23
2. Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong
Penyelesaian dalam masalah separable programming dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode diantaranya adalah metode cutting
plane, pemrograman dinamik, hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, dan lain-lain. Keakuratan dari metode hampiran linear sepotong-sepotong
dipengaruhi oleh banyaknya titik kisi. Ada dua cara dalam hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, yaitu dengan formulasi lambda
dan formulasi delta
Bazaraa, 2006:685. Formulasi lambda merupakan formulasi hampiran setiap titik kisi dengan menggunakan variabel lambda sedangkan
formulasi delta merupakan formulasi hampiran untuk setiap interval di antara titik kisi.
Penelitian ini membahas penyelesaian pemrograman nonlinear dengan menggunakan separable programming hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong lambda. Sebelum membahas mengenai formulasi lambda terlebih dahulu dibahas mengenai ruas garis.
Didefinisikan merupakan fungsi nonlinear yang kontinu, dengan
pada interval [a,b]. Akan didefinisikan fungsi linear sepotong-sepotong ̂ yang merupakan hampiran fungsi pada interval [a,b]. Selanjutnya interval [a,b]
dipartisi menjadi interval-interval yang lebih kecil, dengan titik kisi grid pont = ,
,
… , = . Pada Gambar 2.5 titik-titik kisi tidak harus mempunyai
jarak yang sama. Berikut diberikan definisi ruas garis untuk menjelaskan
hubungan antara dua titik kisi.
24
Definisi 2.7 Ruas Garis Bazaraa, 2006:684. Diberikan
̅ , ̅ . Himpunan = { ̅| ̅ = ̅ +
− ̅ ,
} disebut ruas garis yang menghubungkan
̅ dan ̅ . Gambar 2.5 fungsi linear sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi
nonlinear pada interval [ ,
+
] dengan lima titik kisi.
Gambar 2. 5 Fungsi Linear Sepotong-Sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Lima Titik Kisi
Misalkan merupakan titik kisi pada ruas garis yang menghubungkan dengan
+
, berdasarkan Definisi 2.7 dapat dituliskan sebagai berikut =
+ −
+
untuk [ , ].
2.17 Berdasarkan Persamaan 2.17, fungsi
dapat dihampiri oleh interval
dan
+
dengan cara berikut ̂
= +
−
+
. 2.18
Pada Gambar 2.6 untuk sembarang fungsi didefinisikan pada interval [a,b], maka selanjutnya interval dipartisi menjadi beberapa titik kisi dengan titik
kisi = ,
,
… , = . Pada
dihampiri oleh ̂ , dihampiri
̂ , dihampiri ̂
dan seterusnya. Titik-titik kisi tidak harus mempunyai jarak yang sama.
=
1 +
1
= x
25 =
1 2
+1
=
k
Gambar 2. 6 Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Formulasi Lambda
Secara umum hampiran linear dari fungsi fx untuk titik-titik kisi ,
,
… , didefinisikan sebagai berikut ̂
= ∑
=
, ∑
=
= , .
2.19 Dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan 2.17 yaitu
= ∑
=
, untuk = , , , … , 2.20
dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua
,
+
tidak nol dan berdampingan. Secara umum, dalam setiap dua titik kisi diperoleh satu hampiran
sehingga total dari semua hampiran tersebut merupakan hampiran untuk fungsi nonlinear tersebut. Masalah pengoptimuman yang menghampiri masalah P
dapat dilakukan dengan mengganti fungsi dan
yang nonlinear dengan fungsi linear sepotong-sepotong.
Didefinisikan = { |
ℎ = , , … , }.
Didefinisikan titik-titik kisi untuk
= , , … , pada interval [ , ] dengan
, untuk setiap
.
̂ ̂
̂
26 Berdasarkan Persamaan 2.19 dengan titik-titik kisi
fungsi pada Persamaan 2.13 dan
pada Persamaan 2.14a serta Persamaan 2.14b, untuk
dengan = , , … , ;
, maka diperoleh hampiran-hampiran linearnya yaitu
̂ = ∑
=
2.21 ̂ = ∑
=
= , , … , ; 2.22a
Dengan ∑
=
= 2.22b
= , , … , 2.22c
dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan 2.20 yaitu
= ∑
=
. 2.23
Untuk mempermudah penulisan, hampiran Masalah P ditulis dengan Masalah AP. Berdasarkan Persamaan 2.21, Masalah AP dapat didefinisikan
sebagai berikut Bazaraa, 2006:686
Masalah AP
Memaksimumkanmeminimumkan = ∑
�
+ ∑ ̂
�
2.24 Terhadap kendala
∑
�
+ ∑ ̂
�
, =, , = , , … ,
2.25a untuk
= , , … , . 2.25b
Perhatikan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala pada masalah AP adalah fungsi linear sepotong-sepotong.
27 Berdasarkan Persamaan 2.21 sampai dengan Persamaan 2.22c,
Masalah AP pada Persamaan 2.24 sampai dengan 2.25b dapat ditulis ulang sebagai masalah LAP sebagai berikut
Masalah LAP
Memaksimumkanmeminimumkan = ∑
�
+ ∑ ∑
= �
2.26 Terhadap kendala
∑
�
+ ∑ ∑
= �
, =, , = , , … ,
2.27a ∑
=
= 2.27b
= , , … , 2.27c
dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua
,
+
tidak nol dan berdampingan. Pada fungsi tujuan dan kendala dari Persamaan 2.26 sampai dengan
2.27c disebut sebagai Masalah LAP yang berbentuk linear. Oleh karena itu, Masalah LAP dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa. Penelitian ini
menyelesaian pemrograman linear menggunakan metode simpleks biasa dengan bantuan Excel Solver. Mendapatkan penyelesaian optimal dengan
metode simpleks pada masalah maksimasi dalam bentuk separable programming harus memenuhi syarat bahwa setiap
harus konkaf dan
28 setiap
adalah konveks, sedangkan pada masalah minimasi harus
konveks dan setiap adalah konveks Winston,2004 :714.
Pada penyelesaian separable programming berlaku sebagai berikut:
Teorema 2.1 Bazaraa, 2006:689. Jika
= ∑
=
untuk merupakan penyelesaian layak pada Persamaan 2.26 sampai dengan
Persamaan 2.27, maka , = , , , … juga merupakan penyelesaian layak
pada Persamaan 2.13-2.14. Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.5, karena konveks dengan
untuk setiap =
, , , … dan untuk dengan , = , , , … , diperoleh
= ∑
�
+ ∑
�
= ∑
�
+ ∑
�
∑
=
= ∑
�
+ ∑
�
+ +
+ +
∑
�
+ ∑
+ +
+ +
= ∑
�
+ ∑ ∑
= �
.
29 Untuk
= , , , … selanjutnya untuk
dan =
∑
=
untuk j , karena
, ;
= , , , … ; . Jadi
terbukti merupakan penyelesaian yang layak pada Persamaan 2.13-2.14. E.
Lagrangre Multiplier
Sebelum membahas mengenai metode lagrangre multiplier terlebih
dahulu dibahas mengenai turunan parsial dan titik kritis. Definisi 2.8 Purcell, 1987. Jika
= , terdefinisi dalam domain D di
bidang XY, sedangkan turunan pertama f terhadap x dan y di setiap titik x,y ada, maka
Turunan pertama di adalah
� �
=
∆ → +∆ , −
, ∆
.
Turunan pertama di y adalah
=
∆ →
, + ∆ − ,
∆ .
Dapat dinotasikan sebagai
� �
=
� ,
�
= ,
� �
=
� ,
�
= , .
30 Turunan parsial fungsi
variabel, diberikan fungsi variabel dari
, , , … , dengan persamaan = , ,
,
… , , maka turunan-
turunan parsialnya yaitu: =
, =
,
= , … ,
=
�
.
Diberikan untuk fungsi tiga variabel dari x, y, z dengan persamaan =
, , , maka turunan-turunan parsialnya yaitu:
= , , ,
= , , ,
= , , .
Turunan parsial derajat dua, notasi turunan parsial derajar dua fungsi =
, dinyatakan dalam simbol- simbol berikut:
� �
=
� �
� �
= =
=
� �
� �
= =
= =
= =
= =
= =
= =
.
Teorema 2.2 Titik Kritis Purcell, 2010:248. Andaikan fungsi f didefinisikan
pada selang I yang memuat titik c. Jika fc adalah nilai ekstrem, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari:
a. Titik ujung dari I
b. Titik stasioner dari f, f’c=0 atau
c. Titik singular dari f, f’c tidak ada.
31 Bukti:
Dengan berupa nilai maksimum f pada I, maka
untuk semua x dalam I, yaitu
− .
Jika sehingga − , maka
− −
2.28
Sedangkan jika , maka
− −
2.29
Akan tetapi,
′
ada karena bukan titik singular. Akibatnya, apabila →
−
dalam Persamaan 2.28 dan →
−
dalam Persamaan 2.29, maka diperoleh
′
dan
′
. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
′
= . Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan sebagai
maksimum atau minimum lokal.
Teorema 2.3 Hillier, 2001:664. Jika adalah fungsi konkaf, maka titik
kritis dari fungsi tersebut pasti merupakan maksimum global. Bukti:
Perhatikan masalah optimalisasi berikut Maksimum
Dengan kendala
32 Jika adalah himpunan konveks ,
: → adalah fungsi konkaf dan ̅ adalah titik maksimum lokal untuk masalah optimalisasi maka
̅ adalah titik maksimum global dari
pada himpunan . Misalkan
̅ bukan titik maksimum global atau ̅ titik maksimum lokal, maka terdapat
yang memenuhi ̅ . Sebut saja
= ̅ + −
yang merupakan kombinasi konveks dari ̅ dan , untuk [ , ]. Hal
ini mengakibatan , untuk [ , ].
̅ adalah fungsi konkaf dan berdasarkan Definisi 2.6 maka berlaku =
̅ + −
̅ + −
̅ + −
̅ =
̅
untuk setiap [ , ]. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ̅ adalah
maksimum lokal. Dengan demikian haruslah ̅ merupakan titik maksimum
global. Fungsi lagrange merupakan metode penyelesaian masalah optimalisasi
dalam penentuan harga ekstrem, dengan batasan-batasan constrains tertentu Purcell, 1987:303.
1. Satu Pengali Lagrange