Persamaan Diferensial Linier Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

2. . � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 = � 2 �

2.2 Orde dan Derajat Suatu Persamaan Diferensial

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan derajat persamaan diferensial dapat ditulis sebagai polynomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi. Contoh: 1. �� �� = � + 6 merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1. 2. � 2 � �� 2 + 3 �� �� + 2 � = 0 merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 derajat 1. 3. ��′ + � = 3 merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 derajat 1. 4. � ′′′ + 2 �� ′ ′ � 2 + � ′ = ���� merupakan persamaan diferensial biasa orde 3 derajat 1. 5. �′′ 2 + �′ 2 + 3 � = � 2 merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 derajat 2. 6. �� �� = � + � �� �� merupakan persamaan diferensial parsial orde 1 derajat 1. 7. �� 2 �� 2 + �� 2 �� 2 = � 2 + � merupakan persamaan diferensial parsial orde 2 derajat 1.

2.3 Persamaan Diferensial Linier

Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi dua hal berikut: 1. Variabel-variabel terikat dan turunannya tertinggi berpangkat 1 2. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan yang lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan. Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah y, y,…, yn berderajat 1 atau nol. Contoh: 1. ��′ + � = 3 2. � ′′′ + 2 �� ′ ′ � 2 + � ′ = � jadi bentuk umum persamaan diferensial linier orde- n adalah � �� � + � 1 �� �−1 + ⋯ + � �−1 �� ′ + � � �� = �� 2.3 Universitas Sumatera Utara keterangan: Jika �� = 0, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier homogeny orde −� Jika �� ≠ 0, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier non homogen orde −�. jika semua koefisien � �, � 1 �, … , � � � adalah tetap, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. jika semua koefisien � �, � 1 �, … , � � � adalah berupa fungsi, maka persamaan 2.3.1 disebut persamaan diferensial linier dengan koefisien variabel peubah.

2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan: � � � + � 1 � �−1 + ⋯ + � �−1 � ′ + � � � = 0 2.4.1 dimana � , � 1,…, � � adalah konstanta. Untuk menentukan selesaiannya yaitu dengan mensubstitusi y = e tx , kemudian menentukan bilangan tetap t sehingga e tx sehingga persamaan 2.4.1 karena y = e tx , y’ = t e tx , y”=t 2 e tx dan seterusnya hingga y n =t n e tx . Bila disubstitusikan ke persamaan 2.4.1 akan didapatkan suatu persamaan dalam t, yaitu: � �� � � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � = 0 2.4.2 karena e tx ≠0, maka � � � + � 1 � �−1 + � 2 � �−2 + ⋯ + � � = 0 2.4.3 Persamaan 2.4.3 tersebut disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial 2.4.1 dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Ada tiga kemungkinan selesaian yang bebas linier dari persamaan 2.4.1, yaitu: 1. Bila akar-akarnya real dan berlainan, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � � 1 � , � � 2 � , … , � � � � 2. Bila akar-akarnya real dan sama, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � �� , �� �� , … , � �−1 � �� 3. Bila akar-akarnya kompleks, maka selesaian bebas liniernya yaitu: � �−��� atau � �� cos �� + sin ��

2.5 Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak Homogen Dengan Koefisien Konstan