PENGGUNAAN L U DAN ELIMINASI GAUSS JORDA
PENGGUNAAN L U DAN ELIMINASI GAUSS – JORDAN
PADA SISTEM LINEAR
Purwantini
Dosen Teknik Sipil Universitas 17 Agustus 1945 Semarang
ABSTRAK
Dekomposisi Lower Upper (Dekomposisi L U) merupakan perluasan dari Eliminasi Gauss –
Jordan.
Dekomposisi L U dan Eliminasi Gauss – Jordan digunakan untuk menentukan harga x pada
sistem linear.
Kata Kunci :
Eliminasi Gauss – Jordan, Dekomposisi LU
PENDAHULUAN
Sistem linear dapat diselesaikan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara
sistematis dengan menggunakan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss – Jordan.
Pendekatan yang lain didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali
matriks segitiga bagian basah (L) dan matriks segitiga bagian atas (U).
Sistem Linear n persamaan dalam n bilangan tak diketahui dapat dipecahkan dengan
memfaktorkan matriks koefisien matriks A yang berukuran n x n dapat difaktorkan sebagai :
A=LU
Dengan L adalah Matriks Segitiga Bawah
dan U adalah Matriks Segitiga Atas
Matriks A yang berukuran n x n direduksi menjadi bentuk eselon baris U dengan urutan
operasi baris elementer.
Matriks Elementer E1, E2, …, Ek sedemikian sehingga :
Ek … E2 E1 A = U
A = E1-1 E2-1… Ek-1 U
Matriks L didefinisikan sebagai :
L = E1-1 E2-1 … Ek-1
dengan L merupakan Matriks Segitiga Bawah
PEMBAHASAN MASALAH
Dekomposisi L U
Eliminasi Gauss – Jordan
- Bentuk Matriks n x n
- Bentuk Matriks n x n
- Tidak bisa tukar baris
- Boleh tukar baris
- Persamaan : A x = b; b ≠ 0
- Persamaan : A x = b; b ≠ 0
- Langkah-langkah :
- Langkah-langkah :
Cari matriks U
Matriks A dibawa ke bentuk eselon
Cari matriks L
baris tereduksi, maka A berbentuk
Ax=b
matriks Identitas.
LUx=b
Untuk U x = y, maka Ly = b
Diperoleh harga :
Harga yi, i = 1, 2, 3, …
Untuk U x = y
Diperoleh harga :
Harga xi, i = 1, 2, 3, …
Diberikan sistim linear berbentuk :
2x1 – 2x2 – 2x3 = -4
– 2x2 + 2x3 = -2
-x1 + 5x2 + 2x3 = 6
Carilah harga-harga x dengan menggunakan :
a. Eliminasi Gauss – Jordan
b. Dekomposisi L U
Penyelesaian :
a. Eliminasi Gaus – Jordan
2
0
-1
¿
-2
-2
5
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
-2
2
2
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
-4
-2
6
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
2
0
-1
-2
-2
5
[
¿
-2
2
2
-4
-2
6
¿
righ
¿
¿
¿
¿] [ ¿ ] ¿
b1 b 2
;
2 -2
1
0
-1
∞
¿
-1
1
5
¿
-1
-1
2
¿
b011 + b-1
21
-2
1
6
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
0
-1
-1
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
4
b3 −4 b2
∞
¿
¿
¿
b1 +2b 3
∞
1
0
0
b3 +b1
0
1
0
-2
-2
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
-1
1
0
1
0
0
b3
5
¿
∞
0
1
0
-2
-2
1
-1
1
0
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
¿
b2 +2b 3
1
0
0
∞
¿
0
1
0
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
Jadi : x1 = -1; x2 = 1; x3 = 0
b. Dekomposisi L U
Langkah-langkah :
(i) Carilah Matriks U, Matriks L
Dicek bahwa :
(ii) A = L U (dicek)
(iii)A x = b
LUx=b
⇒
Ux=y
Ly=b
diperoleh harga yi, i = 1, 2, 3, …
⇒
Ux=y
2
0
-1
(i) A =
¿
diperoleh harga xi, i = 1, 2, 3, …
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
;x=
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
-4
-2
6
;b=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
A x=b
2
0
-1
¿
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
=
-4
-2
6
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
Reduksi Menjadi
Matriks Elementer
Invers Matriks
Bentuk Eselon Baris
yang bersesuaian
Elementer
dengan operasi baris
-1
1
0
-2
1
4
2
0
-1
¿
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
1
2
0
0
¿
1
0
-1
¿
-1
-1
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [¿] ¿
⇒
2
0
0
¿
¿
1
0
-1
¿
-1
-1
1
-1
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
⇒
1
0
0
¿
¿
1
0
0
¿
1
0
0
¿
⇒
-1
-1
1
-1
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
1
0
-1
¿
¿
⇒
-1
-1
1
-1
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
¿
1
0
0
¿
-1
-1
1
-1
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
1
0
0
Jadi, U =
¿
⇒
1
0
0
¿
E1 =
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
E2 =
¿
0
0
-2
0
0
1 1
¿
0
righ
1
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
E3 =
0
1
0
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
0
1
4
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
0
0
1
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
-1
-1 ¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
-1
0 ¿ 1
¿
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
L = E1-1 E2-1 …. Ek-1
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
⇒
¿
0
0
1
0
-2
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
0
1
0
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
0
0
1
0
-4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
1
0
0
¿
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
E1-1 =
⇒
E2-1 =
⇒
E3-1 =
⇒
E4-1 =
⇒
E5-1 =
0
0
1
¿
1
0
¿
E5 =
0
0
0
1
¿
E4 =
0
0
0
1
5
2
0
0
L
=
1
0
0
¿
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
-1
¿
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
¿
¿
¿
L=
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
-1
¿
¿
2
0
-1
L=
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
L=
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
0
¿
¿
2
0
-1
¿
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
L=
Jadi L =
¿
0
0
-2
0
4
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
(ii) Dicek bahwa : A = L U
2
0
-1
¿
2
0
-1
¿
0
0
-2
0
4
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
= A (Terbukti)
(iii) a) L y = b
1
0
0
¿
-1
-1
1
-1
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
1
0
0
¿
¿
¿
2
0
-1
1
0
0
¿
2
0
-1
=
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
2
0
0
LU=
1
0
0
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
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4
5
¿
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¿
¿
¿
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¿
2
0
-1
¿
0
-2
4
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
0
0
5
y1
y2
y3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
¿
-4
-2
6
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
2 y1 = -4
-2y2 = -2
- y1 + 4y2 + 5y3 = 6
y1 = -2
y2 = 1
2 + 4 + 5y3 = 6
5y3 = 0
y3 = 0
b) U x = y
1
0
0
¿
-1
-1
1
-1
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿] ¿
¿
-2
1
0
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
x1 – x2 – x3 = -2
x2 – x3 = 1
x1 – 1 – 0 = -2
x2 – 0 = 1
x1 = -2 + 1
x3 = 0
x2 = 1
x1 = -1
Jadi x1 = -1
x2 = 1
x3 = 0
KESIMPULAN :
1. Dekomposisi L U merupakan perluasan Eliminasi Gaus – Jordan
2. Harga-harga x yang diperoleh sama, baik dengan Dekomposisi L U maupun Eliminasi
Gauss – Jordan dengan syarat :
a) Bentuk Matriks n x n
b) Elemen Diagonal ¿
0
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1988. Aljabar Linier Elementer (terjemahan). Edisi Kelima.
Jakarta :
Erlangga.
Ayres Jr., Frank. 1994. Teori dan Soal-soal Matriks (terjemahan). Cetakan Keempat. Jakarta :
Erlangga.
Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linear dengan Penerapannya (terjemahan). Cetakan
Pertama. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama.
Surjadi, P. A. 1982. Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik. Cetakan Ketiga. Jakarta :
Djambatan.
PADA SISTEM LINEAR
Purwantini
Dosen Teknik Sipil Universitas 17 Agustus 1945 Semarang
ABSTRAK
Dekomposisi Lower Upper (Dekomposisi L U) merupakan perluasan dari Eliminasi Gauss –
Jordan.
Dekomposisi L U dan Eliminasi Gauss – Jordan digunakan untuk menentukan harga x pada
sistem linear.
Kata Kunci :
Eliminasi Gauss – Jordan, Dekomposisi LU
PENDAHULUAN
Sistem linear dapat diselesaikan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara
sistematis dengan menggunakan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss – Jordan.
Pendekatan yang lain didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali
matriks segitiga bagian basah (L) dan matriks segitiga bagian atas (U).
Sistem Linear n persamaan dalam n bilangan tak diketahui dapat dipecahkan dengan
memfaktorkan matriks koefisien matriks A yang berukuran n x n dapat difaktorkan sebagai :
A=LU
Dengan L adalah Matriks Segitiga Bawah
dan U adalah Matriks Segitiga Atas
Matriks A yang berukuran n x n direduksi menjadi bentuk eselon baris U dengan urutan
operasi baris elementer.
Matriks Elementer E1, E2, …, Ek sedemikian sehingga :
Ek … E2 E1 A = U
A = E1-1 E2-1… Ek-1 U
Matriks L didefinisikan sebagai :
L = E1-1 E2-1 … Ek-1
dengan L merupakan Matriks Segitiga Bawah
PEMBAHASAN MASALAH
Dekomposisi L U
Eliminasi Gauss – Jordan
- Bentuk Matriks n x n
- Bentuk Matriks n x n
- Tidak bisa tukar baris
- Boleh tukar baris
- Persamaan : A x = b; b ≠ 0
- Persamaan : A x = b; b ≠ 0
- Langkah-langkah :
- Langkah-langkah :
Cari matriks U
Matriks A dibawa ke bentuk eselon
Cari matriks L
baris tereduksi, maka A berbentuk
Ax=b
matriks Identitas.
LUx=b
Untuk U x = y, maka Ly = b
Diperoleh harga :
Harga yi, i = 1, 2, 3, …
Untuk U x = y
Diperoleh harga :
Harga xi, i = 1, 2, 3, …
Diberikan sistim linear berbentuk :
2x1 – 2x2 – 2x3 = -4
– 2x2 + 2x3 = -2
-x1 + 5x2 + 2x3 = 6
Carilah harga-harga x dengan menggunakan :
a. Eliminasi Gauss – Jordan
b. Dekomposisi L U
Penyelesaian :
a. Eliminasi Gaus – Jordan
2
0
-1
¿
-2
-2
5
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
-2
2
2
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
-4
-2
6
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
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2
0
-1
-2
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2
-4
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6
¿
righ
¿
¿
¿
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b1 b 2
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1
0
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¿
-1
1
5
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-1
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2
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b011 + b-1
21
-2
1
6
¿
righ
¿
¿
¿
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0
-1
-1
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
4
b3 −4 b2
∞
¿
¿
¿
b1 +2b 3
∞
1
0
0
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0
1
0
-2
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¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
-1
1
0
1
0
0
b3
5
¿
∞
0
1
0
-2
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-1
1
0
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
¿
b2 +2b 3
1
0
0
∞
¿
0
1
0
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
Jadi : x1 = -1; x2 = 1; x3 = 0
b. Dekomposisi L U
Langkah-langkah :
(i) Carilah Matriks U, Matriks L
Dicek bahwa :
(ii) A = L U (dicek)
(iii)A x = b
LUx=b
⇒
Ux=y
Ly=b
diperoleh harga yi, i = 1, 2, 3, …
⇒
Ux=y
2
0
-1
(i) A =
¿
diperoleh harga xi, i = 1, 2, 3, …
-2
-2
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2
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¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
;x=
x1
x2
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¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
-4
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6
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¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
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2
0
-1
¿
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
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¿
x1
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¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
=
-4
-2
6
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
Reduksi Menjadi
Matriks Elementer
Invers Matriks
Bentuk Eselon Baris
yang bersesuaian
Elementer
dengan operasi baris
-1
1
0
-2
1
4
2
0
-1
¿
-2
-2
-2
2
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¿
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¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
1
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2
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¿
¿
¿
[ ¿ ] [¿] ¿
⇒
2
0
0
¿
¿
1
0
-1
¿
-1
-1
1
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5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
⇒
1
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¿
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1
¿
righ
¿
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¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
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¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
1
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1
¿
righ
¿
¿
¿
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1
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1
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¿
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¿
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¿
¿
¿
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¿
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¿
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¿
L = E1-1 E2-1 …. Ek-1
1
0
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1
¿
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¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
⇒
¿
0
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¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
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¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
1
0
0
¿
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
E1-1 =
⇒
E2-1 =
⇒
E3-1 =
⇒
E4-1 =
⇒
E5-1 =
0
0
1
¿
1
0
¿
E5 =
0
0
0
1
¿
E4 =
0
0
0
1
5
2
0
0
L
=
1
0
0
¿
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
-1
¿
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
¿
¿
¿
L=
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
-1
¿
¿
2
0
-1
L=
¿
0
0
1
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
L=
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
1
0
0
¿
¿
2
0
-1
¿
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
L=
Jadi L =
¿
0
0
-2
0
4
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
(ii) Dicek bahwa : A = L U
2
0
-1
¿
2
0
-1
¿
0
0
-2
0
4
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
-2
-2
-2
2
5
2
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
¿
= A (Terbukti)
(iii) a) L y = b
1
0
0
¿
-1
-1
1
-1
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
1
0
0
¿
¿
0
0
-2
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿ ]¿
1
0
0
¿
¿
¿
2
0
-1
1
0
0
¿
2
0
-1
=
0
0
1
0
4
1
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
2
0
0
LU=
1
0
0
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
1
0
0
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿] ¿
¿
0
0
-2
0
4
5
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿] [ ¿ ] ¿
¿
2
0
-1
¿
0
-2
4
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
0
0
5
y1
y2
y3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
¿
-4
-2
6
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
2 y1 = -4
-2y2 = -2
- y1 + 4y2 + 5y3 = 6
y1 = -2
y2 = 1
2 + 4 + 5y3 = 6
5y3 = 0
y3 = 0
b) U x = y
1
0
0
¿
-1
-1
1
-1
0
1
¿
righ
¿
¿
¿
[¿ ] [¿] ¿
¿
-2
1
0
x1
x2
x3
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
=
¿
righ
¿
¿
¿
[ ¿ ] [ ¿] ¿
¿
¿
x1 – x2 – x3 = -2
x2 – x3 = 1
x1 – 1 – 0 = -2
x2 – 0 = 1
x1 = -2 + 1
x3 = 0
x2 = 1
x1 = -1
Jadi x1 = -1
x2 = 1
x3 = 0
KESIMPULAN :
1. Dekomposisi L U merupakan perluasan Eliminasi Gaus – Jordan
2. Harga-harga x yang diperoleh sama, baik dengan Dekomposisi L U maupun Eliminasi
Gauss – Jordan dengan syarat :
a) Bentuk Matriks n x n
b) Elemen Diagonal ¿
0
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1988. Aljabar Linier Elementer (terjemahan). Edisi Kelima.
Jakarta :
Erlangga.
Ayres Jr., Frank. 1994. Teori dan Soal-soal Matriks (terjemahan). Cetakan Keempat. Jakarta :
Erlangga.
Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linear dengan Penerapannya (terjemahan). Cetakan
Pertama. Jakarta : PT. Gramedia Pustaka Utama.
Surjadi, P. A. 1982. Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik. Cetakan Ketiga. Jakarta :
Djambatan.