Pengaruh Kewajiban Karyawan Terhadap Kewajiban Perusahaan Di Lihat Dari Sisi Etika Bisnis Pada PT. Adi Sarana Armada (ASSA) Cabang Medan

APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER

SKRIPSI

MANGARA TUA SITANGGANG 080801035

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

MANGARA TUA SITANGGANG 080801035

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA

SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER

Kategori : SKRIPSI

Nama : MANGARA TUA SITANGGANG

Nomor Induk Mahasiswa : 080801035

Program Studi : SARJANA (SI) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Juli 2013

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Tenang Ginting, MS Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si NIP.194806101976031003 NIP. 197211152000121001

Departemen Fisika FMIPA USU Ketua

Dr. Marhaposan Situmorang NIP. 195510301980031003

PERNYATAAN

APLIKSI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2013

Mangara Tua Sitanggang NIM 080801035

PENGHARGAAN

Puji, syukur serta hormat penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang atas berkat dan rahmatNya penulis dapat menyelesaikan kajian tulisan ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Sesungguhnya hanya Karena berkat dan rahmat yang telah dicurahkanNyalah sehingga tulisan dengan judul APLIKSI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER dapat diselesaikan dengan baik.

Penulis juga menyadari akan bimbingan, dukungan, motivasi, saran serta doa dari berbagai pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan tulisan ini. Ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada:

1. Yth. Bapak Dr. Sutarman selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam beserta seluruh jajaran staff dan pegawai Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

2. Yth. Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua Departemen Fisika beserta seluruh dosen, staff dan pegawai departemen Fisika FMIPA USU

3. Bapak Drs. Tenang Ginting, MS dan Bapak Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis sangat berterimakasih buat setiap bimbingan, masukan, saran serta waktu yang senantiasa diberikan kepada penulis sampai pada akhir penulisan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Kurnia Sembiring, MS, Ibu Dra.Ratna Askiah S,M.Si, Ibu Dra.Manis Sembiring, MS selaku dosen penguji. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya atas saran-saran yang diberikan kepada penulis dalam penulisan skripsi ini.

5. Tidak terlupakan Orangtua yang sangat saya cintai yakni Bapak ( Alm. H.Sitanggang) dan mamak ( K. Br. Sipakkar),buat kakak tersayang ( Seselia Dormauli Sitanggang) dan adek tersayang (Parsaoran Paulinus Sitanggang). Penulis mengucapkan terimakasih buat setiap dukungan, doa, dan motivasi yang diberikan kepada penulis di setiap waktu, kiranya Tuhan semakin melimpahkan berkat dan sukacita bagi kita semua. Serta buat seluruh keluarga yang selalu mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga Tuhan senantiasa melimpahklan berkatNya kepada kita semua.

6. Sahabat seperjuangan Fisika 2008 ( bro Roni Sinaga, appara Hiras Sitanggang, appara Albert Daniel Saragih, Appara Rolas D Nainggolan, appara Aryon Simbolon, Lek Donal Edison Sijabat, Lek Triandes Sinaga, Lek Asman Marpaung, Lek Zulkarnaen Manalu, Lek, Ebenezer A Situmorang, Pal Indra Tarigan, Sina Bheng an Ginting, Lek Sudiaman Mabun, Perdana O Manik, Lyri Martin Simorangkir, Metar Y Hutauruk, Nya Daniati Malau, Borasida Sihombing, Nyta Efhelzen tampubolon, Melati Putri Duha, Elda Desi Panjaitan, Elisabeth Situmorang, Yosephin Romania Sinabutar,

Ervina Novaria Tambunan dan tante Theresia Novita Pangaribuan) yang turut serta membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

7. Abang-abang dan kakak-kakak senior Fisika yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu. Penulis mengucapkan terimakasih banyak buat setiap kebersamaan dan cinta kasih yang abang/kakak berikan selama ini.

8. Kelompok MANA KUNCI (Bg Jona Benhart Hutajulu, Bg Anderson Ginting, Bg Erick Rumahorbo, Roni Sinaga, Istas Pratama Manalu, Andico Sihaloho, Natanael Saragih, Zainaludin Rambe dan Timbul Mulya David Panjaitan). Penulis mengucapkan terimakasih buat kebersamaan, motivasi dan doa yang diberikan kepada penulis.

9. Ito-ito yang sangat penulis sayangi ( Rieni Kalesta Sitanggang, Widya Susanti Sitanggang, Roindah Simbolon, Valentina Ginting, Silviana Simbolon, Sermauli Sitanggang dan Ancela Simbolon). Penulis mengucapkan terimakasih buat seluruh dukungan yang diberikan selama perkuliahan, motivasi dan kebersamaan dalam suka duka selama ini.

10.Adek-adek junior yang tersayang : stambuk 2009 ( Poltak Simarmata, Agus P Siahaan, Sabam Simbolon, Sony Togatorop, Endra Tambunan, Ferdi A, Monora Panca Bakara, Emi A Tarigan, Stevani A Sigiro, Helen M Manurung, Agus Ningsih, Sukria Novianti,dkk), stambuk 2010 ( Juan Roy Saragih, Roni Tambi, Faisal Sibuea, Ronald Naibaho, michu/Rumianto Manurung, Lamhot Sihaloho, Jantiber siburian, Gunawan B sitorus, Riady P Sitanggang, Jakson Sitanggang, Fransiskus Waruwu, Rika E, dkk), stambuk 2011( Dosni sipahutar, Simon Sihombing, Steven Sitorus, Intan, dkk), stambuk 2012 ( Marta M Nainggolan, dkk)

11.Teman-teman alumni SMA N 1 Berastagi , SMP N 2 Berastagi dan SDN Sindang Sari I Bandung yang senantiasa memberikan motivasi kepada penulis dalam penulisan skripsi ini.

12.Teman-teman kost KCC ( Robin Siregar, Haendri, Salman dan Ranto). Terimakasih buat doa-doa nya.

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara analitik mengenai sistem persamaan fisis pada massa pegas shock absorber dengan menggunakan metode fungsi green dan metode koefisien tak tentu. Dalam hal ini akan didapatkan solusi yang sama dari persamaan fisis massa pegas dengan shock absorber dengan menggunakan metode yang berbeda tersebut. Perbedaannya hanya terletak pada nilai konstanta yang dihasilkan dari penyelesaian tersebut. Telah dilakukan juga verifiksi terhadap hasil yang didapat dengan menggunakan perangkat lunak mathematica 8.

ABSTRACT

Analytical calculated about shock absorber physical system form had been done by green function method and indeterminate coefficients method. The same solution of shock absorber physical system form had been obtained by use this different methods. The difference lies only in the constant value resulting from the settlement. Verification has been carried out also on the results obtained by using the software Mathematica 8.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftrar isi viii

Daftar gambar x

Daftar tabel xi

Daftar simbol xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Batasan Masalah 3

1.6 Metode Penulisan 4

1.7 Sistematika Penulisan 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial 6

2.2 Orde dan Derajat Suatu Persamaan Diferensial 7

2.3 Persamaan Diferensial linier 7

2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan 8 2.5 Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak Homogen Dengan

Koefisien Konstan 9

2.6 Determinan Wronski 10

2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan

Metode Variasi Parameter 11

2.8 Metode Fungsi Green 13

2.9 Metode Koefisien Tak Tentu 13

2.10 Sistem Fisis Persamaan Osilasi Harmonik Teredam 14

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian 20

3.2 Diagram Alir Penelitian 21

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green 22 4.2 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu 25 4.3 Perbandingan Antara Metode Fungsi Green dengan Metode

Koefisien Tak Tentu 27

4.4 Verifikasi Dengan Menggunakan Program Mathematica 8 28 BAB V KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan 29

5.2 Saran 30

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Detail struktur shock absorber 16

DAFTAR TABEL

Halaman

DAFTAR SIMBOL

�� : Resultan gaya � : konstanta pegas � : konstanta redaman

�� : Gaya luar yang diberikan kepada sistem

� : simpangan � : kecepatan sudut

� : waktu

� : wronskian �(�,�) : fungsi green

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan secara analitik mengenai sistem persamaan fisis pada massa pegas shock absorber dengan menggunakan metode fungsi green dan metode koefisien tak tentu. Dalam hal ini akan didapatkan solusi yang sama dari persamaan fisis massa pegas dengan shock absorber dengan menggunakan metode yang berbeda tersebut. Perbedaannya hanya terletak pada nilai konstanta yang dihasilkan dari penyelesaian tersebut. Telah dilakukan juga verifiksi terhadap hasil yang didapat dengan menggunakan perangkat lunak mathematica 8.

ABSTRACT

Analytical calculated about shock absorber physical system form had been done by green function method and indeterminate coefficients method. The same solution of shock absorber physical system form had been obtained by use this different methods. The difference lies only in the constant value resulting from the settlement. Verification has been carried out also on the results obtained by using the software Mathematica 8.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di dalam berbagai permasalahan fisika, matematika memegang peranan yang sangat penting. Banyak permasalahan fisika yang harus diselesaikan dengan menggunakan model matematika. Salah satu model matematika yang cukup penting adalah persamaan differensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam permasalahan fisika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa yang dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung persamaan diferensial. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan. Keadaan inilah yang merupakan persoalan pada banyak kasus fisika, sehingga untuk memperoleh suatu persamaan diferensial yang melukiskan suatu persoalan dalam kehidupan nyata, biasanya diambil permisalan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum-hukum yang sangat sederhana yang biasanya sering dibuat permisalan yang ideal.

Persamaan diferensial yang terbentuk dari permasalahan yang ada tersebut juga bermacam-macam. Ada dua macam persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Berdasarkan bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan diferensial tak homogen. Di samping itu, berdasarkan orde (tingkat)-nya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan diferensial orde dua, persamaan diferensial orde tiga, sampai dengan persamaan diferensial orde-n (orde tinggi). Sedangkan berdasarkan koefisiennya, terdapat persamaan diferensial dengan koefisien konstan dan persamaan diferensial dengan koefisien variabel (peubah). Serta berdasarkan kelinearannya, terdapat persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial tidak linear.

Oleh karena banyaknya jenis persamaan diferensial, maka banyak pula cara mencari penyelesaiannya. Sebagai contoh, persamaan diferensial biasa orde satu, selesaiannya dapat dicari dengan pengintegralan. Sedangkan persamaan diferensial linear homogen, misalnya

persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan, dapat diubah menjadi masalah pencarian akar persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial itu. Akan tetapi, masalahnya sekarang pada persamaan diferensial linear tak homogen, untuk mencari selesaian umumnya, selain harus mencari selesaian persamaan homogen pautannya, juga harus dicari selesaian khususnya. Oleh karena itu diperlukan suatu metode tertentu.

Dalam penulisan proposal ini, akan dikemukakan suatu metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen yaitu dengan mengkonstruksi fungsi green. Kemudian akan kita selesaikan suatu permasalahan fisika yaitu pada sistem fisis massa pegas dengan shock absorber dengan mempergunakan fungsi green. Dalam hal ini, permasalahan tersebut juga akan diselesaikan dengan metode lain, yakni dengan metode koefisien tak tentu sehingga kita mendapatkan perbandingan dari kedua metode tersebut.

Dari uraian di atas, maka dalam penulisan skripsi ini, penulis mengambil judul

“APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS-MASSA PEGAS DENGAN SHOCK ABSORBER”.

1.2. Permasalahan

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

• Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen dengan mengkonstruksi fungsi green.

• Bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.

• Sangat rumitnya untuk menyelesaikan beberapa persamaan differensial

1.3. Tujuan Penulisan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk:

• Menyelesaikan kasus osilasi harmonik teredam dengan mengkonstruksi fungsi green

• Membuat perbandingan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode fungsi green dengan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu

1.4 Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan skripsi ini untuk mengemukakan suatu metode baru sebagai alternatif untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen yaitu dengan mengkonstruksi fungsi green.

1.5. Batasan Masalah

Dalam penulisan skripsi ini, pembahasannya hanya dibatasi pada:

• Masalah yang diselesaikan hanya persamaan diferensial linear tak homogen dengan koefisien konstan yang dikhususkan pada osilasi teredam pada shock absorber mobil

• Fungsi green yang dimaksud adalah fungsi green khusus pada suatu integral transformasi atau substitusi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen.

• Metode yang digunakan untuk mengkonstruksi fungsi green adalah metode variasi parameter.

• Metode pembanding yang dipergunakan adalah metode koefisien tak tentu

1.6. Metode Penulisan

Metode merupakan cara utama yang akan ditempuh untuk menemukan jawaban dari suatu permasalahan. Berdasarkan hal tersebut, maka dalam penulisan proposal ini, penulis menggunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu penelitian yang dilakukan di perpustakaan yang bertujuan untuk mendapatkan informasi dengan bermacam materiil yang terdapat di perpustakaan. Buku-buku fisika yang relevan dengan pembahasan merupakan referensi pendukung yang digunakan oleh penulis.

Adapun langkah-langkah penulisan yang dilakukan adalah sebagai berikut:

• Merumuskan masalah. Sebelum penulis memulai kegiatannya, penulis membuat rancangan terlebih dahulu mengenai suatu permasalahan yang akan dibahas.

• Mengumpulkan sumber informasi. Dengan menggunakan metode kepustakaan, penulis mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan memahami literatur yang berkaitan dengan persamaan diferensial dan tentang fungsi green.

• Menyelesaikan contoh. Di sini, penulis menyelesaikan soal dengan cara mengaitkan materi yang sedang dikaji.

• Membuat kesimpulan. Kesimpulan merupakan gambaran langkah dari pembahasan atas apa yang sedang ditulis. Kesimpulan didasarkan pada data yang telah dikumpulkan dan merupakan jawaban dari permasalahan yang dikemukakan.

• Membuat laporan

1.7 Sistematika penulisan

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut:

BAB I Pendahuluan

Bab ini mencakup latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan tugas akhir ini.

BAB II Tinjauan pustaka

Bab ini berisi teori yang mendasari penelitian. BAB III Metodologi Penelitian

Bab ini membahas tentang metode yang digunakan dan diagram alir penelitian.

BAB IV Hasil dan pembahasan

Bab ini membahas tentang hasil penelitian BAB V Kesimpulan dan Saran

Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian dan memberikan saran pada peneltian berikutnnya.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini akan dikemukakan teori-teori yang mendukung pembahasan penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan menggunakan metode fungsi green antara lain: persamaan diferensial, orde dan derajat suatu persamaan diferensial, persamaan diferensial linear, persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan, persamaan diferensial linier orde-n tak homogen dengan koefisien konstan,determinan wronski, selesaian khusus persamaan tak homogen dengan metode variasi parameter, dan sistem fisis persamaan osilasi harmonik teredam

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Ada dua macam persamaan diferensial, yaitu:

a. Persamaan diferensial biasa yaitu persamaan dimana fungsi yang belum diketahui hanya memuat satu variabel bebas saja.

Contoh 1. ��

�� =�+ 6, (dimana hanya mengandung satu variabel bebas yaitu �)

2. �2�

��2+ 3

��

�� + 2� = 0

3. ��′+�= 3

4. �′′′+ 2(�′′)2+�′=����

b. Persamaan diferensial parsial yaitu persamaan diferensial dimana fungsi yang belum diketahui memuat dua atau lebih variabel bebas. Contoh:

1. ��

�� = �+� �� ��

2. .� 2_�

��2+

�2_�

��2 = � 2_�

2.2 Orde dan Derajat Suatu Persamaan Diferensial

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan derajat persamaan diferensial dapat ditulis sebagai polynomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi.

Contoh: 1. ��

�� =�+ 6 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1).

2. �2�

��2+ 3 ��

�� + 2�= 0 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 derajat 1).

3. ��′+�= 3 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1).

4. �′′′ + 2��′ ′�2 +�′ = ���� (merupakan persamaan diferensial biasa orde 3 derajat 1).

5. (�′′)2+ (�′)2+ 3�= �2 (merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 derajat 2).

6. ��

�� =�+� ��

�� (merupakan persamaan diferensial parsial orde 1 derajat 1).

7. ��2

��2+ ��2 ��2 =�

2_{+� (merupakan persamaan diferensial parsial orde 2 derajat 1).}

2.3 Persamaan Diferensial Linier

Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi dua hal berikut:

1. Variabel-variabel terikat dan turunannya tertinggi berpangkat 1

2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan yang lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan.

Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah y, y',…, y(n) berderajat 1 atau nol.

Contoh:

1. ��′+�= 3

2. �′′′ + 2��′ ′�2+�′ = �

jadi bentuk umum persamaan diferensial linier orde- n adalah

keterangan:

Jika �(�) = 0, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan diferensial linier homogeny orde−�

Jika �(�) ≠ 0, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan diferensial linier non homogen orde−�. jika semua koefisien �₀(�),�₁(�), … ,�_�(�) adalah tetap, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. jika semua koefisien

�0(�),�1(�), … ,��(�) adalah berupa fungsi, maka persamaan (2.3.1) disebut persamaan

diferensial linier dengan koefisien variabel (peubah).

2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan: �0�� +�1�(�−1)+⋯+��−1�′ +��� = 0 (2.4.1) dimana �₀,�_1,…,�_� adalah konstanta.

Untuk menentukan selesaiannya yaitu dengan mensubstitusi y = etx, kemudian menentukan bilangan tetap t sehingga etx sehingga persamaan (2.4.1) karena y = etx , y’ = t etx , y”=t2 etx

dan seterusnya hingga yn =tn etx. Bila disubstitusikan ke persamaan (2.4.1) akan didapatkan suatu persamaan dalam t, yaitu:

���(�₀�� +�1��−1+�2��−2 +⋯+��) = 0 (2.4.2) karena etx≠0, maka

(�₀�� +�₁��−1_+�

2��−2+⋯+��) = 0 (2.4.3)

Persamaan (2.4.3) tersebut disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (2.4.1) dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Ada tiga kemungkinan selesaian yang bebas linier dari persamaan (2.4.1), yaitu:

1. Bila akar-akarnya real dan berlainan, maka selesaian bebas liniernya yaitu: ��1�_,��2�_{, … ,}����

2. Bila akar-akarnya real dan sama, maka selesaian bebas liniernya yaitu: ���,����, … ,��−1���

3. Bila akar-akarnya kompleks, maka selesaian bebas liniernya yaitu:�(�−��)� atau

���_{(cos��+ sin��)}

Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut : �_��� + �_�−1��−1+ �_�−2��−2 +⋯+ �₁�′+ �₀� =�(�) (2.5.1)

Solusi umum �(�) akan didapatkan bila solusi umum �_ℎ� dari Persamaan Diferensial Homogen diketahui, dimana bentuk umum persamaan diferensial homogenya orde-n adalah sebagai berikut :

�_��� + �_�−1��−1_{+ �}

�−2��−2 +⋯+ �1�′+ �0�= 0 (2.5.2) Kemudian �(�) dibentuk dengan penambahan �_ℎ� sembarang solusi � termasuk konstanta tak tetapnya. Sehingga,

�(�) = �_ℎ(�) +�_�(�) (2.5.3)

Dalam hal ini kita membahas penyelesaian untuk mendapatkan persamaan partikulirnya dengan melalui metode fungsi green dan dengan melalui metode koefisien tak tentu.

2.6 Determinan Wronski

Misalkan �₁,�2, … ,�� kumpulan n buah fungsi yang semuanya dan turunan-turunannya sampai dengan turunan yang ke n-1kontinyu pada selang a ≤ x ≤ b. Wronski dari

�1,�2, … ,�� dihitung pada x dinyatakan oleh �(�1,�2, … ,��;�) dan ditentukan sebagai

determinan

�(�₁,�₂, … ,�_�;�) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢

⎡ �1 �2

�1′ �1′′

�2′ �2′′

⋯ ⋯ ⋯ �� ��′ ��′′ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

�1�−1 �2�−1 ⋯ ���− 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (2.6.1)

tiap fungsi yang muncul dalam determinan ini dihitung pada x.

Contoh

Diketahui�₁(�) =�2 _{dan �}

Penyelesaian: Dari defenisi di atas dan dari fungsi-fungsi yang telah diketahui, maka dapat dihitung:

�(�2, cos�;�) =��2 cos�

2� −sin��= −�

2_{sin� −2�cos�}

Misalkan bahwa �₁,�₂, … ,�_� merupakan n buah penyelesaian persamaan diferensial (2.4.1). Misalkan juga bahwa fungsi-fungsi tersebut bebas linier pada selang defenisi persamaan diferensial ini. Dikatakan bahwa fungsi-fungsi itu membentuk himpunan fundamental (atau sistem fundamental) penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Sebagai contoh fungsi cos� dan fungsi sin� merupakan suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial �′′ +� = 0 . Juga fungsi ��dan �−� membentuk suatu himpunan fundamental penyelesaian persamaan diferensial �′′ − �= 0.

2.7 Selesaian Khusus Persamaan Takhomogen: Penyelesaian Dengan Metode Variasi Parameter

Metode variasi parameter adalah metode yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian khusus PD linier takhomogen dengan koefisien variabel, sehingga lebih umum daripada metode koefisien tak tentu.

Perhatikan PD linier orde 2 yang mempunyai bentuk

�′′ _+�(�)�′ _{+�(�)�=�(�) (2.7.1)}

dengan p, q, dan r fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval buka I. Kita akan menentukan selesaian khusus dari (2.7.1) dengan metode variasi parameter seperti berikut. Kita mengetahui bahwa PD homogen yang bersesuaian, yaitu

�′′ _+�(�)�′ _{+�(�)�= 0 (2.7.2)}

mempunyai suatu selesaian umum �_ℎ(�) pada I yang berbentuk

�ℎ(�) =�1�1(�) +�2�2(�) (2.7.3)

Metode variasi parameter terdiri dari penggantian �₁dan �₂dengan fungsi �(�) dan �(�) yang akan ditentukan sedemikian hingga fungsi penggantinya, yaitu

merupakan selesaian khusus dari (2.7.1) pada I. dengan menurunkan (2.7.3) diperoleh ��′ = �′�1+��1′ +�′�2+��2′ (2.7.5)

Persamaan (2.7.3) memuat dua fungsi � dan �, tetapi syarat bahwa �_� memenuhi (2.7.1) mengakibatkan bahwa hanya ada satu syarat pada � dan �. . Karena itu kita bisa menerapkan kondisi (syarat) sebarang yang ke dua. Perhitungan berikut akan menunjukkan bahwa kita dapat menentukan � dan � sedemikian hingga �_� memenuhi (2.7.1) dan � dan � memenuhi, sebagai syarat ke dua, hubungan:

�′�₁+�′�₂ = 0 (2.7.6) Ini mereduksi ekspresi untuk �_�’ ke bentuk

�_�’ = ��1’ +��2’

. (2.7.7) Dengan menurunkan fungsi ini diperoleh

�_�” = �’�1’ +��1” +�’�2’ +��2” (2.7.8)

Dengan mensubstitusikan (2.7.3), (2.7.5) dan (2.7.6) ke dalam (2.7.1) dan mengumpulkan suku-suku yang memuat � dan � akan diperoleh

�(�1” +��1’ +��1) +�(�2” +��2’ +��2) +�’�1’ +�’�2’ = � (2.7.9)

Karena �₁dan �₂selesaian dari PD homogen (2.7.6), maka persamaan di atas mereduksi ke bentuk

(i) �’�₁’ +�’�₂’ = � (ii)�’�1+�’�2 = 0

Persamaan (i) dan (ii) merupakan sistem dua persamaan aljabar linier dari fungsi-fungsi �’ dan �’ yang tidak diketahui. Selesaian diperoleh dengan aturan Cramer:

�′ _{= −}�2� � �′ =�1�

� (2.7.10)

Dengan

� =�1�2′+�1′�2 (2.7.11)

adalah Wronski dari dari �₁ dan �₂. Jelas bahwa W≠0 karena �₁, �₂ membangun basis selesaian. Pengintegralan (2.7.7) menghasilkan

� =− ∫�_�2� �� �= ∫�1�

� �� (2.7.12)

Integral ini ada karena �(�) kontinu. Substitusikan ekspresi untuk � dan � ini ke dalam (2.7.3), untuk memperoleh selesaian dari (2.7.1).

�_�(�) =−�₁∫�2�

� ��+�2∫�_�1� �� (2.7.13)

2.8 Konsep Fungsi Green

Dari suatu sistem persamaan diferensial linear tak homogen orde-n:

�0(�)�(�)+�1(�)�(�−1)+⋯+��−1(�)�′ +��(�)�=�(�) (2.8)

dengan fungsi �(�) merupakan fungsi yang kontinyu. Fungsi �(�,�) dikatakan sebagai fungsi green untuk masalah nilai awal persamaan diferensial di atas jika memenuhi kondisi berikut ini:

a) �(�,�) terdefenisi pada daerah R=I x I dari semua titik (�,�) dimana �dan � terletak dalam selang I.

b) �(�,�),��

�� , �2_�

��2 , … ,

��_�

��� merupakan fungsi kontinu pada R=I x I

c) Untuk setiap �₀ dalam selang I , fungsi �_�(�) =∫ �_�� (�,�)�(�)��

0 adalah solusi

persamaan diferensial di atas yang memenuhi kondisi awal �_�(�₀) =�_�′(�₀) = ��′′(�0) =⋯= �_�

(�−1)

(�₀) = 0

2.9 Metode koefisien tak tentu

Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi �_� berdasarkan bentuk fungsi �(�) di ruas kanan.

Bentuk persamaan umum:

�_��� + �_�−1��−1 _{+ �}

 Fungsi �(�) yang merupakan bentuk solusi pertikular �_�(�) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberpa fungsi

 _�(�) berisikan koefisien tak tentu

 Turunkan �_� sesuai persamaan umum di atas

 Subtitusikan �_� dan seluruh turunannya ke dalam persamaan

Bentuk �(�) Pilihan untuk �_�

��� _����

��� _{(� = 0,1, … ) �}

��� +��−1��−1+⋯+�1�+�0

���� _���� _{+ ���}��

sin�� �sin��+�cos��

cos�� �sin��+�cos��

Tabel 2.1 Metode Koefisian Tak Tentu

Misal �(�) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus atau cosines. Maka solusi �_� dimisalkan sebagai jumlah dari �(�) dan semua turunannya. Selanjutnya �_� �_�′ dan �_�′′ disubstitusikan ke persamaan awal untuk menghitung nilai dari koefisiennya.

2.10 Sistem Fisis Persamaan Osilasi Harmonik Teredam

Sampai saat ini masih banyak anggapan bahwa tidak ada gaya gesekan yang bekerja pada osilator. Jika anggapan ini dipegang, maka bandul atau beban pada pegas akan berosilasi terus menerus. Pada kenyataannya, amplitudo osilasi berkurang sedikit demi sedikit sampai akhirnya menjadi nol karena pengaruh gesekan. Dikatakan bahwa geraknya teredam oleh gesekan dan disebut osilasi teredam. Gesekan seringkali muncul dari gesekan udara atau gaya dalam. Besar gaya gesekan biasanya bergantung kepada laju. Dalam banyak hal, gaya

gesekan sebanding dengan kecepatan, tetapi arahnya berlawanan. Contoh dari osilasi teredam misalnya adalah pada shock absorber mobil.

Shock absorber merupakan komponen penting suatu kendaraan yaitu dalam sistem suspensi, yang berguna untuk meredam gaya osilasi dari pegas. Shock absorber berfungsi untuk memperlambat dan mengurangi besarnya getaran gerakan dengan mengubah energi kinetik dari gerakan suspensi menjadi energi panas yang dapat dihamburkan melalui cairan hidrolik.

Peredam kejut (shockabsorber) pada mobil memiliki komponen pada bagian atasnya terhubung dengan piston dan dipasangkan dengan rangka kendaraan. Bagian bawahnya, terpasang dengan silinder bagian bawah yang dipasangkan dengan as roda. Fluida kental menyebabkan gaya redaman yang bergantung pada kecepatan relatif dari kedua ujung unit tersebut. Hal ini membantu untuk mengendalikan guncangan pada roda.

Konstruksi shock absorber itu terdiri atas piston, piston rod dan tabung. Piston adalah komponen dalam tabung shock absorber yang bergerak naik turun di saat shock absorber bekerja. Sedangkan tabung adalah tempat dari minyak shock absorber dan sekaligus ruang untuk piston bergerak naik turun. Dan yang terakhir adalah piston rod adalah batang yang menghubungkan piston dengan tabung bagian atas (tabung luar) dari shock absorber. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut:

Piston Roo

Piston

Tabung

Oriface

Saluran Besar

Keterangan:

Katup

Shock absorber bekerja dalam dua siklus yakni siklus kompresi dan siklus ekstensi.

Siklus kompresi (penekanan)

Saat shock absorber ditekan karena gaya osilasi dari pegas suspensi, maka gerakan yang terjadi adalah shock absorber mengalami pemendekan ukuran. Siklus kompresi terjadi ketika piston bergerak ke bawah, menekan fluida hidrolik di dalam ruang bawah piston. Dan minyak shock absorber yang berada dibawah piston akan naik keruang atas piston melalui lubang yang ada pada piston. Sementara lubang kecil (orifice) pada piston tertutup karena katup menutup saluran orifice tersebut. Penutupan katub ini disebabkan karena peletakan katup yang berupa membran (plat tipis) dipasangkan dibawah piston, sehingga ketika minyak shock absorber berusaha naik ke atas maka katup membran ini akan terdorong oleh shock absorber dan akilbatnya menutup saluran orifice. Jadi minyak shock absorber akan menuju ke atas melalui lubang yang besar pada piston, sementara minyak tidak bisa keluar melalui saluran oriface pada piston. Pada saat ini shock absorber tidak melakukan peredaman terhadap gaya osilasi dari pegas suspensi, karena minyak dapat naik ke ruang di atas piston dengan sangat mudah.

Siklus ekstensi (memanjang)

Pada saat memanjang piston di dalam tabung akan begerak dari bawah naik ke atas. Gerakan naik piston ini membuat minyak shock absorber yang sudah berada diatas menjadi tertekan. Minyak shock absorber ini akan mencari jalan keluar agar tidak tertekan oleh piston terus. Maka minyak ini akan mendorong katup pada saluran oriface untuk membuka dan minyak akan keluar atau turun ke bawah melalui saluran oriface. Pada saat ini katup pada lubang besar di piston akan tertutup karena letak katup ini yang berada di atas piston. Minyak shock absorber ini akan menekan katup lubang besar, piston ke bawah dan mengaakibat katup ini tertutup. Tapi letak katup saluran oriface membuka karena letaknya berada di bawah piston, sehingga ketika minyak shock menekan ke bawah katup ini membuka. Pada saat ini minyak shock absorber hanya dapat turun ke bawah melalui saluran orifice yang kecil. Karena salurannya yang kecil, maka minyak shock absorber tidak akan bisa cepat turun ke bawah alias terhambat. Di saat inilah shock absorber melakukan peredaman terhadap gaya osilasi pegas suspensi.

Tipikal mobil atau truk ringan akan memiliki lebih banyak perlawanan selama siklus ekstensi daripada siklus kompresi. Semua peredam kejut modern adalah kecepatan-sensitif – suspensi semakin cepat bergerak, semakin banyak perlawanan yang shock breker sediakan. Hal ini memungkinkan guncangan untuk menyesuaikan diri dengan kondisi jalan dan untuk mengontrol semua gerakan yang tidak diinginkan yang dapat terjadi dalam kendaraan yang bergerak. Secara sederhana shock absorber merupakan pengaplikasian dari gerak osilasi harmonik yang teredam.

m

k c

y Fo cos wt

Gambar 2.2 Sistem fisis pada shock absorber

Bila peredaman diperhitungkan, maka gaya peredam juga berlaku pada massa. Bila bergerak dalam fluida benda akan mendapatkan redaman karena kekentalan fluida. Gaya akibat kekentalan ini sebanding dengan kecepatan benda. Konstanta akibat kekentalan (viskositas) adalah c dengan satuan N s/m (SI)

Persamaan osilasi teredam diberikan oleh hokum gerak kedua,� =�� , dengan F merupakan jumlah dari gaya pemulih – �� dan gaya redaman –���/�� ; dalam hal ini c

adalah konstanta positif. Kita peroleh bahwa

��= �� (2.10.1) atau

−�� − ���_�� =��2�

��2 (2.10.2)

atau

�� 2_�

��2 +�

��

Dalam osilasi teredam sebenarnya masih terdapat gaya lain yang bekerja berupa gaya paksaan. Dalam hal ini, dimisalkan gaya paksaan yang diberikan terhadap sistem yang telah disebutkan adalah�₀cos��. Di sini �₀ adalah harga dari gaya eksternal dan � adalah frekuensi sudutnya. Untuk jelasnya, dapat kita bayangkan bahwa gaya eksternal tersebut diberikan langsung pada massa yang digantungkan pada pegas. Maka kita peroleh persamaan:

��= ��

diperoleh

−�� − ���

�� +�0cos�� =� �2_�

��2 (2.10.4) atau

��2�

��2 +�

��

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Rancangan Penelitian

Langkah awal yang dilakukan adalah memecahkan permasalahan fisika dengan menggunakan metode fungsi green dan juga metode koefisien tak tentu dan kemudian membandingkan kedua hasil yang didapat dari kedua metode tersebut. Pada bagian akhir, akan digunakan program mathematic 8 untuk membuktikan hasil yang didapatkan sebelumnya.

3.2 Diagram Alir Penelitian

Gambar 3.1 Diagram alir penelitian

Metode Fungsi Green

Sistem Dinamis Osilasi Persamaan Fisis

pada shock

Metode Koefisien Tak Tent

Solusi Solusi

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green

Persamaan yang kita dapatkan dari system fisis-massa pegas shock absorber yang telah dibahas sebelumnya adalah:

��2�

��2 +�

��

�� +�� =�0cos�� (4.1.1) Atau dapat kita tuliskan dalam bentuk lain yakni:

�2�

��2 +

� � �� �� + � ��=

�0cos��

� (4.1.2)

Maka untuk mendapatkan solusi dari persamaan (4.1.2) di atas kita selesaikan terlebih dahulu penyelesaian homogennya

�2+_�� �+_�� = 0 (4.1.3) �_1,2 =−

� �±�����

2

−4��

��

2 (4.1.4) �= −�

2�±

��2 �2−

4�

�

2 (4.1.5) Untuk gerak teredam kritis,maka

� 2

�2− 4�

� = 0 (4.1.6)

�_1,2 = −�

2� (4.1.7) Sehingga:

�_ℎ = �2−���(�₁+��₂) (4.1.8) �_ℎ =�1�

−�

2��+�2��

−�

2�� (4.1.9) Kemudian kita selesaikan persamaan partikulernya melalui metode fungsi green:

Mis � 2� = �

�_� =�1�−�� +�2��−�� (4.1.10) Dari sini kita dapatkan:

�₁ = �−�� (4.1.11) �₂ = ��−�� (4.1.12)

� = � �

−�� _��−��

−��−�� _�−�� _{− ���}−���=�−2�� (4.1.13)

�₁(�) =�0 ��−��

1 �−�� − ���−���=−��−�� (4.1.14) �₂(�) =� �−�� 0

−��−�� ₁�=�−�� (4.1.15)

�(�,�) =�1(�)�1(�)+�2(�)�2(�)

� (4.1.16)

=�−��−��−��+��−���−��

= −��−����� +��−����� (4.1.18) = −��(�−�)�+��(�−�)� (4.1.19) �(�,�) =�(�−�)�(� − �) (4.1.20) �_� =∫ �_�� (�,�).ℎ(�)

0 �� (4.1.21) Dengan:

ℎ(�) =�0�����

� (4.1.22)

Sehinga dengan mensubstitusikan persamaan (4.20) dan (4.22) ke dalam persamaan (4.21) didapatkan:

�_� = ∫ �(�−�)�(� − �)�0�����

� ��

�

�0 (4.1.23) �_� = �_�0 ∫_��(� − � )

0 .�

(�−�)�_{cos ���� (4.1.24)}

�_� = �0

� ∫ (� − �) �

�0 . �

��_{. �}−�� _{cos ���� (4.1.25)}

�_� = �_�0 �−�� ∫_��(� − � )

0 �

�� _{cos���� (4.1.26)}

∫(� − �) ��� cos���� (4.1.27) Sebagaimana diketahui bahwa

∫ ��� = �� − ��� (4.1.28) Maka dari persamaan (2.27) diketahui bahwa:

� =� − � (4.1.29) ��= −�� (4.1.30)

��= ���cos���� (4.1.31) �= ∫ ��� cos����= ���(�sin_���₂ +�cos��)

+�2 (4.1.32) Maka:

∫(� − �) ��� cos����=(�−�)���(�_�sin2_+��2�+ �cos�)− ∫

���_{(�sin��+�cos��}

�2_+�2 (−��) (4.1.33)

=(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+

1

�2_+�2[∫ ����sin����+∫ ����cos����] (4.1.34)

=(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+ �

�2_+�2∫ ���sin����+ �

�2_+�2∫ ���cos����

(4.1.35)

=(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+ �

�2_+�2∫ ���sin����+ �

�2_+�2∫ ���cos���� (4.1.36)

=(�−�)���(�_�2sin_+���2 + �cos�+ � �2_+�2����

(�sin��+ �cos�)

�2_+�2 �+ � �2_+�2����

(�cos��+ �cos�)

�+�2 � (4.1.37)

=_��2��_+�2�(� − �)(�sin��+ �cos�+ �

�2_+�2(�sin��+�cos�) + �

�2_+�2(�cos��+�sin��)� (4.1.38)

∫_��(� − �)���cos����=

0

��� �2_+�2�

�

�2_+�2(�sin��+�cos��) + �

�2_+�2(�cos��+�sin��)� (4.1.39)

= ���

(�2_+�2₎2[��sin��+�

2_cos�_�+�2_cos�_�+�_�sin�_{�)] (4.1.40)} = ���

(�2+�2₎2�2��sin��+ (� 2

+�2_{) cos}�_{�� (4.1.41)} Maka di dapatkan:

�_� = �_�0 �−�� ���

(�2_+�2₎2[2��sin��+ (�

�_� =_� �0

(�2_+�2₎2[2��sin��+ (�

2_+�2_{) cos��] (4.1.44)}

Dengan:

� =�_ℎ +�_� (4.1.45) Sehingga:

�=�1�−�� +�2��−��+

�0

�(�2_+�2₎2�2��sin��+ (� 2

+�2) cos��� (4.1.46) Dengan � merupakan solusi dari persamaan (4.1.2) yang didapatkan melalui metode fungsi green

4.2 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu

Sebagaimana diketahui bahwa persamaan dari gerak osilasi teredam pada schok mobil adalah sebagai berikut:

�� 2_�

��2+�

��

�� +��=�0cos�� (4.2.1) Dari persamaan (4.1.9),maka

�ℎ = �1�

−�

2�� ₊�₂��2−��� Untuk persamaan partikulirnya:

�_� =�cos��+�sin�� (4.2.2) �_�′ =−��sin��+��cos�� (4.2.3) �_�′′ = −�2cos�� − �2�sin�� (4.2.4) Maka ketiga persamaan (4.2.2),(4.2.3) dan (4.2.4) kita substitusikan ke persamaan (4.2.1) sehingga didapatkan:

�(−�2_{cos�� − �}2_{�sin��) +�(− ��sin��+��cos��) +�(�cos��+�sin��) =�}

0cos�� (4.2.5)

(−�2_{��+���+��) cos��+ (− �}2_{�� − ���+��) sin��=�}

0cos�� (4.2.6) Dari persamaaan (4.2.6) ini didapatkan bahwa:

−�2��+���+�� =�0 (4.2.7) −�2�� − ���+�� = 0 (4.2.8) (−�2�+�)�+���= �₀ (4.2.9)

(−�2_{�+�)� − ��� = 0 (4.2.10)} ��� = (−�2�+�)� (4.2.11) � =�−�2_���+��� (4.2.12) Kemudian persamaan (4.2.12) ini disubstitusikan ke persamaan (4.2.9), sehingga didapatkan:

(−�2_�+�)�−�2�+���

�� +���= �0 (4.2.13) �−�

2_�+��2_�

�� +���= �0 (4.2.14)

(−�2_�+�)2_{�+ (��)}2_{�= �}

0�� (4.2.15)

((−�2_�+�)2_{+ (��)}2_{)�= �}

0�� (4.2.16)

� = �0��

(_−�2_�+�)2_+(��)2 (4.2.17) Nilai P dan Q yang telah didapatkan seperti pada persamaan (4.2.12) dan (4.2.17) kemudian disubstitusikan ke persamaan (4.2.2) untuk mendapatkan nilai �_� sebagai berikut:

�_� =�−�

2_{�+���}

�� cos��+

�0��

(−�2_�+�)2_+(��)2sin�� (4.2.18)

�_� =(−�

2_{�+�) �}

0��

cos��+ �0��

�� = �−�

2_{�+���} 0

(_−�2_�+�)2_+(��)2cos��+

�0��

(_−�2_�+�)2_+(��)2sin�� (4.2.20) Sehingga didapat nilai � yang merupakan solusi dari persamaan (4.2.1) dengan

menjumlahkan nilai dari �_ℎ dan �_� yakni:

�=�1�

−�

2��+�2��

−�

2��+ �−�

2_{�+���} 0

(−�2_�+�)2_+(��)2cos��+

�0��

(−�2_�+�)2_+(��)2sin�� (4.2.21)

4.3 Perbandingan Antara Metode Fungsi Green dengan Metode Koefisien Tak Tentu

Dengan memperhatikan persamaan (4.1.46) dan (4..2.21), kita mendapatkan perbandingan antara metode Fungsi Green dengan metode Koefisien Tak Tentu. Kesamaan yang kita dapatkan dari kedua metode tersebut adalah penyelesaian dengan menggunakan kedua metode tersebut untuk sistem fisis- massa pegas dengan shock absorber yang dihasilkan adalah dalam bentuk sinusoidal. Sedangkan untuk perbedaannya dapat kita lihat pada tabel di bawah ini:

Metode Fungsi Green Metode Koefisien Tak Tentu

• Pengerjaan lebih rumit

• Dalam pengerjaan perlu diketahui selang waktu

• Pengerjaan Lebih Sederhana

• Dalam pengerjaan tidak perlu diketahui selang waktu

Tabel 4.1 Perbedaan penyelesaian dengan metode fungsi green dengan metode koefisien tak tentu

4.4 Verifikasi Dengan Menggunakan Program Mathematica 8

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada bab IV adalah:

• Melalui metode fungsi green didapatkan solusi persamaan dari persamaan fisis-massa pegas dengan shock absorber. Dalam hal ini, hasil yang didapatkan melalui metode fungsi green tersebut adalah bersesuaian dengan hasil yang didapatkan melalui metode koefisien tak tentu.

• Perbandingan solusi yang dihasilkan dengan metode fungsi green dan dengan metode koefisien tak tentu adalah terletak pada perbedaan konstantanya saja. Dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa solusi yang didapat dari kedua metode tersebut adalah sama.

5.2 Saran

Berbicara mengenai persamaan diferensial, tentu tak lepas dari peranan matematika. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti-peneliti berikutnya agar lebih memahami materi fisika matematika. Selain itu peneliti-peneliti berikutnya juga diharapkan untuk mengkaji lebih dalam lagi mengenai massa pegas dengan shock absorber yakni untuk mendapatkan nilai viskositas dari fluida pada shock absorber tersebut dengan mencari solusi persamaan fisis shock absorber tersebut dan diselesaikan dengan metode-metode lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, Fank, 1972, Differential Equations , McGraw-Hill Book Company, New York. Barton,G.1989. Elements of Green Fuctions and Propagation. Clarendon Press, Oxford Herdiana,Heris, 2002, Persamaan Differensial, CV Pustaka Setia, Bandung.

Holzner,Steven,2008,Differential for Dummies Wiley Publishing,Inc,Indianapolis Narayan,Shanti,2006,Integral Calculus, S.Chand & Company LTD, New Delhi

Soedojo,Peter,Asas-Asas Matematika Fisika dan Teknik, Gadjah Mada University Press: Yogyakarta

Sugiarto,Iwan,2002, Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Differensial Linier Orde-n

= −��−����� +��−����� (4.1.18) = −��(�−�)�+��(�−�)� (4.1.19) �(�,�) =�(�−�)�(� − �) (4.1.20) �_� =∫ �_�� (�,�).ℎ(�)

0 �� (4.1.21)

Dengan:

ℎ(�) =�0�����

� (4.1.22) Sehinga dengan mensubstitusikan persamaan (4.20) dan (4.22) ke dalam persamaan (4.21) didapatkan:

�_� = ∫ �(�−�)�(� − �)�0�����

� �� �

�0 (4.1.23)

�_� = �_�0 ∫_��(� − � )

0 .�

(�−�)�_{cos ���� (4.1.24)} �_� = �0

� ∫ (� − �) �

�0 . �

��_{. �}−�� _{cos ���� (4.1.25)} �_� = �_�0 �−�� ∫_��(� − � )

0 �

�� _{cos���� (4.1.26)} ∫(� − �) ��� cos���� (4.1.27) Sebagaimana diketahui bahwa

∫ ��� = �� − ��� (4.1.28) Maka dari persamaan (2.27) diketahui bahwa:

� =� − � (4.1.29) ��= −�� (4.1.30)

��= ���cos���� (4.1.31) �= ∫ ��� cos����= ���(�sin_���₂ +�cos��)

+�2 (4.1.32)

Maka:

∫(� − �) ��� cos����=(�−�)���(�_�sin2_+��2�+ �cos�)− ∫

���_{(�sin��+�cos��}

�2_+�2 (−��) (4.1.33)

=(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+ 1

�2_+�2[∫ ����sin����+∫ ����cos����] (4.1.34)

=(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+

�

�2_+�2∫ ���sin����+

�

�2_+�2∫ ���cos���� (4.1.35) =(�−�)���(�_�sin2_+���2+ �cos�)+

�

�2_+�2∫ ���sin����+

�

�2_+�2∫ ���cos���� (4.1.36) =(�−�)���(�_�2sin_+���2 + �cos�+

� �2_+�2����

(�sin��+ �cos�)

�2_+�2 �+

� �2_+�2����

(�cos��+ �cos�)

�+�2 � (4.1.37)

=_��2��_+�2�(� − �)(�sin��+ �cos�+

�

�2_+�2(�sin��+�cos�) +

�

�2_+�2(�cos��+�sin��)� (4.1.38) ∫_��(� − �)���cos����=

0

���

�2_+�2�

�

�2_+�2(�sin��+�cos��) +

�

�2_+�2(�cos��+�sin��)� (4.1.39) = ���

(�2_+�2₎2[��sin��+�

2_cos�_�+�2_cos�_�+�_�sin�_{�)] (4.1.40)} = ���

(�2+�2₎2�2��sin��+ (� 2

+�2_{) cos}�_{�� (4.1.41)}

Maka di dapatkan:

�_� = �_�0 �−�� ���

(�2_+�2₎2[2��sin��+ (�

�_� =_� �0

(�2_+�2₎2[2��sin��+ (�

2_+�2_{) cos��] (4.1.44)} Dengan:

� =�ℎ +�� (4.1.45) Sehingga:

�=�1�−�� +�2��−��+

�0

�(�2_+�2₎2�2��sin��+ (� 2

+�2) cos��� (4.1.46) Dengan � merupakan solusi dari persamaan (4.1.2) yang didapatkan melalui metode fungsi green

4.2 Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu

Sebagaimana diketahui bahwa persamaan dari gerak osilasi teredam pada schok mobil adalah sebagai berikut:

��

2_�

��2+�

��

�� +��=�0cos�� (4.2.1) Dari persamaan (4.1.9),maka

�ℎ = �1�2−��� ₊�2��2−��� Untuk persamaan partikulirnya:

�_� =�cos��+�sin�� (4.2.2) �_�′ =−��sin��+��cos�� (4.2.3) �_�′′ = −�2cos�� − �2�sin�� (4.2.4) Maka ketiga persamaan (4.2.2),(4.2.3) dan (4.2.4) kita substitusikan ke persamaan (4.2.1) sehingga didapatkan:

�(−�2_{cos�� − �}2_{�sin��) +�(− ��sin��+��cos��) +�(�cos��+�sin��) =�}

0cos�� (4.2.5)

(−�2_{��+���+��) cos��+ (− �}2_{�� − ���+��) sin��=�}

0cos�� (4.2.6)

Dari persamaaan (4.2.6) ini didapatkan bahwa:

−�2��+���+�� =�0 (4.2.7) −�2�� − ���+�� = 0 (4.2.8) (−�2�+�)�+���= �₀ (4.2.9)

(−�2_{�+�)� − ��� = 0 (4.2.10)} ��� = (−�2�+�)� (4.2.11) � =�−�2_���+��� (4.2.12) Kemudian persamaan (4.2.12) ini disubstitusikan ke persamaan (4.2.9), sehingga didapatkan:

(−�2_�+�)�−�2�+���

�� +���= �0 (4.2.13) �−�

2_�+��2_�

�� +���= �0 (4.2.14) (−�2_�+�)2_{�+ (��)}2_{�= �0�� (4.2.15)} ((−�2_�+�)2_{+ (��)}2_{)�= �0�� (4.2.16)}

�� = �−�

2_{�+���} 0

(_−�2_�+�)2_+(��)2cos��+

�0��

(_−�2_�+�)2_+(��)2sin�� (4.2.20)

Sehingga didapat nilai � yang merupakan solusi dari persamaan (4.2.1) dengan menjumlahkan nilai dari �_ℎ dan �_� yakni:

�=�1�

−�

2��+�2��

−�

2��+ �−�

2_{�+���} 0

(−�2_�+�)2_+(��)2cos��+

�0��

(−�2_�+�)2_+(��)2sin�� (4.2.21)

4.3 Perbandingan Antara Metode Fungsi Green dengan Metode Koefisien Tak Tentu

Dengan memperhatikan persamaan (4.1.46) dan (4..2.21), kita mendapatkan perbandingan antara metode Fungsi Green dengan metode Koefisien Tak Tentu. Kesamaan yang kita dapatkan dari kedua metode tersebut adalah penyelesaian dengan menggunakan kedua metode tersebut untuk sistem fisis- massa pegas dengan shock absorber yang dihasilkan adalah dalam bentuk sinusoidal. Sedangkan untuk perbedaannya dapat kita lihat pada tabel di bawah ini:

Metode Fungsi Green Metode Koefisien Tak Tentu

• Pengerjaan lebih rumit • Dalam pengerjaan perlu

diketahui selang waktu

• Pengerjaan Lebih Sederhana • Dalam pengerjaan tidak perlu

diketahui selang waktu

Tabel 4.1 Perbedaan penyelesaian dengan metode fungsi green dengan metode koefisien tak tentu

4.4 Verifikasi Dengan Menggunakan Program Mathematica 8

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan pada bab IV adalah:

• Melalui metode fungsi green didapatkan solusi persamaan dari persamaan fisis-massa pegas dengan shock absorber. Dalam hal ini, hasil yang didapatkan melalui metode fungsi green tersebut adalah bersesuaian dengan hasil yang didapatkan melalui metode koefisien tak tentu.

• Perbandingan solusi yang dihasilkan dengan metode fungsi green dan dengan metode koefisien tak tentu adalah terletak pada perbedaan konstantanya saja. Dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa solusi yang didapat dari kedua metode tersebut adalah sama.

5.2 Saran

Berbicara mengenai persamaan diferensial, tentu tak lepas dari peranan matematika. Oleh karena itu diharapkan untuk peneliti-peneliti berikutnya agar lebih memahami materi fisika matematika. Selain itu peneliti-peneliti berikutnya juga diharapkan untuk mengkaji lebih dalam lagi mengenai massa pegas dengan shock absorber yakni untuk mendapatkan nilai viskositas dari fluida pada shock absorber tersebut dengan mencari solusi persamaan fisis shock absorber tersebut dan diselesaikan dengan metode-metode lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, Fank, 1972, Differential Equations , McGraw-Hill Book Company, New York. Barton,G.1989. Elements of Green Fuctions and Propagation. Clarendon Press, Oxford Herdiana,Heris, 2002, Persamaan Differensial, CV Pustaka Setia, Bandung.

Holzner,Steven,2008,Differential for Dummies Wiley Publishing,Inc,Indianapolis Narayan,Shanti,2006,Integral Calculus, S.Chand & Company LTD, New Delhi

Soedojo,Peter,Asas-Asas Matematika Fisika dan Teknik, Gadjah Mada University Press: Yogyakarta

Sugiarto,Iwan,2002, Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Differensial Linier Orde-n