugiyono, 2010:218. Sedangkan menurut Sugiarto 2003 purposive sampling yaitu
penarikan sampel yang dilakukan untuk suatu tujuan tertentu disengaja.
G. Saham
