Garis h ini berimpit dengan garis g, sehingga haruslah dipenuhi persamaan berikut.
R C
By Ax
Q B
y P
A x
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
Dari persamaan ini, nilai
1
x dan
1
y dapat ditentukan, sehingga kutub dari garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan pula.
G. Kuasa Suatu Titik
Pada gambar berikut, titik ,
1 1
y x
T terletak di luar lingkaran L.
A
1
B
2
A
2
B
3
P A
3
,
1 1
y x
T A
4
Gambar IV.5
Melalui ,
1 1
y x
T ditarik garis-garis yang memotong lingkaran. Misal titik-titik potong
ini adalah A
i
dan B
i
. Berdasarkan teorema pada geometri, berlaku
4 4
3 3
2 2
2 1
xTB TA
xTB TA
xTB TA
TA
, dan seterusnya. Perhatikan bahwa
2 2
3 3
r TP
r rTP
TP xTB
TA
Nilai
2 2
r TP
didefinisikan sebagai kuasa titik ,
1 1
y x
T terhadap lingkaran LP, r.
4
B
Jika persamaan lingkaran L P, r itu adalah L: x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 dengan pusat P
B A
2 1
, 2
1
dan kuadrat jari-jari
C B
A r
2 2
2
4 1
4 1
. Kuasa titik ,
1 1
y x
T terhadap lingkaran LP, r adalah
2 2
r TP
=
2 2
1 2
1
2 1
2 1
r B
y A
x
atau .
Perhatikan bahwa kuasa titik ,
1 1
y x
T terhadap lingkaran L: x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 dapat diperoleh dengan cara menggantikan x dan y pada persamaan lingkaran itu dengan
1
x dan
1
y . Dengan memperhatikan definisinya, coba selidiki bagaimanakah nilai tanda kuasa
titik T pada lingkaran jika T di luar lingkaran, terletak pada lingkaran, atau di dalam lingkaran.
H. Garis Kuasa
Misal diketahui dua buah lingkaran. Pikirkan suatu titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran tersebut. Himpunan tempat kedudukan titik-titik yang demikian,
yakni mempunyai kuasa yang sama terhadap dua lingkaran tertentu disebut garis kuasa kedua lingkaran
itu. Misal diketahui dua lingkaran sebagai berikut. :
1
L
1 1
1 2
2
C
y B
x A
y x
dan :
2
L
2 2
2 2
2
C
y B
x A
y x
C By
Ax y
x
1 1
2 1
2 1
Jika titik ,
1 1
y x
T mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran
1
L dan
2
L , maka dipenuhi persamaan berikut.
1 1
1 1
1 2
1 2
1
C y
B x
A y
x
=
2 1
2 1
2 2
1 2
1
C y
B x
A y
x
atau
2 1
1 2
1 1
2 1
C C
y B
B x
A A
Hal ini akan berlaku pada setiap titik yang kuasanya terhadap kedua lingkaran itu sama. Dengan demikian, garis kuasa yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang
mempunyai kuasa yang sama terhadap lingkaran
1
L dan
2
L adalah sebagai berikut.
Karena secara simbolis lingkaran dapat dinyatakan sebagai L x, y = 0 atau Lx, y =
2 2
2 2
2
C
y B
x A
y x
, maka kuasa titik ,
1 1
y x
T terhadap lingkaran
Lx, y dapat ditulis dengan Lx
1
, y
1
. Jadi persamaan garis kuasa lingkaran L
1
x, y = 0 dan L
2
x, y = 0 dapat ditulis sebagai berikut.
Perhatikan bahwa garis kuasa mempunyai gradien m
1
=
2 1
2 1
B B
A A
. Titik pusat
lingkaran
1
L dan
2
L berturut-turut adalah P
1
1 1
2 1
, 2
1 B
A
dan P
2
2 2
2 1
, 2
1 B
A
. Gradien garis sentral atau garis penghubung kedua pusat lingkaran ini adalah
m
2
=
2 1
2 1
A A
B B
. Karena m
1
.m
2
= -1, maka garis kuasa dua buah lingkaran akan tegak lurus dengan garis sentral penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut.
g:
2 1
2 1
2 1
C C
y B
B x
A A
L
1
x, y – L
2
x, y = 0 atau L
1
– L
2
= 0
Gambar IV.6 Bagaimana kedudukan garis kuasa dua buah lingkaran jika kedua lingkaran tersebut
berpotongan atau bersinggunga? Apakah garis kuasanya memotong kedua lingkaran?
I. Titik Kuasa
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua lingkaran adalah suatu garis lurus. Jadi kalau ada tiga buah lingkaran, akan terdapat sebuah
titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran tersebut. Titik yang demikian disebut titik kuasa. Perhatikan Gambar IV.7 berikut ini.
Gambar IV.7
1
P
2
P
g: L
1
– L
2
= 0
L
1
L
2
L
1
– L
2
= 0
L
1
– L
3
= 0 L
2
– L
3
= 0
K
M
1
M
2
M
3
Titik K adalah suatu titik yang kuasanya terhadap L
1
= 0 dan L
2
= 0 sama, karena K terletak pada L
1
– L
2
= 0. K mempunyai kuasa yang sama pula terhadap L
2
= 0 dan L
3
= 0, karena K terletak pada L
2
– L
3
= 0. Jadi K mempunyai kuasa yang sama terhadap L
1
= 0, L
2
= 0, dan L
3
= 0 dan disebut titik kuasa ketiga lingkaran tersebut. Persamaan titik kuasa dapat ditulis secara
simbolis sebagai berikut.
Contoh
Tentukan koordinat-koordinat dari titik kuasa lingkaran-lingkaran berikut ini. L
1
= x
2
+ y
2
+ x + y – 14 = 0, L
2
= x
2
+ y
2
= 13, dan L
3
= x
2
+ y
2
+ 3x – 2y – 26 = 0. Penyelesaian
L
1
– L
2
= 0, didapat x + y – 1 = 0 L
3
– L
2
= 0, didapat 3x – 2y – 13 = 0 Dari kedua persamaan itu didapat x = 3 dan y = -2. Sehingga titik kuasa ketiga
lingkaran itu adalah K3, -2.
J. Dua Lingkaran yang Berpotongan
