E. Garis Kutub
Gambar IV. 4
Dari titik ,
1 1
y x
T dibuat garis-garis singgung pada lingkaran L: x
2
+ y
2
= r
2
. Misal titik-titik singgung pada lingkaran itu adalah S
1
x , y
dan S
2
, y
x
o
.
Persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan titik-titik singgung S
1
dan S
2
adalah
1
g :
2
r yy
xx
dan
2
g :
2
r yy
xx
Garis-garis singgung
1
g dan
2
g melalui ,
1 1
y x
T , sehingga berlaku persamaan berikut.
2 1
1
r y
y x
x
……………………. i
2 1
1
r y
y x
x
………………….. ii Pada persamaan i dan ii, tampak bahwa koordinat titik-titik S
1
dan S
2
memenuhi persamaan berikut.
g :
2 1
1
r y
y x
x
2 2
2
r y
x
,
1 1
y x
T
,
1
y x
S
,
2
y x
S
g
1
g
2
g O
Ini adalah persamaan garis yang melalui titik-titik singgung S
1
dan S
2
dan disebut tali busur singgung. Perhatikan bahwa persamaan tali busur singgung g bentuknya sama
dengan persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan titik singgung T. Oleh karena itu, tanpa melihat letak titik T di dalam, diluar, atau pada lingkaran, maka persamaan
persamaan garis kutub titik ,
1 1
y x
T terhadap lingkaran L: x
2
+ y
2
= r
2
adalah:
Dari uraian di atas, didapat, jika ,
1 1
y x
T di luar lingkaran, maka garis kutub g
merupakan tali busur singgung. Coba selidiki bagaimana kedudukan garis kutub ini jika ,
1 1
y x
T terletak pada lingkaran atau di dalam lingkaran.
Sebagai latihan, dengan cara serupa, coba tunjukkan bahwa persamaan garis kutub Px
1
,y
1
terhadap lingkaran
2 2
2
r b
y a
x
adalah
2 1
1
r b
y b
y a
x a
x
Tunjukkan juga bahwa persamaan garis kutub dari titik
,
1 1
y x
T terhadap lingkaran
L: x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 adalah
F. Menentukan Kutub dari Suatu Garis Lurus
Misal diketahui sebuah lingkaran
L: x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0
dan sebuah garis g: Px + Qy + R = 0. Misal kutub garis g adalah
,
1 1
y x
T , maka persamaan garis kutub
,
1 1
y x
T terhadap lingkaran L adalah
h:
2 1
2 1
1 1
1 1
C
y y
B x
x A
yy xx
g:
2 1
1
r y
y x
x
2 1
2 1
1 1
1 1
C
y y
B x
x A
yy xx
Garis h ini berimpit dengan garis g, sehingga haruslah dipenuhi persamaan berikut.
R C
By Ax
Q B
y P
A x
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
Dari persamaan ini, nilai
1
x dan
1
y dapat ditentukan, sehingga kutub dari garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan pula.
G. Kuasa Suatu Titik