14 , ∀ , = , , … , .
2.4b Fungsi
pada permasalahan pemrograman linear sebagai fungsi tujuan yang akan dioptimalkan. Persamaan maupun pertidaksamaan kendala
yang menjadi batasan pencapaian fungsi tujuan disebut fungsi kendala utama. Sedangkan syarat nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan
nol disebut kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat
berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan =, lebih kecil atau sama dengan , lebih besar atau
sama dengan , atau kombinasi diantaranya sebagian fungsi kendala bertanda
dan sebagian lainnya bertanda . Penyelesaian masalah
pemrograman linear saat ini dapat diperoleh dengan beberapa metode di antaranya yaitu metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan
menggunakan perangkat lunak komputer QSB, excel, dan matlab.
B. Pemrograman Nonlinear
Banyak kasus dalam penyelesaian masalah optimalisasi yang modelnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Model yang berkaitan dengan
bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, pada sebagian atau seluruh fungsi tersebut merupakan fungsi nonlinear. Fungsi nonlinear dapat berbentuk fungsi
kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain-lain. Pemrograman nonlinear merupakan salah satu teknik dari riset operasi
untuk menyelesaikan permasalahan optimalisasi dengan fungsi tujuan yang
15 berbentuk nonlinear dan fungsi kendala berbentuk nonlinear atau linear
Bazaraa, 2006:1. Memilih variabel keputusan
, , … , dari daerah layak yang diberikan untuk mengoptimasi maksimum atau minimum fungsi tujuan yang
diberikan. Daerah layak adalah himpunan dari nilai-nilai , , … ,
yang memenuhi sejumlah m kendala. Permasalahan pemrograman nonlinear secara
umum dapat didefinisikan sebagai berikut Bradley, 1976 Memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan
, , , … , 2.5
Pemrograman nonlinear bentuk memaksimumkan atau meminimumkan dapat ditulis sebagai berikut:
MemaksimumkanMeminimumkan , , , … ,
2.6 dengan kendala
, , … , , =,
2.7a , , … ,
, =, 2.7a
, , … , , =,
. 2.7b
Batasan non negatif pada variabel dapat dengan menambahkan kendala non negatif sebagi berikut:
, , … ,
. 2.8
16 Persamaan 2.6 sampai dengan Persamaan 2.8 dapat dituliskan dalam
bentuk masalah optimalisasi yang lebih sederhana sebagai berikut: MemaksimumkanMeminimumkan
, , , … , 2.9
dengan kendala , =,
, ∀ = , , , … , 2.10a
, ∀ = , , , … , . 2.10b
Jika permasalahan tidak dapat dimodelkan dalam pemrograman linear maka permasalahan berbentuk pemrograman nonlinear. Terdapat beberapa hal
yang menyebabkan
sifat ketidaklinearan.
Permasalahan berbentuk
pemrograman nonlinear dengan fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Sebagai contoh dalam suatu
perusahaan besar yang kemungkinan menghadapi elastisitas harga atau banyak barang yang dijual berbanding terbalik dengan harganya. Artinya semakin
sedikit produk yang dihasilkan maka semakin mahal harganya. Oleh karena itu, kurva harga permintaan akan terlihat seperti kurva dalam Gambar 2.2, dengan
adalah harga yang ditetapkan agar terjual x satuan barang. Jika biaya satuan untuk memproduksi barang tersebut adalah konstan yaitu c, maka
keuntungan perusahaan tersebut dalam memproduksi dan menjual satuan barang akan dinyatakan oleh fungsi nonlinear berikut Hillier , 2001:655
� =
− . 2.11
Gambar 2.3 terlihat misalkan setiap produk dari x jenis produknya mempunyai fungsi keuntungan yang serupa, didefinisikan
� untuk
17 produksi dan penjualan satuan dari produk dimana
= , , … , , maka secara lengkap fungsi tujuannya yaitu
= ∑ �
=
merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi nonlinear.
Alasan lain yang menyebabkan sifat ketidaklinearan muncul pada fungsi tujuan, disebabkan oleh kenyataan bahwa biaya tambahan biaya marginal
c
Biaya Satuan
Permintaan
x P x
x P x
Banyak Barang
Px=x [px - c]
Gambar 2. 2 Kurva Harga Permintaan
Gambar 2. 3 Fungsi Keuntungan
18 untuk memproduksi satu satuan barang tergantung pada tingkat produksi.
Sebagai contoh, biaya marginal akan turun apabila tingkat produksi naik. Di lain pihak, biaya marginal dapat saja naik karena dalam ukuran tertentu, seperti
fasilitas lembur atau harga barang mahal, sehingga perlu menaikkan produksi. Sifat ketidaklinearan dapat juga muncul pada fungsi kendala
dengan cara yang sama. Sebagai contoh, apabila terdapat kendala anggaran dalam biaya produksi total, maka fungsi biaya akan menjadi nonlinear
jika biaya marginal berubah. Kendala akan berbentuk nonlinear apabila
terdapat penggunaan yang tidak sebanding antara sumber daya dengan tingkat
produksi dari masing-masing produksi. C.
Fungsi Konveks dan Konkaf
Konsep konveks merupakan hal yang penting dalam permasalahan optimalisasi Bazaraa, 2006:39.
Definisi 2.3 Luenberger, 1984. Misalkan
, . Titik-titik dengan bentuk +
− untuk
[ , ] disebut kombinasi konveks dari dan .
Definisi 2.4 Bazaraa, 2006:40. Himpunan S yang tidak kosong di
adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan dua titik berada
dalam himpunan. Dengan kata lain, jika ,
maka +
− juga anggota S untuk
[ , ].
19
Definisi 2.5 Fungsi Konveks Bazaraa, 2006:98. Diketahui
: → , dengan S adalah himpunan konveks yang tidak kosong di
. Fungsi fx dikatakan fungsi konveks di S jika
+ −
+ −
untuk setiap ,
dan untuk [ , ].
Definisi 2.6 Fungsi Konkaf Luenberger, 1984:192. Fungsi fx dikatakan
fungsi konkaf jika untuk setiap , , dengan S adalah himpunan konveks
dan setiap [ , ] berlaku
+ −
+ −
.
Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:
D. Separable Programming
