19
Definisi 2.5 Fungsi Konveks Bazaraa, 2006:98. Diketahui
: → , dengan S adalah himpunan konveks yang tidak kosong di
. Fungsi fx dikatakan fungsi konveks di S jika
+ −
+ −
untuk setiap ,
dan untuk [ , ].
Definisi 2.6 Fungsi Konkaf Luenberger, 1984:192. Fungsi fx dikatakan
fungsi konkaf jika untuk setiap , , dengan S adalah himpunan konveks
dan setiap [ , ] berlaku
+ −
+ −
.
Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:
D. Separable Programming
1. Pengertian Separable Programming
Separable Programming merupakan salah satu metode dalam penyelesaian pemrograman nonlinear dengan cara mengubah bentuk fungsi
nonlinear menjadi linear yang hanya memuat satu variabel saja. Separable Programming memisahkan fungsi yang berbentuk nonlinear menjadi fungsi-
A B
Konkaf A
B Konveks
Gambar 2. 4 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
20 fungsi dengan variabel tunggal. Misalnya dalam kasus dua variabel fungsi
, dapat dipisahkan menjadi ℎ +
. Suatu fungsi
dapat dikatakan separable apabila fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang hanya
memuat satu variabel, selengkapnya didefinisikan sebagai berikut Bazaraa,
2006:684
̂ = ,
,
… , = +
+ + = ∑
=
2.12 Selanjutnya masalah separable programming pada Persamaan 2.12
dapat ditulis sebagai Masalah P sebagai berikut:
Masalah P
Memaksimalkanmeminimalkan = ∑
=
2.13 dengan kendala
∑
=
, =, , = , , … , 2.14a
; = , , … , . 2.14b
Fungsi pada Persamaan 2.13 sampai dengan Persamaan 2.14b dapat diselesaikan dengan separable programming. Suatu fungsi dapat dikatakan
separable jika fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang memuat satu variabel yang dapat dituliskan sebagai berikut:
= +
+ + 2.15
21 :
+ + +
, =, 2.16a
+ + +
, =, 2.16b
+ + +
, =, 2.16c
dan ,
,
… , .
2.16d Jadi Persamaan 2.15 sampai dengan Persamaan 2.16d adalah
persamaan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang berbentuk separable.
Contoh 2.2
Diberikan pemrograman nonlinear Memaksimumkan
= + −
−
dengan kendala +
+ ,
. Diperoleh masalah separable programming dari fungsi tujuan dan kendala
dari Contoh 2.2 sebagai berikut =
− =
− =
, =
, = , dan
= .
22
Contoh 2.3
Memaksimumkan ,
= +
− −
− +
dengan kendala +
, .
Permasalahan pada fungsi tujuan tidak dapat berbentuk separable, karena terdapat
+ . Diberikan
= + dan bentuk fungsi tujuan dan
kendala dari Contoh 2.3 yang dapat berbentuk separable diperoleh sebagai berikut:
Memaksimumkan , ,
= +
− −
− dengan kendala
+ +
− =
, , .
Fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai =
+ +
, dimana
= −
= −
= − .
23
2. Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong
