D. Garis Singgung
1. Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Titik Singgung Tertentu
g Y
O X
2 2
2
r y
x
Gambar IV.2
Misal ,
1 1
y x
T adalah titik singgung pada lingkaran. Garis singgung g yang melalui
,
1 1
y x
T berbentuk y – y
1
= mx – x
1
. Karena garis singgung ini tegak lurus dengan jari- jari OT , maka nilai gradien garis singgung ini adalah
1 1
y x
m
. Sehingga persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
1 1
1 1
x x
y x
y y
atau
2 1
2 1
1 1
y x
yy xx
…………………. Karena titik
,
1 1
y x
T terletak pada lingkaran, maka dipenuhi
2 2
1 2
1
r y
x
. Dengan
demikian persamaan garis singgung pada lingkaran
2 2
2
r y
x
dengan titik singgung
,
1 1
y x
T adalah:
Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada lingkaran
2 2
2
r b
y a
x
dengan titik singgung T
1 1
, y x
adalah:
2 1
1
r b
y b
y a
x a
x
2 1
1
r yy
xx
Tx
1
,y
1
2. Garis Singgung Pada lingkaran dengan Gradien yang telah ditentukan.
Persamaan garis lurus dengan gradien m dinyatakan dengan g: y = mx + n. Jika garis ini dipotongkan dengan lingkaran L:
2 2
2
r y
x
, didapat
x
2
+ mx + n
2
= r
2
atau m
2
+ 1x
2
+ 2mnx + n
2
– r
2
= 0…………….. Ini adalah persamaan kuadrat dalam x. Garis g akan menyinggung lingkaran
L:
2 2
2
r y
x
bila diskriminan persamaan adalah nol, yakni
D = 1
4 4
2 2
2 2
2
r n
m n
m
= 4
2 2
2 2
r m
r n
= 0
atau n =
1
2
m r
atau
2
1 m n
r
Dengan mensubtitusikan nilai r ini ke persamaan garis g, akan diperoleh persamaan garis singgung pada lingkaran L:
2 2
2
r y
x
dengan gradien m, yakni:
Sebagai latihan, dengan cara serupa, tunjukkan bahwa persamaan garis singgung pada lingkaran
2 2
2
r b
y a
x
dengan gradien m adalah:
1
2
m
r mx
y
1
2
m
r a
x m
a y
3. Garis Singgung dari Suatu Titik di luar lingkaran
Gambar IV.3
Misal titik ,
1 1
y x
T adalah titik di luar lingkaran dan
, y
x S
adalah titik singgung pada lingkaran. Persamaan garis singgung yang elalui
, y
x S
adalah:
2
r yy
xx
……………………. i Garis singgung ini melalui
,
1 1
y x
T , sehingga berlaku
2 1
1
r y
y x
x
………………….. ii Karena
, y
x S
terletak pada lingkaran
2 2
2
r y
x
, maka dipenuhi
2 2
2
r y
x
……………………. iii
Dengan menyelesaikan persamaan ii dan iii akan didapat nilai x dan
y . Setelah nilai
x dan y ini disubtitusikan ke persamaan i, akan diperoleh persamaan garis singgung
pada lingkaran
2 2
2
r y
x
yang melalui titik
,
1 1
y x
T . Ada berapa garis singgung yang
diperoleh? ,
1 1
y x
T
2 2
2
r y
x
, y
x S
E. Garis Kutub
Kategori