himpunan simpul dan himpunan jalur graf lengkap K
n
pada dirinya sendiri analog dengan konsep operasi biner.
2.10 Konsep Operasi Biner
Terdapat berbagai macam operasi pada himpunan bilangan, misalnya penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi ini sering
disebut sebagai operasi hitung operasi aritmatik. Selain operasi aritmatik, terdapat pula operasi lain pada suatu himpunan tertentu. Misalnya pada himpunan
bilangan bulat Z, didefinisikan operasi , dengan
, .
Bentuk operasi dalam suatu himpunan tertentu tidak harus selalu operasi aritmatik, seperti halnya
dalam pembahasan ini. Hal yang lebih diperhatikan adalah kebineran operasi tersebut. Pengertian operasi biner dijelaskan sebagai berikut.
Definisi 2.10.1 Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong. Operasi
pada elemen-elemen S disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen
maka atau dikatakan bahwa operasi
pada S bersifat tertutup. Dapat pula dikatakan bahwa operasi
merupakan operasi biner pada S, apabila operasi merupakan pemetaan dari
ke S Sukirman, 2011.
2.11 Teori Grup Definisi 2.11.1
Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi pada G adalah
suatu operasi biner. Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner atau
ditulis adalah suatu grup bila memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1.
Operasi pada G bersifat asosiatif
2.
G memuat elemen identitas ,
3.
Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula. Sukirman, 2011
Dengan kata lain grup merupakan sebuah himpunan dengan operasi yang bersifat asosiatif sedemikian sehingga terdapat elemen identitas, setiap elemennya
memiliki invers, dan setiap anggotanya berasal dari pemasangan anggota yang tidak berada di luar dari himpunan. Kondisi ini yang dikatakan sebagai
ketertutupan. Jika G,
suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu berlaku
, maka G disebut grup komutatif atau grup abelian. Sebagai catatan penting, grup merupakan salah satu pembahasan dalam
Struktur Aljabar yang berkenaan dengan suatu himpunan tak kosong dan operasi biner dalam himpunan tersebut. Ini berarti teori grup tidak selalu ditemukan dalam
himpunan bilangan saja Sukirman, 2011. Banyaknya elemen grup G disebut order dari grup G dan ditulis
. Jika order suatu grup adalah berhingga finite maka grup itu disebut grup
berhingga. Jika order suatu grup adalah tak hingga maka grup itu disebut grup tak hingga infinite. Suatu grup dengan operasi + penjumlahan disebut grup aditif
dan grup dengan operasi perkalian disebut grup multiplikatif.
Contoh 2.11.1:
Himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan real R adalah grup dengan operasi penjumlahan dan elemen identitasnya
0 dengan invers a yaitu , .
Contoh 2.11.2:
Jika n suatu bilangan bulat positif dan adalah himpunan semua bilangan bulat
kelipatan n maka adalah suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan sebagai
berikut . , dengan n suatu bilangan bulat positif.
a Untuk sembarang
, maka dengan sehingga
Karena maka , sehingga , yaitu
. Jadi operasi + pada merupakan operasi biner. b
Karena dan operasi + pada bersifat asosiatif dan bersifat
komutatif maka operasi + pada juga bersifat asosiatif dan komutatif.
c Elemen identitasnya adalah
, sebab jika maka
d Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut, yaitu
jika maka – sedemikian sehingga
Selain pada himpunan bilangan, teori grup juga terdapat pada operasi penjumlahan matriks.
Contoh 2.11.3
M adalah himpunan semua matriks berordo mxn yang unsur-unsur matriksnya adalah bilangan-bilangan real ditulis
. Maka adalah suatu grup abelian.
Bukti:
a Misalkan
dan adalah matriks-matriks dalam
maka dengan
, yaitu penjumlahan setiap dua matriks dalam
adalah suatu matriks dalam pula.
b ,
, dan maka
Jadi operasi penjumlahan matriks pada bersifat asosiatif.
c Elemen identitasnya adalah matriks berordo
yang semua unsurnya nol dan biasa disebut matriks nol dan diberi simbol O, sehingga untuk
sembarang A dalam , berlaku .
d Jika
maka invers A terhadap operasi penjumlahan matriks adalah
–A= , sedemikian sehingga
. e
Misalkan A= dan B=
adalah matriks-matriks dalam maka
=
Jadi operasi penjumlahan matriks pada MR bersifat komutatif.
2.12 Isomorfisme